klik tombol START untuk memulai START KAIDAH PENCACAHAN

klik tombol START untuk memulai START

KAIDAH PENCACAHAN Oleh: Fakultas MIPA Program Studi Matematika

Kaidah Pencacahan PROFIL MATERI KD CONTOH SOAL INDIKATO R PENILAIA N Latihan Evaluasi

PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Nama : Debby Eriyenti Putri Tempat, Tgl. Lahir : Sungai Penuh, 12 Desember 1992 Alamat : Jl. Pelita IV Desa Koto Lolo Kec. Pesisir Bukit Kota Sungai Penuh Latihan E-mail : debbyeriyentiputri@gmail. com Telp. : 082281002297 Evaluasi

PROFIL KD INDIKATO R 3. 4 Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Siswa mampu mengamati dan mengidentifikasi fakta pada aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual Siswa mampu mengumpulkan dan mengolah informasi untuk membuat kesimpulan, serta menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) Siswa mampu menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan kaidah Latihan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) Evaluasi

Kaidah Pencacahan PROFIL KD Pertemuan 1 Kaidah Penjumlahan INDIKATO R Kaidah Perkalian MATERI Pertemuan 2 CONTOH SOAL PENILAIA N Permutasi Latihan Evaluasi Kombinasi

Pertemuan 1: PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N ATURAN PENJUMLAHAN (RULE OF SUM) Kaidah penjumlahan menganut prinsip umum bahwa keseluruhan sama dengan jumlah dari bagiannya. Secara umum, kaidah penjumlahan dijelaskan sebagai berikut: • “Jika pekerjaan jenis pertama dapat dilakukan dengan m cara, pekerjaan jenis kedua dapat dilakukan dengan n cara, dan kedua jenis pekerjaan itu tidak dapat dilakukan secara simultan, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan tugas-tugas Latihan tersebut adalah m + n cara”. Evaluasi

Pertemuan 1: KAIDAH PERKALIAN PROFIL Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan: Ø n 1 = banyak cara untuk menyusun unsur pertama Ø KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah: n 1 × n 2 × n 3 ×. . . × nk. Jika n bilangan asli maka n! (dibaca “n faktorial”) , Maka n! = n× n -1× n - 2× n - 3×. . . × 3× 2× 1 Latihan ATAU n! =1× 2× 3×. . . × n - 3× n - 2× n -1× n Evaluasi DAN 0! = 1

Pertemuan 2: PROFIL KD INDIKATO R MATERI A. Permutasi dengan Unsur yang Berbeda Permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia biasa dituliskan n k P atau n k P serta P(n, k) dengan k ≤ n. 1. Banyak permutasi n unsur ditentukan dengan aturan 2. Banyak permutasi unsur dari n unsur yang tersedia, dapat ditentukan dengan: CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Pertemuan 2: PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Pertemuan 2: PROFIL B. Permutasi dengan Unsur yang Sama KD INDIKATO R MATERI C. Permutasi Siklik CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Pertemuan 2: KOMBINASI PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Pertemuan 2: SIFAT KOMBINASI PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Pertemuan 2: BINOMIAL NEWTON PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Pertemuan 2: PROFIL KD Dari uraian tersebut, penjabaran perpangkatan dapat dituliskan kembali dalam bentuk kombinasi yaitu . INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Aturan Penjumlahan PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Di dalam suatu laboratorium komputer ada 4 printer (merk) jenis laserjet dan 6 printer jenis deskjet. Jika seorang praktikan diperbolehkan menggunakan kedua jenis printer tersebut, berapa cara pratikan tersebut menggunakan printer ? Penyelesaian Jika seorang praktikan diperbolehkan menggunakan kedua jenis printer tersebut, maka : ada 4 + 6 = 10 Jadi, ada 10 printer yang bisa dipilih Latihan untuk dipakai. Evaluasi

Aturan Penjumlahan PROFIL KD INDIKATO R Seorang instruktur laboratorium komputer memiliki 4 jenis buku bahasa pemrograman: 5 buku (judul) tentang C++, buku tentang FORTRAN, 3 buku tentang Java, dan 5 buku tentang Pascal. Berapa cara seorang praktikan meminjam satu buku bahasa pemrograman dari sang instruktur Penyelesaian MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Jika seorang praktikan dianjurkan untuk meminjam satu buku bahasa pemrograman dari sang instruktur, , maka ada 5 + 4 + 3 + 5 = 17 buku yang bisa dia pinjam Latihan Evaluasi

Aturan Perkalian PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Aturan Perkalian PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Untuk 3 Pilihan • Pilihan 1: Pend. Matematika UNP • Pilihan 2: Matematika UNP • Pilihan 3: Matematika UNAND Untuk 2 Pilihan • Pendidikan Matematika UNP dan Matematika UNP • Pendidikan Matematika UNP dan Matematika UNAND • Matematika UNP dan Matematika UNAND • Untuk 1 Pilihan Beni hanya memilih Pend. Matematika UNP • Beni hanya memilih Matematika Latihan UNAND Evaluasi Jadi banyak cara Beni memilih jurusan ada 7 cara SK-KD

Aturan Perkalian Alternatif Penyelesaian PROFIL Tidak ada strategi memilih jurusan berarti peserta, SNMPTN bebas memilih jurusan, mungkin satu, dua, atau tiga jurusan. Jika peserta SNMPTN memilih 1 jurusan, maka KD terdapat: 3 cara. INDIKATO R Jika peserta SNMPTN memilih 2 jurusan, maka banyak, cara memilih dihitung melalui: (Pilihan 1) × 3 + (Pilihan 2) × 2 = 6 pilihan. MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Jika peserta SNMPTN memilih tiga jurusan, maka banyak cara memilih dihitung melalui: (Pilihan 1) × 3 + (Pilihan 2) × 2 +(Pilihan 3) × 1 = 6 pilihan Latihan Secara umum, jika terdapat n jurusan yang dapat dipilih dan hanya terdapat 3 pilihan, maka banyak cara memilih dihitung dengan aturan: Evaluasi (Pilihan 1) × n + (Pilihan 2) × (n – 1) + (Pilihan 3) × (n – 2)= n × (n – 1) × (n – 2) pilihan SK-KD

Aturan Perkalian PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS? Penyelesaian : 1. Cara mendaftarkan Mari kita coba untuk memilih tiap-tiap jabatan, yaitu: a. Jabatan ketua OSIS Untuk jabatan ketua dapat dipilih dari ketiga kandidat yang ditunjuk yakni Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C) sehingga untuk posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara. b. Jabatan sekretaris OSIS Karena posisi ketua sudah terisi oleh satu kandidat maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 kandidat yang tersisa. c. Jabatan Latihanbendahara OSIS Karena posisi ketua dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu kandidat. Evaluasi

Aturan Perkalian PROFIL KD Dari uraian di atas banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih tiga kandidat untuk menjadi pengurus KETUA SEKRETARIS BENDAHARA OSIS adalah INDIKATO R MATERI Jadi, banyak cara memilih pengurus OSIS adalah 3 x 2 x 1 = 6 cara CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Aturan Perkalian PROFIL KD INDIKATO R Cara Diagram : Diagram Pengurus Osis Ketua A MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N B Latihan C Evaluasi Sekretaris Bendahara Pengurus OSIS terpilih (hasil yang mungkin) B C A B A ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Aturan Perkalian PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Contoh Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000 sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Penyelesaian : Mari kita uraikan permasalahan di atas. Ø Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka jika ditampilkan dalam bentuk kolom menjadi: X X Ribuan Ratusan Puluhan Satuan Latihan Evaluasi

Aturan Perkalian PROFIL KD INDIKATO R Dengan demikan, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut: 5 6 5 Banyak susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1. 050 cara. MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N 7 Latihan Evaluasi

Permutasi dengan unsur yang berbeda PROFIL KD INDIKATO R MATERI Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian dibuat dari: a. Tiga angka pertama b. Empat angka yang tersedia. CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi Penyelesaian

Permutasi Jika resepsionis menggunakan PROFIL angka 1, 2 , dan 3 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N • 123 213 312 • 132 231 321 Dengan konsep Permutasi dapatantrian • Terdapat 6 susunan nomor diselesai dengan Latihan Evaluasi

Permutasi PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2 , 3, dan 4 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah • • 123 142 231 124 143 234 132 213 243 134 214 241 341 412 421 342 413 423 Terdapat 24 susunan nmor antrian Dengan konsep Permutasi dapat diselesai dengan Latihan Evaluasi 312 314 321 324 431 432

Permutasi dengan unsur yang sama PROFIL KD Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf yang membentuk kata K, O, G, N, I, T, I, V, I, S, T, I, K? INDIKATO R MATERI Ket. • Tersedia 13 unsur dalam kata tersebut; yaitu huruf-huruf K, O, G, N, I, T, I, V, I, S, T, I, K. Dari 13 unsur yang tersedia memuat yaitu : • 4 huruf I yang sama, • 2 huruf K yang sama • 2 huruf T yang sama. • 1 huruf O, G, N, V, dan S CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Penyelesaian Evaluasi

Permutasi PROFIL KD Jika kita partisi banyak huruf pembentuk kata K O G N I TI V I S T I K adalah sebagai berikut: INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Permutasi PROFIL KD INDIKATO R Pada sebuah upacara pembukaan turnamen olah raga disusun beberapa bendera klub yang ikut bertanding. Terdapat 3 bendera berwarna putih, 2 bendera berwarna biru, dan 1 bendera berwarna merah. Tentukanlah susunan bendera yang ditampilkan pada acara upacara pembukaan tersebut! MATERI Ket CONTOH SOAL PENILAIA N • Banyak unsur yang tersedia 6, sedangkan unsur yang sama adalah • 3 bendera berwarna putih • 2 bendera berwarna biru • dan 1 warna merah. Latihan Evaluasi Penyelesaian

Permutasi PROFIL KD Oleh karena itu dapat diperoleh banyak permutasi dari 6 unsur yang memuat 3 unsur yang sama dan 2 unsur yang sama adalah INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Latihan Evaluasi

Permutasi Siklik PROFIL KD INDIKATO R Beny (B), Edo (E), dan Lina (L) berencana makanbersama di sebuah restoran. Setelah memesan tempat, pramusaji menyiapkan sebuah meja bundar buat mereka. Selang beberapa waktu Siti datang bergabung dengan mereka. Berapa banyak cara keempat orang tersebut duduk mengelilingi meja bundar tersebut? MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Ket. • kita tidak mempersoalkan urutan posisi duduk mengitari suatu meja Latihan Evaluasi Penyelesaian

Permutasi Siklik PROFIL Adapun posisi duduk yang mungkin adalah : KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Dengan permutasi siklik dapat diselesaikan dengan Latihan Evaluasi

Kombinasi PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Ket. • PASKIBRA memiliki kemampuan yang sama Latihan Evaluasi Penyelesaian

Kombinasi PROFIL KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Dengan cara manual, pilihan pengibar adalah sbb: • • • Pilihan 1: Abdul, Badu, Cyndi Pilihan 2: Abdul, Badu, Dayu Pilihan 3: Abdul, Badu, Edo Pilihan 4: Abdul, Cyndi, Dayu Pilihan 5: Abdul, Cyndi, Edo Pilihan 6: Abdul, Dayu, Edo Pilihan 7: Badu, Cyndi, Dayu Pilihan 8: Badu, Cyndi, Edo Pilihan 9: Badu, Dayu, Edo Pilihan 10: Cyndi, Dayu, Edo Dengan kombinasi dapat diselesaikan dengan Latihan Evaluasi

Kombinasi PROFIL KD INDIKATO R Pada suatu pusat pelatihan atlit bulu tangkis, terdapat 3 atlit perempuan dan 4 atlit laki-laki yang sudah memiliki kemampuan yang sama. Untuk suatu pertandingan akbar, tim pelatih ingin membentuk 1 pasangan ganda campuran. Berapa banyak pasangan yang dapat dipilih oleh tim pelatih? MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N Ket. • Untuk memilih pasangan ganda campuran ganda berarti kita memilih 1 atlit wanita dari 3 atlit wanita dan 1 atlit laki-laki dari 4 atlit laki-laki • Misalkan 3 Atlit wanita kita beri inisial : AW 1 , AW 2, AW 3 • 4 Atlit laki-laki kita beri inisial : AL 1 , AL 2, AL 3, AL 4 Latihan Evaluasi Penyelesaian

Kombinasi PROFIL Dengan cara manual, pilihan pengibar adalah sbb: KD INDIKATO R MATERI CONTOH SOAL PENILAIA N AW 1 AL 2 AL 3 AL 4 AW 2 AL 1 AL 2 AL 3 AL 4 AW 3 AL 1 AL 2 AL 3 AL 4 • Terdapat 12 pasangan ganda campuran yang dapat dipilih Dengan kombinasi dapat diselesaikan dengan Latihan Evaluasi

Kaidah Pencacahan LATIHAN MULAI Pendidikan Matematika Pascasarjana UNP 2016 B

Kaidah Pencacahan Latihan 1/3 1. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 jika tiap-tiap angka boleh diulang? A 512 D 210 B 64 E 120 C 336 Jawabanmu. Salah Benar Jawabanmu Pendidikan Matematika Pascasarjana UNP 2016 B

SOLUSI Karena angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 boleh berulang. Maka setiap unsur dari ketiga bilangan itu adalah : 8 • Unsur Pertama 8 • Unsur Kedua 8 • Unsur Ketiga Dengan menggunakan Kaidah Perkalian, maka banyak cara untuk menyusun bilangann yang terdiri dari 3 angka adalah : 8 x 8 =512

Kaidah Pencacahan Latihan 2/3 2. Berapa banyak susunan yang berbeda dapat dibentuk dari huruf -huruf pada kata "LOGAT" dan "KAWAN"? A 60 D 21 B 64 E 12 C 36 Jawabanmu Benar Salah Pendidikan Matematika Pascasarjana UNP 2016 B

SOLUSI LOGAT terdiri dari 5 huruf yang berlainan Jadi P = 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 KAWAN terdiri dari 5 huruf dengan huruf sama (A) Jadi,

Kaidah Pencacahan Latihan 3/3 3. Seorang petani membeli 2 sapi, 3 kambing, dan 5 ayam dari seorang pedagang yang mempunyai 4 sapi, 5 kambing, dan 8 ayam. Dengan berapa cara petani tersebut dapat memilih sapi, ayam, dan kambing? A 3360 D 6210 B 6440 E 4120 C 3360 Jawabanmu Benar Salah Pendidikan Matematika Pascasarjana UNP 2016 B

SOLUSI Masalah ini diselesaikan kombinasi 4 dari 2 sapi 5 dari 3 kambing 4 C 2 x 5 C 3 x 8 C 5 = 3. 360 cara 8 dari 3 ayam

EVALUASI q Soal Terdiri dari atas 10 Nomor. q Pilihlah jawaban yang tepat dengan cara mengklik pada jawaban A, B, C, D, atau E. q Selamat Mengerjakan MULAI

UN 2014 1. Banyak bilangan yang terdiri dari empat angka berlainan yang dapat dibentuk dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7 adalah … A 8 B 24 C 360 D 400 E 440

UN 2014 2. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 akan disusun bilangan genap yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah … A 60 B 90 C 108 D 120 E 126

UN 2014 3. Dari angka-angka 2, 3, 4, 5 dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari 3 angka berlainan. Banyak bilangan genap yang terbentuk adalah … A 18 B 24 C 36 D 40 E 60

UN 2015 4. Dalam suatu organisasi akan dipilih pengurus sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara dari 8 calon yang memenuhi kriteria. Banyak susunan pengurus yang mungkin dari 8 calon tersebut adalah … A 24 B 56 C 336 D 343 E 512

UN 2015 5. Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria. Banyak susunan pengurus yang mungkin dari 9 calon tersebut adalah … A 27 B 84 C 504 D 512 E 729

UN 2015 6. Dalam suatu organisasi akan dipilih pengurus sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara dari 12 calon yang memenuhi kriteria. Banyak susunan pengurus yang mungkin dari 12 calon tersebut adalah … A 27 B 36 C 220 D 1. 320 E 2640

UN 2014 7. Pada suatu rapat terdapat 10 orang yang saling berjabat tangan. Banyak jabatan tangan tersebut adalah … A 90 B 50 C 45 D 25 E 20

UN 2014 8. Dari 10 calon pengurus OSIS akan dipilih 3 calon untuk mengikuti pelatihan. Banyak cara yang dapat dilakukan jika 1 orang calon tidak bersedia dipilih adalah … A 120 B 90 C 84 D 78 E 69

UN 2011 PAKET 12 9. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang harus diambil siswa tersebut adalah … A 10 B 15 C 20 D 25 E 30

UN 2011 PAKET 46 10. Setiap 2 warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Banyak warna baru yang khas apabila disediakan 5 warna yang berbeda adalah … A 60 B 20 C 15 D 10 E 8

Klik di sini untuk melihat hasil !

100