Kombinatorika Ing Alena Mikloov Kombinatorika Kombinova bene toto

Kombinatorika Ing. Alena Miklošová

Kombinatorika Kombinovať – bežne toto slovo používame s významom vytvárať možnosti, kombinácie. V matematike ste takéto úlohy riešili už veľa krát. Väčšinou vytvárame v týchto úlohám skupiny čísel, písmen, ľudí, farieb, . . podľa určitých PODMIENOK. Na čo si pri riešení takýchto úloh treba dávať pozor: Čítať, čítať VEĽMI POZORNE !!! Prečo? V texte úlohy sú totiž dôležité informácie o tom: Koľko prvkov má byť v skupine. Či sa prvky v skupine môžu opakovať alebo nie. Či v usporiadaní prvkov v skupine záleží na ich poradí, alebo nie. Aké sú ďalšie podmienky usporiadania prvkov v skupine. Či treba vypísať alebo nakresliť všetky možnosti. Či treba vypočítať , koľko je všetkých možností. UKÁŽEM NA PRÍKLADE

Klasická úloha 1: Štyri kamarátky Adriana, Barbora, Cyntia, Diana idú do kina, kúpili si lístky vedľa seba. Vypíš, koľkými rôznymi spôsobmi si môžu vedľa seba sadnúť, ak chcú Barbora a Diana sedieť vedľa seba. Čo sme sa z textu dozvedeli: Budeme vytvárať štvorice – 4 prvky v skupine. Musíme ich všetky vypísať. Záleží na tom, v akom poradí dievčatá sedia. Na zjednodušenie vypisovania je potrebné kamarátky nejako označiť. Napr. : A, B, C, D Prvky – dievčatá – písmená sa v skupine nemôžu opakovať. Logicky, každé dievča tam môže byť len raz. Dobre rady: najskôr vypíšeme podľa vhodného systému VŠETKY možnosti, ako si dievčatá môžu sadnúť, Potom z nich vyberieme tie, v ktorých sedia Barbora a Diana vedľa seba.

Klasická úloha 1: Ak chceme vypísať naozaj všetky možnosti, musíme postupovať SYSTEMATICKY ! To znamená že pri vypisovaní napríklad začneme podľa abecedy , písmenkom A a meniť budeme písmenká čo najneskôr: Potom veľmi podobne začneme písmenkom B, v ďalšom stĺpci písmenkom C a nakoniec D. A na záver označíme všetky možnosti, kde sú B a D vedľa seba. B B C C A D A A C D B C B B B A A C C C D A D D C D A B D A C B D C A Vyznačených je 12 vyhovujúcich možností. C C A A B B B D A D D B D A C D A B C D B A D D A A B B B C A C C B C A D C A B D C B A

Klasická úloha 2 : Tréner má zo šiestich svojich zverencov vybrať dvoch, ktorý budú reprezentovať klub na súťaži, koľko rôznych dvojíc môže vybrať? Čo sme sa z textu dozvedeli: Budeme vytvárať dvojice – 2 prvky v skupine. Musíme ich všetky vypísať. Nezáleží na tom, v akom poradí deti vyberieme a do dvojice zapíšeme. Na zjednodušenie vypisovania je potrebné deti nejako označiť. Napr. : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Prvky – deti – čísla sa v skupine nemôžu opakovať. Logicky, každé dieťa tam môže byť len raz.

Klasická úloha 2: Detí je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), vytvárame z nich dvojice: Opäť nám čísla pomôžu v systéme vypisovania, aby sme na nikoho nezabudli, začneme od najmenšieho čísla a čísla postupne zväčšujeme: 1 2 13 14 15 16 2 2 3 4 5 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 Poznámka pre istotu: 1 2 a 2 1 je zapísanie tej istej dvojice. Tréner môže vytvoriť 15 dvojíc.

Klasická úloha 3: Z čísel na kartičkách vytvor všetky trojciferné čísla, ktoré sú deliteľné piatimi: 4 6 0 5 1 Budeme vytvárať trojice – 3 prvky v skupine, lebo sú to trojciferné čísla. Musíme ich všetky vypísať. Záleží na tom, v akom poradí číslice vyberieme a do trojciferného čísla zapíšeme. Keďže sú čísla na kartičkách, NEMÔŽU sa opakovať. Čísla deliteľné piatimi musia mať na mieste jednotiek číslicu 0 alebo 5.

Klasická úloha 3: 4 6 0 5 1 Opäť začneme od najmenšieho čísla, POZOR, v tomto prípade nemôžeme začať nulou, pretože na začiatku prirodzeného čísla nulu nikdy nepíšeme. 1 1 1 05 40 45 50 60 65 Takýchto čísel je 21. 4 4 4 05 10 15 50 60 65 51 0 54 0 560 605 610 615 640 645 6 50

Klasická úloha 4: Vo futbalovom turnaji hrá 5 družstiev, koľko zápasov sa v turnaji odohrá, ak hrá každé družstvo s každým jeden zápas? Teraz budeme vytvárať dvojice, klasicky si družstvá označíme A, B, C, D, E. Tentokrát môžeme riešenie aj nakresliť, šípkami znázorníme vzájomný zápas: A Po spočítaní šípok zistíme, že vzájomných zápasov bolo 10. B Rovnaký výsledok by sme získali aj vypísaním. Riešenie by sme mohli získať aj vytvorením tabuľky zápasov. E C D Sem zápasy písať nemusíme, sú to tie isté A B C D E A A: B A: C A: D A: E B B: C B: D B: E C C: D C: E D D: E E

Klasická úloha 5 Janka má tri jednofarebné tričká : biele, červené, modré, tri sukne: modrú, zelenú a čiernu, a dvoje tenisky : biele a ružové. Koľkými rôznymi spôsobmi sa môže obliecť, ak nechce mať na sebe dve veci rovnakej farby? Teraz si pomôžeme tabuľkou, nájdeme všetky možnosti a potom preškrtneme tie, ktoré nevyhovujú zadaniu. tričko B B B Č Č Č M M M sukňa M M Z Z Č Č tenisky B B R B R B R R Č B R Janka sa môže obliecť 13 rôznymi spôsobmi. B R

Ako vypočítať počet všetkých možností? Niekedy je výpočet možností jediným spôsobom ako zistiť všetky možnosti, pretože ich je veľmi veľa. Napr. : Koľko je všetkých trojciferných deliteľných piatimi? Urobím si značky číslic: Dopíšeme možnosti: Vynásobíme ich: 9 ∙ 10 ∙ 2 = 180 všetkých možností Na mieste desiatok môže byť 10 rôznych číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Na mieste stoviek môže byť 9 rôznych číslic: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Na mieste jednotiek môžu byť 2 rôzne číslice: 0, 5 Práve sme použili takzvané pravidlo súčinu – ja mu hovorím pravidlo každé s každým, vynásobením počtu možností vlastne zariadime, že skombinujeme každú číslicu s každou.

Pravidlo súčinu: Štyri kamarátky Adriana, Barbora, Cyntia, Diana idú do kina, kúpili si lístky vedľa seba. Koľkými rôznymi spôsobmi si môžu vedľa seba sadnúť? Urobím si značky štyroch sedadiel a pýtame sa: Dopíšeme možnosti: Vynásobíme ich: Z koľkých dievčat vyberáme na prvé miesto? Zo štyroch. 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 Z koľkých dievčat vyberáme na druhé miesto? Z troch. (jedna už sedí) = 24 všetkých možností Na štvrté miesto ostala už len jedna možnosť. Z koľkých dievčat vyberáme na tretie miesto? Z dvoch. vynásobením počtu možností vlastne zariadime, že skombinujeme pozíciu každej kamarátky s každou.

Pravidlo súčinu a niečo navyše: V triede je 8 dievčat, koľkokrát si podajú ruky, ak si podá každé dievča s každým ruku raz? Urobím si značky dvoch dievčat a pýtame sa: Dopíšeme možnosti: Vynásobíme ich: 8 ∙ 7 Z koľkých dievčat vyberáme na prvé miesto? Z ôsmych. : 2 Z koľkých dievčat vyberáme na druhé miesto? Zo siedmich. = 28 všetkých možností Každá dvojice je v súčine započítaná 2 krát vynásobením počtu možností vlastne zariadime, že skombinujeme podanie každej žiačky s každou. Počet týchto možností treba vydeliť číslom 2, pretože každé podanie rúk je tam započítané 2 krát ( 12, 21)

Pravidlo súčinu a niečo navyše: V triede je 8 dievčat, koľkými rôznymi spôsobmi možno z nich vybrať trojčlenné súťažné družstvo? Urobím si značky troch členov družstva a pýtame sa: Dopíšeme možnosti: Vynásobíme ich: 8 ∙ 7 ∙ 6 : 6 = 56 všetkých možností Z koľkých dievčat vyberáme na prvé miesto? Z ôsmych. Z koľkých dievčat vyberáme na druhé miesto? Zo siedmich. Každá trojice je v súčine započítaná 6 krát Z koľkých dievčat vyberáme na tretie miesto? Zo šiestich. vynásobením počtu možností vlastne zariadime, že skombinujeme miesto každej žiačky s každou. Počet týchto možností treba vydeliť číslom 6, pretože každá z trojice dievčat je tam započítaná 6 krát (napr. : 123, 132, 213, 231, 312, 321)

Ďakujem za pozornosť !