Kolmion ominaisuuksia 2 Lause 4 Kolmion sivujen keskinormaalit

Kolmion ominaisuuksia 2 Lause 4 Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on samalla kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. B Oletus: Kolmion ABC sivujen AB ja BC keskinormaalit leikkaavat pisteessä P. Väitös: Kolmas keskinormaali kulkee pisteen P kautta ja P on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde. Todistus: Yhdistetään P kolmion käkipisteisiin. 1) Koska P on janan AB keskinormaalin piste AP = BP. 2) Koska P on janan BC keskinormaalin piste BP = CP. 3) Tällöin AP = PC, koska molemmat ovat BP: n pituisia. P A P on yhtä etäällä AC: n päätepisteistä eli on sen keskinormaalin piste. C Lisäksi koska AB = BC = AC kulkee ympäri piirretty ympyrä A: n, B: n ja C: n kautta. M. O. T. B Lause 5: Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Oletus: Kolmio ABC, kulman A ja C puolittajat leikkaavat pisteessä P. E P A Väitös: Kulman B puolittaja kulkee pisteen P kautta, joka on samalla sisään piirretyn ympyrän säde. F C D Todistus: Kulman A puolittaja on yhtä etäällä kulman kyljistä AB ja AC. Tällöin PD = PE. Kulman C puolittaja on samalla etäisyydellä molemmista kyljistä CA ja CB. Tällöin PD = PF, joten myös PF = PE. P on tällöin myös kulman P puolittajan piste. Koska Pisteestä P etäisyydet kylkiin ovat samat, on P sisään piirretyn ympyrän keskipiste. M. O. T.

B Lause 6: Kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa keskijanat kärjestä lukien 2 : 1. Oletus: E D Väitös: Keskijanojen leikkauspiste P jakaa keskijanat suhteessa 2: 1 ja että kolmas keskijana kulkee myös pisteen P kautta. P A Kolmio ABC ja siinä keskijanat AE ja CD. Todistus: Piirretään apupiirroksena jana DE. 1) Koska DE yhdistää sivujen keskipisteet, on se kannan AC C suuntainen ja puolet sen pituudesta. F Kolmiot DEP ja APC ovat yhdenmuotoisia (KKK) sillä: Kärjen P ristikulmat ovat keskenään yhtä suuria. ovat kolmioiden kantakulmat D ja C sekä A ja E keskenään yhtä suuria. Koska DE ja AC ovat yhdensuuntaisia Aikaisemman perusteella tiedämme että DE = ½ AC, joten mittakaava k = 1: 2. Sama mittakaava pitää paikkansa myös muihin sivuihin. Jos todistamme saman keskijanoille CD ja BF niin saamme että sama keskijana CD jakautuu P: sä Täten DP: PC = EP: AP = 1: 2. suhteessa 1: 2, mutta sillä on vain yksi tällainen jakopiste eli myös BF kulkee P: n kautta. B Lause 7: Kolmion kulman puolittaja jakaa kulman vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Oletus: Kolmio ABC ja siinä kulman puolittaja BE. Todistus: Kulman puolittaja jakaa kolmion kahdeksi osakolmioksi. Laskemme niiden alat kahdella eri tavalla, kantoina ensin d ja e ja toiseksi a ja b. b a A 1 A d 1) A 2 A 1 E e A 1 = ½ a h´ ja A C 2 = ½ b h´ Korkeus on molemmilla kolmioilla sama h. Täten saamme =½eh 2 2) Piirrämme korkeudet pisteestä E Molemmat korkeudet ovat yhtä suuria h´, koska kulman puolittaja BE on yhtä etäällä kulman kyljistä. Täten = ½dh A Muodostetaan pinta-alojen suhde molemmin tavoin lasketuista aloista, jotka ovat yhtäsuuret saamme: a d A 1 ½dh ½ah´ = M. O. T. = = e b A 2 ½eh ½bh´