Kinematyka Ruch jednowymiarowy Elementy rachunku wektorowego Ruch na

Kinematyka Ruch jednowymiarowy Elementy rachunku wektorowego Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni RHW t. 1 rozdz. 2 -4 dr hab. inż. Monika Lewandowska

Ruch jednowymiarowy (I) Przykładowa zależność położenia od czasu 2

Ruch jednowymiarowy (II) Prędkość średnia vśr = Dx/Dt = tg a 3

Wielkości kinematyczne w ruchu jednowymiarowym – podstawowe definicje i wzory Przemieszczenie = zmiana położenia ciała Droga = odległość, którą przebyło ciało (skalar) Prędkość średnia = przemieszczenie/(przedział czasu, w którym ono nastąpiło) Średni moduł prędkości (szybkość) = droga/ (czas potrzebny na jej przebycie) Prędkość chwilowa: Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/ (przedział czasu, w którym on nastąpił) Przyspieszenie chwilowe: 4

Przykład Jechałeś samochodem z po prostej drodze z szybkością 60 km/h. Po przebyciu 6 km skończyło ci się paliwo i samochód się zatrzymał. Musiałeś iść pieszo 3 km do stacji benzynowej, co zajęło 30 min. a) Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia na stację benzynową? b) Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku podróży do przybycia na stację benzynową. c) Załóżmy, że nabrałeś benzyny (5 min) i wróciłeś do samochodu co zajęło ci 40 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z benzyną do samochodu. 5

Przykład 2. 2 Na rysunku (a) przedstawiono wykres położenia od czasu windy początkowo nieruchomej a następnie jadącej do góry i w końcu zatrzymującej się. Zakładając, że podczas przyspieszania i hamowania winda poruszała się ruchem jednostajnie zmiennym sporządź wykres v(t) i a(t) RHW rys. 2. 6 6

Przykład 2. 2 Na rysunku (a) przedstawiono wykres położenia od czasu windy początkowo nieruchomej a następnie jadącej do góry i w końcu zatrzymującej się. Zakładając, że podczas przyspieszania i hamowania winda poruszała się ruchem jednostajnie zmiennym sporządź wykres v(t) i a(t) RHW rys. 2. 6 7

Elementy rachunku wektorowego (I) Geometryczne dodawanie i odejmowanie wektorów 8

Elementy rachunku wektorowego (II) Układ współrzędnych kartezjańskich, składowe wektora Wersor – wektor jednostkowy Wersory wyznaczające położenie osi układu współrzędnych : Składowa wektora – rzut wektora na dany kierunek, np. na oś układu współrzędnych długość wektora 9

Elementy rachunku wektorowego (III) Działania na wektorach przy użyciu składowych dodawanie i odejmowanie mnożenie przez skalar Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy RHW Rys. 3. 20. Reguła prawej dłoni wyznaczania zwrotu iloczynu wektorowego 10

Przykłady 4. 2 -4. 4 Współrzędne biegnącego królika opisują równania: x(t)= -0. 31 m/s 2∙ t 2 + 7. 2 m/s ∙ t + 28 m oraz y(t)=-0. 22 m/s 2 ∙ t 2 - 9. 1 m/s ∙ t + 30 m a) Znajdź wektor położenia królika w chwili t=10 s i wyraź go za pomocą współrzędnych oraz przez długość i kierunek. b) Wykreśl tor królika od t=0 do t=25 s. c) Znajdź wektor prędkości oraz wektor przyspieszenia królika w chwili t=10 s i wyraź go za pomocą współrzędnych oraz przez długość i kierunek. 11

Przykład: Rzut ukośny Z urwiska o wysokości h wystrzelono pocisk nadając mu prędkość początkową v 0 skierowaną pod kątem q 0 do poziomu. Na jaką maksymalną wysokość wzniesie się pocisk? Po jakim czasie, w jakiej odległości od podstawy urwiska oraz pod jakim kątem do poziomu pocisk uderzy w ziemię? Obliczenia wykonaj dla h = 100 m, q 0 = 30 o i v 0 = 100 m/s. Na rysunku pokazano wektor prędkości początkowej i wektory prędkości pocisku w różnych punktach toru oraz składowe tych wektorów. Składowa pozioma prędkości pozostaje stała, zaś jej składowa pionowa zmienia się w sposób ciągły. RHW Rys. 4. 10. Tor pocisku 12

Ruch po okręgu (I) j - droga kątowa [rad], droga przebyta przez cząstkę: Prędkość kątowa jest wektorem o wartości [rad/s] i kierunku prostopadłym do płaszczyzny okręgu. Zwrot wektora określa reguła prawej dłoni. Prędkość liniowa Przyspieszenie liniowe [m/s 2] Wektor przyspieszenie kątowego [rad/s 2] jest równoległy (gdy ciało przyspiesza) lub antyrównoległy (gdy zwalnia) do wektora. Wartość przyspieszenia stycznego wynosi dośrodkowego (normalnego) wynosi [m/s] wektor styczny do okręgu , zaś przyspieszenia. 13

Ruch po okręgu (II) W ruchu jednostajnym po okręgu (w = const, e = 0) czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obiegu (tzn. drogi kątowej 2 p rad) nazywamy okresem T. Zachodzi związek: T = 2 p/w. Odwrotność okresu, równą liczbie obiegów wykonanych w f jednostce czasu nazywamy częstotliwością =1/T = w/2 p [Hz]. 14

Przykład Talerz adaptera o średnicy d = 20 cm obraca się ruchem jednostajnym wykonując 33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Oblicz a) prędkość kątowa talerza, b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu talerza. c) Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie dośrodkowe punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego okres obrotu? d) Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła oporu była stała obliczyć przyspieszenie kątowe talerza podczas hamowania oraz ilość obrotów, które wykonał talerz od momentu wyłączenia do zatrzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i przyspieszenia kątowego talerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i całkowitego punktu na brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera. 15