KINEMATIKA U kinematici se opisuje strujanje tekuina bez

KINEMATIKA U kinematici se opisuje strujanje tekućina bez analize sila koje generiraju to strujanje. Pri tome nije bitno o kojoj se tekućini konkretno radi (voda, zrak, ulje). Obzirom da je usvojen koncept kontinuuma te da su realne situacije strujanja vezane uz promjene parametara strujanja u prostoru i vremenu, potrebno je pronaći i adekvatan matematički način opisivanja takvog strujanja. Fizikalne veličine (varijable, polja …) s kojima se opisuje strujanje su skalari (tlak, gustoća, temperatura, koeficijenti viskoznosti), vektori (brzina, ubrzanje, gradijent tlaka), tenzori (tenzor naprezanja, tenzor brzine deformacija).

KINEMATIKA Gradijent skalarnog polja je vektor: Radijvektor položaja x, brzine v i ubrzanja a izraženi su u Kartezijevom koordinatnom sustavu pomoću tri komponente: Ukupni (totalni) diferencijal na primjeru polja tlaka glasi: Stacionarnost procesa podrazumijeva

KINEMATIKA U promatranju gibanja tekućine odnosno opisu strujanja postoje dva različita pristupa, Lagrangeov i Eulerov. Pri Lagrangeovom pristupu gibamo se zajedno s promatranim (izdvojenim) djelićem tekućine te se prate ukupne promjene kinematskih parametara tijekom vremena. Pri Eulerovom pristupu opisuje se cijelo strujno polje promatrano iz fiksne prostorne koordinate. Za potrebe definiranja veze između Lagrangeovog i Eulerovog opisa gibanja tekućine uvode se pojmovi substancijalne (totalne, ukupne), prostorne (konvektivne) i vremenske (lokalne) promjene.

KINEMATIKA Zamislimo se u ulozi promatrača koji se kreće kroz prostorno i vremenski varijabilno polje temperature T(x, y, z, t). Promatrač je iskusio promjenu temperature kroz neko vremensko razdoblje, koja se označava kao ukupna, substancijalna ili totalna DT/Dt (d. T/dt) promjena u vremenu. Isto je moguće izraziti separacijom ukupne promjene u vremenu DT/Dt na sumu parcijalne promjene u vremenu T/ t (uz fiksiranu prostornu koordinatu) i parcijalne promjene po prostoru T/ s (u jednom vremenskom trenutku - fiksirana vremenska koordinata).

KINEMATIKA Kretanjem od prostorne koordinate 1 do 2 opažač će osjetiti ukupnu razliku temperature d. T uslijed promjene temperature po prostoru T/ s·ds te uslijed promjene temperature u vremenu T/ t·dt potrebnom da se dođe od pozicije 1 do pozicije 2. Takav pristup može se primijeniti i na vektorska polja.

KINEMATIKA U mehanici tekućina se bavimo proučavanjem odnosa naprezanja i brzine deformacija a ne naprezanja i deformacija, kao što je to bio slučaj u mehanici krutog tijela. Brzinama deformacija određuje se rata kojom se fluidni djelić rotira, izdužuje (dilatira) i kutno deformira. Promatramo djelić tekućine koji se giba kroz cijev pod tlakom s karakteristikom nejednolikog strujanja (ubrzavanje) uslijed smanjenja proticajnog presjeka. Pri tome dolazi do izduženja djelića tekućine u smjeru strujanja te sabijanja u smjeru okomitom na strujanje.

KINEMATIKA Nastupile su tri vrste prostornih promjena: a)translacija, b)rotacija, c) deformacija (dilatacija, kutna deformacija) Translatorni dio je lagano opisati temeljem vektora brzina postavljenog u težište promatranog djelića tekućine (analogno kao i kod krutog tijela). Dio koji obuhvaća rotaciju i deformaciju opisuje se primjenom tenzora gradijenta brzina. Rata rotacije odgovara brzini vrtnje odnosno promjeni kuta u vremenu d /dt.

KINEMATIKA

KINEMATIKA U vremenskom inkrementu t djelić tekućine se zaokrene za srednju vrijednost kuteva X i Y : Neto rata rotacije oko z osi izražava se kao algebarska srednja vrijednost obje rate kutne deformacije i označava se kao kutna brzina (analogno za preostala dva smjera):

KINEMATIKA Rata deformacije sačinjena je od više komponenti: volumne dilatacije (kod stišljivih tekućina) i kutne deformacije. Pri analizi kutne deformacije koristi se isti pristup kao i u slučaju rotacije, samo što se posebnu pažnju mora dati predznaku kuta. Rata kutne deformacije u x-y ravnini je:

KINEMATIKA Može se pokazati da rotacija i deformacija predstavljaju komponente tenzora gradijenta brzina. Rata deformacije opisana je simetričnim dijelom tenzora, pri čemu članovi dijagonale predstavljaju volumnu dilataciju, a izvandijagonalni članovi kutnu deformaciju. Suma dijagonalnih članova definira ukupnu volumnu dilataciju (divergencija), koja je različita od 0 samo u slučaju promatranja stišljive tekućine.

KINEMATIKA U 2 D problemu raspisani članovi simetričnog dijela tenzora (dilatacija i kutna deformacija) glase: Antisimetrični dio tenzora odnosi se na rotaciju i sačinjen je od komponenti vektora rotacije (za 2 D slučaj): Odnosno za 3 D slučaj:

KINEMATIKA Divergencijom se opisuje rata promjene volumena djelića tekućine. Ukoliko se djelić tekućine izdužuje u npr. x-smjeru dolazi do povećanja njegovog volumena: Isto vrijedi i za preostala dva smjera y i z pa je u 3 D slučaju rata promjene volumena istovjetna divergenciji vektora brzina: Za nestišljivu tekućinu vrijedi:

KINEMATIKA Trajektorija – krivulja koju bi ocrtavala pojedina čestica pri svome gibanju (Lagrangeov pojam). Trag – krivulja nastala povezivanjem trenutnog položaja niza čestica koje su prošle kroz istu točku “izvorišta”. Strujnica – krivulja na koju su u svakoj točci i u svakom vremenskom trenutku vektori brzina tangente (Eulerov pojam). Pri stacionarnom strujanju sve tri krivulje su istovjetne. Strujna cijev sačinjena je od strujnica a kroz njene “stijenke” (rubne strujnice po plaštu strujne cijevi) nema proticanja.

KINEMATIKA

KINEMATIKA Protok (volumni) je umnožak površine protjecajnog presjeka i projekcije srednje brzine na vanjsku normalu protjecajne površine. Maseni protok dobiva se množenjem volumnog protoka s gustoćom. Primjenom zakona o očuvanju mase na protjecanje nestišljive tekućine kroz konzervativnu cijev dobiva se jednadžba kontinuiteta, zapisana u jednostavnoj formi:

KINEMATIKA Ideja strujne funkcije je uvedena u slučaju dvodimenzionalnog strujanja nestišljive tekućine. Definiranje brzine strujanja temeljem komponenti u x i y smjeru (u, v) te primjena jednadžbe kontinuiteta daje: Iz definicije strujnice vrijedi: Strujna funkcija uzduž jedne strujnice poprima konstantnu vrijednost.

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa Promjene u poljima fizikalnih veličina poput polja brzine odvijaju se kroz mehanizam pronosa. Matematička interpretacija mehanizma pronosa dana je sa transportnim jednadžbama koje predstavljaju zakon o očuvanju količine polja. Ukoliko promatrana fizikalna veličina ne ovisi o masi promatrane tekućine naziva se intenzivna (skalarna polja tlaka i temperatura ili vektorska polja brzine i ubrzanje). Fizikalna veličina koja je proporcionalna masi nekog prostorno ograničenog sustava tekućine naziva se ekstenzivna (masa, količina gibanja, energija i entropija).

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa Analiza se uobičajeno provodi vezano na volumen (ne na masu), te se uvodi gustoća transportne veličine = d. J/d. V (transportna veličina / volumen; npr. transportna veličina je masa m. CO 2 u volumenu V a pripadna gustoća je koncentracija izražena s kg/m 3. Integracijom po zatvorenom (m = konst. ) i u vremenu varijabilnom volumenu (V(t) – tzv. materijalni volumen) dobiva se:

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa Vremenska i prostorna raspodjela količine pojedinog polja (koncentracije, temperature, tlaka, brzine. . . ) definira se temeljem zakona o očuvanju količine polja (mase, unutrašnje energije, količine gibanja) u obliku totalne vremenske promjene d. J/dt. U trenutku t materijalni volumen definiran je sa V(t). U trenutku t+ t volumen prelazi u V(t+ t) = V(t) + V(t+ t) = V+ V. a gustoća transportne veličine (t) prelazi u (t+ t). Uz granične vrijednosti t 0 iščezava volumna promjena V 0.

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa Totalna ili supstancijalna promjena transportne veličine J(t) jednaka je: V(t) i A(t) ovisni su samo o vremenu t (ne i o vremenu t+ t). Može se preći na prostorno fiksiran volumen V(t) = V = konst. sa prostorno fiksiranim zatvorenim oplošjem A(t) = A = konst. Time se pojam materijalnog volumena V(t) zamjenjuje sa pojmom kontrolnog volumena (V) a pojam oplošja (površine) materijalnog volumena A(t) sa pojmom kontrolne površine (A).

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa Ukoliko je lokalna komponenta jednaka nuli tečenje je stacionarno. Ukoliko je konvektivna komponenta (promjena po prostoru) jednaka nuli tečenje je jednoliko. Upotrebom GGO teorema: iz izraza: dobiva se: