kola ablona Nzev projektu slo projektu Autor Tematick
Škola: Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: Datum: Cílová skupina: Klíčová slova: Anotace: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0940 Lenka Šálková Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Permutace s opakováním VY_32_INOVACE_MA. 2. 08 10. 11. 2012 Žáci středních škol permutace, permutace s opakováním, uspořádané n-tice Zavedení pojmu permutace s opakováním, definice, procvičovací příklady.
Permutace s opakováním
Permutace s opakováním Určete kolik různých seskupení písmen je možné vytvořit přemísťováním písmen slova KAKAO. Slovo má 5 písmen ⇒ vyrábíme různá pořadí z pěti prvků ⇒ permutace Řešení: Písmena ve slově si oindexujeme ⇒ K 1 A 1 K 2 A 2 O 1 ⇒ 5! možností. Jak se počet možností změní, když indexy zrušíme? Například slova: K 1 A 1 K 2 A 2 O 1 a K 2 A 2 K 1 A 1 O 1 budou stejná ⇒ ze dvou slov máme jediné. Vzájemné prohození písmen K 1 a K 2 nezpůsobí vznik nového slova ⇒ po zrušení indexů se počet slov zmenší na polovinu. Podobně u A 1 a A 2 Celkový počet možností:
Permutace s opakováním Kolik různých čtyřmístných čísel je možné vytvořit z cifer čísla 8388? Řešení: Čtyřmístné číslo = uspořádaná čtveřice ze čtyř cifer ⇒ 4! možností. Tři cifry jsou stejné (jedničky) ⇒ jejich prohazování (3! možností) získáváme stejná čísla ⇒ čísel je 3! krát méně než kdyby byly cifry různé ⇒ celkem
Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje alespoň jednou. Počet opakování jednotlivých prvků si označujeme čísly k 1; k 2; k 3; k 4 ; …; kn Kolika způsoby je možné rozdělit mezi deset dětí pět jablek, dvě hrušky a tři banány tak, aby každé dítě dostalo jeden kus ovoce. Určete konkrétní hodnoty proměnných n, k, k 1, k 2, …, kn Co platí pro čísla k, k 1, k 2, …, kn?
Permutace s opakováním Počet P´(k 1, k 2, …, kn) všech k -členných permutací s opakováním z n prvků (k > n), kde se první prvek opakuje k 1 -krát, druhý k 2 -krát, atd. je: Platí k = k 1 + k 2 +…+ kn záleží na pořadí prvků v k-tici, prvky se mohou (ale nemusí) opakovat
Permutace s opakováním 1) Kolika způsoby lze přemístit písmena slova ARITMETIKA tak, aby obě písmena A byla vedle sebe? 2) Určete počet všech šesticiferných přirozených čísel, jež můžeme sestavit z číslic 1 a 2 tak, že v každém z nich je číslice 1 právě dvakrát.
Permutace s opakováním 3) Je všeobecně známo, že nejúčinnějším zaklínadlem je formule ABRAKADABRA. Určete: a) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmena slova ABRAKADABRA a splést zaklínadlo b) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmena tak, aby žádná pětice sousedních písmen nebyla tvořena pěti písmeny A 4) Kolika způsoby lze přemístit písmena slova TANGANIKA. Kolik z těchto přemístění nemá na prvním místě K.
Permutace s opakováním 5) Určete počet všech sedmiciferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven dvěma. 6) Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel sestavených z číslic 2 a 3 tak, že číslice 3 se v nich vyskytuje alespoň třikrát.
Literatura: CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 163 s. ISBN 80 -701 -5444 -6. FUCHS, Eduard a Josef KUBÁT. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1998, 147 s. ISBN 80 -719 -6095 -0. KUBÁT, Eduard, Josef HRUBÝ. . : Sbírka úloh z matematiky pro střední školy – Maturitní minimum. Praha: Prometeus, 147 s. ISBN 80 -719 -6030 -6. JIRÁSEK, František, BRANIŠ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU. 3. , upr. vyd. , dotisk. Praha: Prometheus, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80 -719 -6012 -8. PETÁKOVÁ, Jindra, BRANIŠ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1989, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80 -719 -6099 -3. Zápisy vzorců jsou mým vlastním dílem
Webové stránky: Kombinatorika http: //carolina. mff. cuni. cz/~jana/kombinatorika/ http: //www. realisticky. cz/ http: //www. mg-akademie. cz/stranky_profesori/horsky/stat/st_3_PVC. pdf Pravděpodobnost http: //www. realisticky. cz/ http: //vrbova. webnode. cz/treti-rocnik 2/pravdepodobnost/ Statistika http: //www. realisticky. cz/ http: //www. gymkl. cz/web/cs-s 1006 --1_10 -statistika http: //matikabrdickova. sweb. cz/soubory_PDF/7/8_Zaklady_statistiky. pdf http: //vrbova. webnode. cz/treti-rocnik 2/statistika/
- Slides: 11