Kombinatorika Pavol Neas Gymnzium L N Senica k

Kombinatorika Pavol Nečas Gymnázium L. N. Senica Šk. rok 2008/2009 III. A

Obsah I. III. IV. V. VIII. IX. X. XIII. XIV. XVII. Dôkaz matematickou indukciou N – faktoriál Kombinačné čísla Pascalov trojuholník Binomická veta K-ty člen binomického rozvoja Definičné obory Úvod do kombinatoriky Kombinačné úlohy Variácie Permutácie Kombinácie Variácie s opakovaním Permutácie s opakovaním Kombinácie s opakovaním Pravidlo súčtu Pravidlo súčinu

I. Dôkaz mat. indukciou • • Využívame pre mat. vety, kt. treba dokázať alebo pre prir. čísla od nejakého Dôkaz mat. indukciou pozostáva z 2 krokov: 1. Vetu dokážeme prvé prirodzené číslo 2. Indukčný krok Z predpokladu, že veta platí pre n=k dokážeme platnosť vety

Príklad

II. N-faktoriál • Využíva sa pri výpočtoch v kombinatorických úlohách • Definujeme ho ako • Vyjadrenie niektorých n! Ø Ø Ø Ø

Príklad

III. Kombinačné čísla • • Kombinačné číslo Majú niekoľko základných vlastností: 1. Pre každé platí: Ø Ø Ø 2. • Pre každé platí: Ø 4. Pre každé platí: Ø 3. Určitá vlastnosť umožňuje vypočítať kombinačné čísla len za pomoci sčítavania, bez vyčísľovania faktoriálov. Často sa vyskytujú v kombinatorike.

Príklad

IV. Pascalov trojuholník • • Je zostavený z kombinačných čísel. V tejto schéme sa všetky krajné čísla rovnajú 1 a každé ďalšie číslo sa rovná súčtu dvoch čísel bezprostredne nad ním, využívame 3 základnú vlastnosť a to: Pascalov trojuholník má zvislú os súmernosti. Číslo na k-tom mieste v n-tom riadku má hodnotu

V. Binomická veta • Kombinačné čísla majú ešte množstvo zaujímavých vlastností. • Jedna z nich vyplýva z binomickej vety:

Príklad

VI. K-ty člen bin. rozvoja • Čísla v jednom riadku Pascalovho trojuholníka sú vlastne koeficienty rozvoja pre odpovedajúce n. • Binomický rozvoj má sčítancov. • Pre k-ty člen binomického rozvoja platí:

Príklad

VII. Definičné obory • Pre n-faktoriál § Vyjadruje sa z najmenšieho n-faktoriálu Ø • n≥ 0 Pre kombinačné čísla § V kombinačnom čísle musí byť n väčšie rovné k Ø n ≥k

VIII. Úvod do kombinatoriky Kombinatorika: • Je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá riešením úloh typu: 1. 2. 3. • Ponúka niekoľko pravidiel na riešenie jednoduchých úloh: 1. 2. • „Koľkými spôsobmi možno vybrať isté objekty? ” „ Koľkými spôsobmi možno usporiadať isté objekty? ” „ Koľkými spôsobmi zoradiť isté objekty? ” Pravidlo súčtu. Pravidlo súčinu. Ak sa vyskytnú zložitejšie, je treba si ich rozdeliť na jednoduché podúlohy.

IX. Kombinačné úlohy • Delíme na 6 základných typov: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Permutácie Kombinácie Variácie Permutácie s opakovaním Kombinácie s opakovaním Variácie s opakovaním

X. Variácie • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: 1. 2. • • • „Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania? “ „Koľko usporiadaných k-tic možno vytvoriť z n prvkov? “ Každú usporiadanú k-ticu z daných n prvkov nazývame k-prvkovou variáciou z n prvkov. Počet všetkých takýchto variácií označujeme V(k, n) Platí:

Príklad

XI. Permutácie • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: 1. • • „Koľkými spôsobmi možno zoradiť do radu prvky neprázdnej konečnej nprvkovej množiny? ” Každé jedno zoradenie nazývame permutáciou (poradím) prvkov danej množiny. Permutácie možno reprezentovať usporiadanými n-ticami prvkov danej n-prvkovej množiny. Počet všetkých permutácií n prvkov označujeme P(n). Pre ich počet platí:

Príklad

XII. Kombinácie • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: 1. 2. • • „ Koľkými spôsobmi možno spomedzi n rôznych objektov vybrať objektov, ak nezáleží na poradí vyberania? ” „ Koľko k-prvkových množín má n-prvková množina? ” Každý jeden výber k prvkov z daných n-prvkov nazývame kprvkovou kombináciou z n-prvkov. Keďže nezáleží na poradí vyberania, možno kombinácie chápať ako neusporiadané k-tice, t. j. k-prvkové podmnožiny. Počet k-prvkových kombinácií z n prvkov označujeme Pre ich počet platí:

Príklad

XIII. Variácie s opakovanám • Základný typ kombinačnej úloh, ktorá rieši úlohy typu: 1. • • “Koľkými spôsobmi možno z daných n objektov vybrať k objektov, ak záleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát? “ Každý taký výber nazývame k-prvkovou variáciou s opakovaním z n prvkov a ich celkový počet označujeme V’(k, n). Platí:

Príklad

XIV. Permutácie s opakovaním • Základný typ kombinačnej úlohy, ktorá rieši úlohy typu: 1. • • Majme n 1 objektov prvého druhu, n 2 objektov druhého druhu, . . . atď. ak nk objektov k-teho druhu tak koľkými spôsobmi možno týchto n 1 + n 2 +. . . + nk objektov usporiadať do radu? “ Každé také usporiadanie nazývame permutáciou s opakovaním, ich celkový počet označujeme Počítame ho zo vzorca:

Príklad

XV. Kombinácie s opakovaním • Základný typ kombinačnej úlohy ktorá rieši úlohy typu: 1. • • • Koľkými spôsobmi môžeme z daných n objektov vybrať k objektov, ak nezáleží na poradí vyberania a pripúšťame, že objekty môžu byť vybraté viackrát? “ Každý z možných výberov nazývame k-prvkovou kombináciou s opakovaním z n prvkov. Ich celkový počet označujeme K’(k, n) Počítame podľa vzorca:

Príklad

XVI. Pravidlo súčtu • Ak je úlohou zistiť počet prvkov nejakej množiny M, môžeme množinu M rozložiť na niekoľko disjunktných podmnožín M = M 1 M 2 … Mk a určiť počty prvkov množín Mi. • Potom platí: |M| = |M 1| + |M 2| +. . . + |Mk|

XVII. Pravidlo súčinu • Predpokladáme, že máme vybrať dva prvky a, b, pričom prvý vyberáme z konečnej neprázdnej množiny A a druhý z konečnej neprázdnej množiny B. • V prípade, že výber prvku b nezávisí od výberu prvku a, je spolu |A|. |B| možností, ako vybrať tieto dva prvky.