KOEFESIEN KORELASI KENDAL OLEH ABDUL ZAHIR S Pd

KOEFESIEN KORELASI KENDAL OLEH ABDUL ZAHIR, S. Pd ZAID, S. Pd. I

PENDAHULUAN Kendal tau, adalah ukuran korelasi yang setara dengan Spearman R, terkait dengan asumsi yang mendasarinya serta kekuatan statistiknya. Namun, besaran Spearman R dan Kendal tau akan berbeda karena perbedaan dalam logika mendasari serta formula perhitungannya. Jika Spearman R setara dengan koefisien korelasi Pearson Product Moment, yaitu koefisien korelasinya pada dasarnya menunjukkan proporsi variabilitas (dimana untuk Spearman R dihitung dari ranks sedangkan korelasi Pearson dari data aslinya), sebaliknya ukuran Kendal tau merupakan probabilita perbedaan antara probabilita data dua variabel dalam urutan yang sama dengan probabilita dua variabel dalam urutan yang berbeda. Berdasarkan logika perhitungan ini, Noether (1981) dalam (Daniel, 1991) mengemukakan bahwa koefisien Kendal tau lebih mudah ditafsirkan dibandingkan Spearman R.

v Korelasi dilakukan terhadap peringkat nilai yang diberikan oleh dua penilai, misalkan, penilai X dan penilai Y v Salah satu nilai, misalnya, dari X disusun dalam urutan peringkat naik; nilai lainnya mengikutinya v Peringkat pada setiap nilai dari satu penilai diperbandingkan secara berpasangan; jika urutan adalah naik diberi +1 dan jika urutan adalah turun diberi 1 Peringkat 1 2 (naik) + 1 Peringkat 4 1 (turun) 1 v Untuk tiap penilai, semua nilai urutan dijumlahkan

Perhitungan Urutan Untuk penilai X, perbandingan berpasangan Obyek Peringkat X Urutan a 1 b 2 c d 3 4 Urutan 1 2 (naik) +1 Urutan 1 3 (naik) +1 Urutan 1 4 (naik) +1 Urutan 2 3 (naik) +1 Urutan 2 4 (naik) +1 Urutan 3 4 (naik) +1 Jumlah s. X = +6 Dengan rumus s = ½ n (n 1)

Untuk penilai Y, perbandingan berpasangan Obyek Peringkat Y Urutan a 2 b 4 c d 3 1 Urutan 2 4 (naik) +1 Urutan 2 3 (naik) +1 Urutan 2 1 (turun) 1 Urutan 4 3 (turun) 1 Urutan 4 1 (turun) 1 Urutan 3 1 (turun) 1 Jumlah s. Y = 2

Koefisien korelasi Kendall Tanpa Peringkat Sama Kendall menggunakan notasi sehingga dikenal sebagai Kendall. Untuk Obyek Peringkat X Peringkat Y a b c d 1 2 3 4 2 4 3 1 Rumus koefisien korelasi Kendall adalah s = = Melalui perbandingan berpasangan, dengan +1 untuk naik dan 1 untuk turun, s dihitung dari sampel yang ada Pada contoh di atas s = 2 / 6 = 0, 33

Contoh 2 Skor hasil belajar Statistik & Teori Tes Mahasiswa PEP Mahasiswa A Skor Statistik Teori Tes B C D E F G H I J K L 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117 Ranking berdasarkan urutan Mahasiswa A B C D E F G H I J K L Skor Statistik 3 4 2 1 8 11 10 6 7 12 5 9 2 6 5 1 10 9 8 3 4 12 7 11 Teori Tes

Ranking berdasarkan peringkat Mahasiswa D C A B K H I E L G Skor Statistik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 5 2 6 7 3 4 10 11 8 Teori Tes F 9 J 12 Sesudah mengatur rangking-rangking itu, variabel X dalam urutan yang wajar, kita tetapkan harga S untuk ranking yang saling berhubungan dengan variabel Y: S = (11 - 0) + (7 - 3) + (9 - 0) + (6 - 2) + (5 – 2) + (6 - 0) + (5 - 0) + (2 - 2) + (1 - 2) + (2 - 0) + (1 - 0) = 44 Ranking Statistik Non Parametrik yang paling kiri adalah ranking 1, ini memiliki 11 ranking yang lebih besar sebelah kanannya dan 0 ranking yang lebih kecil di sebelah kirinya, jadi skornya (11 -0), begitu seterusnya sehingga didapat harga S = 44

Rumus koefisien korelasi Kendall adalah s = = 0, 67 s = 0, 67 merepresentasekan tingkat hubungan antara teori tes dengan statistik yang diperlihatkan 12 mahasiswa PEP

Koefisien Korelasi Kendall dengan Peringkat Sama Jika terdapat peringkat sama maka perlu dilakukan koreksi peringkat sama Jika pada satu peringkat sama terdapat t data maka koreksi peringkat sama adalah T = ½ Σ t (t – 1) Koefisien korelasi Kendall dengan koreksi peringkat sama adalah

Contoh 3 Skor hasil belajar Statistik & jumlah mahasiswa yang menyerah setiap pengujian pada Mahasiswa PEP Mahasiswa A Skor Statistik Menyerah B D E F G H I J K L 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81 0 1 3 4 5 6 7 8 8 12 0 C 1 Ranking berdasarkan urutan Mahasiswa A B C D E F G H I J K L Skor Statistik 3 4 2 1 8 11 10 6 7 12 5 9 3, 5 5 6 7 8 9 10, 5 Teori Tes 1, 5 3, 5 12

Ranking berdasarkan peringkat Mahasiswa D C A B K H I E L G F J Skor Statistik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10, 5 8 9 5 12 7 6 10, 5 Teori Tes 3, 5 1, 5 Sesudah mengatur rangking-rangking itu, variabel X dalam urutan yang wajar, kita tetapkan harga S untuk ranking yang saling berhubungan dengan variabel Y: S = (8 - 2) + (8 - 0) + (8 - 0) + (1 – 5) + (4 - 2) + (3 - 2) + (4 - 0) + (0 - 3) + (2 - 0) + (1 - 4) = 27 Ranking Statistik Non Parametrik yang paling kiri adalah ranking 3, 5 (pasangannya di ranking X adalah ranking merepresentasekan, yaitu 4), ini memiliki 2 ranking yang lebih besar sebelah kanannya dan 0 ranking yang lebih kecil di sebelah kirinya, jadi skornya (8 -2), begitu seterusnya sehingga didapat harga S = 27

Setelah menentukan harga S = 27 , selanjutnya menentuka harga Tx dan Ty. Tidak terdapat angka-angka sama diantara skor-skor pada variabel statistik yaitu pada ranking X, dengan demikian Tx = 0 Pada variabel menyerah (Y), ada 3 himpunan ranking berangka sama dan t masing-masing = 2, dengan demikian Ty dapat dihitung: Ty = ½ Σ t (t – 1) = ½ {2(2 -1) + 2(2 -1)} = ½ (6) = 3 Dengan S = 27, N = 12, Tx = 0, dan Ty = 3, maka dapat dihitung harga s

Seandainya kita tidak melakukan koreksi dengan adanya angka yang sama, yakni jika kita menggunakan rumus s = Maka kita menemukan harga yang berbeda s = = = 0, 41 Perhatikan bahwa akibat koreksi untuk angka yang sama itu relatif kecil

Uji Hipotesis Koefisien Korelasi Kendall Pendahuluan v Hipotesis dapat berbentuk >0 <0 ≠ 0 v Pengujian dapat dilakukan untuk sampel besar atau sampel kecil v Pada sampel kecil (n 10) disediakan tabel nilai kritis khusus v Pada sampel besar (n > 10), distribusi probabilitas pensampelan mendekatai distribusi probabilitas normal

Pada sampel kecil (n 10) Untuk sampel-sampel kecil, signifikansi suatu hubungan yang diobservasi antara dua sampel yang ranking dapat ditentukan dengan hanya menemukan harga S dan kemudian melihat tabel kritisnya untuk menetapkan kemungkinan (satu sisi) yang berkaitan harga tersebut. Kalau p ≤ α, Ho dapat ditolak. Sebagai contoh, misalkan N = 8 dan S = 10. tabel kritisnya menunjukkan bahwa suatu S ≥ 10 untuk N = 8 mempunyai kemungkinan kemunculan di bawah Ho sebesar p = 0, 138

Uji Hipotesis pada Sampel Besar Pada sampel besar, n > 10 Distribusi probabilitas pensampelan mendekati distribusi probabilitas normal Rerata = 0 Kekeliruan baku Statistik uji

Contoh 3 Skor hasil belajar Statistik & Teori Tes Mahasiswa PEP Mahasiswa A Skor Statistik Teori Tes B C D E F G H I J K L 42 46 39 37 65 88 86 56 62 92 54 81 82 98 87 40 116 113 111 83 85 126 106 117 Telah kita tentukan bahwa diantara kedua belas mahasiswa, korelasi antara mata kuliah statistik dengan teori tes adalah s = 0, 67, jadi = =

Dengan melihat tabel harga-harga z, kita mengetahui bahwa z > 3, 03 mempunyai kemungkinan kemunculan, di bawah Ho sebesar p = 0, 0012. dengan demikian , kita dapat menolak Ho pada tingkat signifikansi α = 0, 01, dan menyimpulkan bahwa kedua variabel berasosiasi dalam populasi yang merupakan asal-usul sampel ini.

Tabel Kendall Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung s 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 4 0, 625 0, 375 0, 167 0, 042 Nilai n 5 8 0, 592 0, 548 0, 408 0, 452 0, 242 0, 360 0, 117 0, 274 0, 042 0, 199 0, 0083 0, 138 0, 089 0, 054 0, 031 0, 016 0, 0071 0, 0028 0, 00087 0, 00019 0, 000025 9 0, 540 0, 460 0, 381 0, 306 0, 238 0, 179 0, 130 0, 090 0, 060 0, 038 0, 022 0, 012 0, 0063 0, 0029 0, 0012 0, 00043 0, 00012 0, 000025 0, 0000028

Tabel Kendall Menunjukkan nilai p untuk pengujian satu ujung Nilai n s 6 7 1 0, 500 3 0, 360 0, 386 5 0, 235 0, 281 7 0, 136 0, 191 9 0, 068 0, 119 11 0, 028 0, 068 13 0, 0083 0, 035 15 0, 0014 0, 015 17 0, 0054 19 0, 0014 21 0, 00020 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 10 0, 500 0, 431 0, 364 0, 300 0, 242 0, 190 0, 146 0, 108 0, 078 0, 054 0, 036 0, 023 0, 014 0, 0083 0, 0046 0, 0023 0, 0011 0, 00047 0, 00018 0, 000058 0, 000015 0, 0000028 0, 00000028