KETAKSAMAAN MARKOV DAN CHEBYSHEV Variansi suatu variabel acak

KETAKSAMAAN MARKOV DAN CHEBYSHEV Variansi suatu variabel acak memberi gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar rataan. Variansi kecil menunjukkan pengamatan mengelompok di dekat rataan. Akibatnya peluang suatu variabel acak mendapat nilai dalam suatu selang tertentu di sekitar rataan akan lebih besar dari variabel acak serupa yang lebih besar simpangan bakunya. 1

Ketaksamaan Markov dan Chebyshev membantu kita dalam menentukan rentang peluang (batas dan batas bawah suatu peluang) jika distribusi peluang ataupun fungsi distribusi tidak diketahui, tapi melalui rata-rata dan variansi dari variabel acak tersebut. 2

Teorema : Ketaksamaan CHEBYSHEV Misalkan variabel acak X mempunyai distribusi Peluang ( asumsikan hanya diketahui varians dan rata-rata ) maka k>0 3

Bukti : Karena maka dengan ketaksamaan Markov, 4

Jadi Selanjutnya apabila k diganti dengan k , maka : 5

Jadi, teorema Chebyshev mengatakan, Misalkan X variabel acak dengan mean , variansi Untuk suatu konstanta c dan k, pernyataan berikut ekivalen : Batas bawah 6

Contoh: 1. Jika X adalah variabel acak dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, tentukan batas bawah untuk 7

Jawab: 1. Dengan ketaksamaan Chebyshev, 8

Batas untuk dan Maka batas bawahnya adalah: 9

2. Jika A adalah variabel acak dimana dan ada. Perlihatkan bahwa Jawab: Misalkan Dengan ketaksamaan Markov, Maka 10

3. Sebuah kantor pos rata-rata dapat mengirim 10. 000 surat perhari. Tentukan peluang kantor pos tersebut dapat mengirim a) paling sedikit 15. 000 surat b) kurang dari 15. 000 surat. Jawab: Dengan ketaksaman Markov, 11

3. Lebar gordyn jendela kamar Mira berkisar antara 42, 5 dan 42, 5 inci. Mira membeli gordyn di toko yang mempunyai 30 gordyn. Berapa peluang Mira mendapatkan gordyn sesuai keinginannya, jika rata-rata lebar gordyn di toko adalah 42 inci dan simpangan baku 0, 25? Jawab: Misalkan lebar gordyn yang dibeli Mira: X Dengan ketaksamaan Chebyshev, 12

k Jadi peluang Mira mendapatkan gordyn sesuai keiinginannya minimal 75 %. 13

SOAL: 1. Jika X adalah variabel acak yang mempunyai dan , dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev tentukan: a. b. 14

2. Misalkan X mempunyai pdf Tentukan jika a. b. Hitung secara eksak, bandingkan dengan nilai di atas 15

3. Misalkan X mempunyai peluang di titik x= -1, 0, 1 berturut-turut. a) Dengan Ketaksamaan Chebyshev, tentukan jika b) Hitung secara eksak (peluang biasa), kemudian bandingkan dengan hasil a). 4. Rata-rata IQ siswa suatu sekolah adalah 110. Jika variansnya 15, apa yang dapat kita katakan tentang prosentase siswa yang ber IQ tidak kurang dari 140? 16