Kertausta FUNKTIOISTA MAB 5 kurssin jlkeen Beta 2

Kertausta FUNKTIOISTA MAB 5 -kurssin jälkeen (Beta 2. 0) y y=f(x) x ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua Oletetaan, että alla olevissa funktioiden kuvaajissa näkyvät kaikki kuvaajan oleelliset osat. Päättele kuvaajan perusteella, minkä asteen funktion kuvaaja kukin kuvaajista voi olla. Klikkaa TOISEN ASTEEN funktion kuvaajaa. ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua OIKEIN! Klikkaa KOLMANNEN asteen funktion kuvaajaa. Toisen asteen funktion kuvaaja ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua Jäljelle jääneiden funktioiden asteluku on 4. OIKEIN! Klikkaa kuvaajaa, joka voi esittää funktiota Toisen asteen funktion kuvaaja ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT Kolmannen asteen funktion kuvaaja FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU Kolmannen asteen funktion kuvaaja FUNKTION ÄÄRIARVOT Toisen asteen funktion kuvaaja FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua OIKEIN! Parittoman funktion kuvaaja ’muistuttaa’ suoraa. Parillisen funktion kuvaaja ’muistuttaa’ paraabelia. Toisen asteen Neljännen asteen funktion kuvaaja ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI Kolmannen asteen Neljännen asteen Kolmannen asteen funktion kuvaaja DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT Toisen asteen funktion kuvaaja FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

y = f(x) Muistaos tämä: Funktion arvot ovat y: n arvoja Sulkeissa on aina x: n arvo Klikkaile hiiren vasemmalla, niin pääset eteenpäin … Esim. f (3) = 5 y=5 x=3

y = f(x) Muistaos tämä: Funktion arvot ovat y: n arvoja Sulkeissa on aina x: n arvo Esim. f (3) = 5 y=5 x=3 ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion nollakohdat Vie kohdistin yhden funktion nollakohdan päälle ja klikkaa.

Funktion nollakohdat ovat - kohdat, joissa f(x) = 0 eli y = 0 - kuvaajan ja x-akselin leikkauskohdat

Funktion nollakohdat ovat - kohdat, joissa f(x) = 0 eli y = 0 - kuvaajan ja x-akselin leikkauskohdat ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion merkki x-akselin yläpuolella funktion arvot (y: n arvot) ovat POSITIIVISIA x-akselin alapuolella funktion arvot (y: n arvot) ovat NEGATIIVISIA

Funktion merkki x-akselin yläpuolella funktion arvot (y: n arvot) ovat POSITIIVISIA x-akselin alapuolella funktion arvot (y: n arvot) ovat NEGATIIVISIA ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI Funktion nollakohdat DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion derivaatasta v Funktion derivaatta kuvaa funktion muutosnopeutta (käyrän jyrkkyyttä). v Kun halutaan selvittää funktion muutosnopeus (kasvunopeus tai vähenemisnopeus) tietyssä pisteessä, niin määritetään funktion derivaatan arvo tässä pisteessä. v Funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x 0 merkitään:

Derivaatta graafisesti GRAAFINEN DERIVOINTI Määritetään graafisesti eli kuvaajasta. • piirretään käyrälle tangentti kohtaan x 0 • määritetään tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti GRAAFINEN DERIVOINTI Määritetään graafisesti eli kuvaajasta. • piirretään käyrälle tangentti kohtaan x 0 • määritetään tangentin kulmakerroin ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 Klikkaa hiiren vasemmanpuoleisella näppäimellä kohdassa, johon tangentti on piirrettävä.

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 Piirretään tangentti kohtaan x = -2

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 1. Piirretään käyrälle tangentti kohtaan x = -2 2. Määritetään tangentin kulmakerroin kohdassa x = -2

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 3. Kulmakertoimen määrittämiseksi valitaan tangentilta KAKSI PISTETTÄ, joiden koordinaatit ovat selkeästi luettavissa. Klikkaa hiiren vasemmalla yhden tähän tarkoitukseen hyvin soveltuvan pisteen päällä. Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 3. Kulmakertoimen määrittämiseksi valitaan tangentilta KAKSI PISTETTÄ, joiden koordinaatit ovat selkeästi luettavissa. Oikein!. . ja muitakin pisteitä löytyy … kokeile vaikka Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 3. Kulmakertoimen määrittämiseksi valitaan tangentilta KAKSI PISTETTÄ, joiden koordinaatit ovat selkeästi luettavissa. Esimerkiksi pisteet (-3, 0) ja (-1, 4) käyvät. Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 4. Täydennetään kuviota muodostamalla kolmio. Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 5. Luetaan kuviosta Mikä seuraavista on oikein? Klikkaa oikeaa vastausta hiiren vasemmalla: Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 5. Luetaan kuviosta Mikä seuraavista on oikein? Klikkaa oikeaa vastausta hiiren vasemmalla: Oikein! Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti Tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2

Derivaatta graafisesti TÄSTÄ klikkaamalla kaksi tehtävää. x = -2 ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Tehtävä 1 Määritä f ’(0). Klikkaa oikeaa vaihtoehtoa: y = f(x)

Ratkaisu tehtävään 1 Oikein! f ’(0) = 1 Piirretään käyrälle tangentti kohtaan x = 0 Tangentin kulmakerroin y = f(x)

Tehtävä 2 Määritä f ’(2). Klikkaa oikeaa vaihtoehtoa: y = f(x)

Ratkaisu tehtävään 2 Oikein! f ’(2) = -3 Tangentin kulmakerroin y = f(x)

Funktion kulku y y = f(x) Funktion kulkua (kasvamista ja vähenemistä) voidaan tutkia derivaatan avulla. 2 x 7 Klikkaa käyrällä kohtaa, jossa funktio on vähenevä. ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kulku y y = f(x) 2 KASVAVA VÄHENEVÄ x 7 KASVAVA Klikkaa käyrällä kohdassa, jossa funktion derivaatta on nolla.

Funktion kulku y y = f(x) 2 KASVAVA VÄHENEVÄ x 7 KASVAVA Funktion derivaatta on nolla kohdissa, joissa käyrälle • piirretty tangentti on x-akselin suuntainen • piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla

Funktion kulku y y = f(x) 2 7 Klikkaa käyrällä kohtaa, jossa funktion derivaatta on NEGATIIVINEN. x

Funktion kulku y y = f(x) 2 7 x Funktion derivaatta on • NEGATIIVINEN kohdissa, joissa käyrälle piirretty tangentti on laskeva

Funktion kulku y y = f(x) 2 7 x Funktion derivaatta on • NEGATIIVINEN kohdissa, joissa käyrälle piirretty tangentti on laskeva • POSITIIVINEN kohdissa, joissa käyrälle piirretty tangentti on nouseva Huom! Piirrosteknisistä syistä käyrä on väritetty vain summittaisesti

Funktion kulku y y = f(x) 2 Klikkaile hiiren vasemmalla, niin pääset eteenpäin … 7 x

Funktion kulku y y = f(x) 2 Funktio on: FUNKTION KULKUKAAVIO: Derivaatan merkki f ’ (x) Funktion kulku f (x) KASVAVA VÄHENEVÄ 2 x 7 KASVAVA 7 paikallinen maksimikohta paikallinen minimikohta

Funktion kulku y y = f(x) Funktio on: KASVAVA Funktion kulku ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT f (x) FUNKTION MERKKI VÄHENEVÄ KASVAVA 7 2 FUNKTION KULKUKAAVIO: Derivaatan merkki f ’ (x) x 7 2 paikallinen maksimikohta paikallinen minimikohta DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion (paikalliset) ääriarvot (Paikalliset) ääriarvopisteet: Maksimipiste Minimipiste y y = f(x) Klikkaa maksimipisteessä. x ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion (paikalliset) ääriarvot y (Paikalliset) ÄÄRIARVOPISTEET: y = f(x) Maksimipiste Minimipiste x

Funktion (paikalliset) ääriarvot y Ä Ä R paikallinen I maksimiarvo A R V paikallinen O minimiarvo T y = f(x) Maksimipiste Minimipiste paikallinen maksimikohta paikallinen minimikohta ÄÄRIARVOKOHDAT x

Funktion (paikalliset) ääriarvot Ääriarvopisteessä y y = f(x) x: n arvot ovat ÄÄRIARVOKOHDAT - maksimikohta paikallinen - minimikohta maksimiarvo y: n arvot ovat ÄÄRIARVOT - maksimi(arvo) - minimi(arvo) paikallinen minimiarvo paikallinen maksimikohta Ääriarvokohdissa Ø käyrälle piirretty tangentti on x-akselin suuntainen Ø käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla Ø funktion derivaatta on nolla paikallinen minimikohta x

Funktion (paikalliset) ääriarvot Funktiolla voi olla 0, 1, 2, … (paikallista) maksimia ja/tai minimiä. Derivaatan nollakohdat ovat mahdollisia ääriarvokohtia. f ’(x) = 0, mutta piste ei ole ääriarvopiste f ’(x) = 0, ei ääriarvoja mutta piste ei ole ääriarvopiste ei ääriarvoja yksi minimi yksi maksimi kaksi minimiä kaksi maksimia yksi minimi f ’(x) = 0, mutta piste ei ole ääriarvoyksi maksimi piste

Funktion (paikalliset) ääriarvot Funktion y = f(x) ääriarvot laskemalla: Ø määritä funktion derivaatta Ø määritä derivaatan nollakohdat (ovat mahdollisia ääriarvokohtia) y y = f(x) Ø laadi funktion kulkukaavio ja merkitse siihen o derivaatan nollakohdat ja derivaatan merkit paikallinen o funktion kulkua osoittavat nuolet maksimiarvo o ääriarvokohdat Ø laske funktion arvot ääriarvokohdissa paikallinen minimiarvo x paikallinen maksimikohta paikallinen minimikohta

Funktion (paikalliset) ääriarvot Funktion y = f(x) ääriarvot laskemalla: Ø määritä funktion derivaatta Ø määritä derivaatan nollakohdat (ovat mahdollisia ääriarvokohtia) y y = f(x) Ø laadi funktion kulkukaavio ja merkitse siihen o derivaatan nollakohdat ja derivaatan merkit paikallinen o funktion kulkua osoittavat nuolet maksimiarvo o ääriarvokohdat Ø laske funktion arvot ääriarvokohdissa paikallinen minimiarvo x paikallinen maksimikohta ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT paikallinen minimikohta FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion suurin ja pienin arvo, kun A. Pariton polynomifunktio, kun Funktiolla EI ole suurinta eikä pienintä arvoa. B. Parillinen polynomifunktio, kun Funktiolla on JOKO suurin arvo TAI pienin arvo.

Funktion suurin ja pienin kunarvo Funktion suurin ja arvo, pienin A. Pariton polynomifunktio, kun Funktiolla EI ole suurinta eikä pienintä arvoa. B. Parillinen polynomifunktio, kun Funktiolla on JOKO suurin arvo TAI pienin arvo. ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion suurin ja pienin arvo, kun Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Suurin arvo Pienin arvo

Funktion suurin ja pienin jaarvo, pienin kunarvo Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Suurin arvo Pienin arvo

Funktion suurin ja pienin jaarvo, pienin kunarvo Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Kun , niin tarkastellaan vain pientä osaa funktiosta. Funktion suurin ja pienin arvo löytyvät JOKO: derivaatan nollakohdista TAI: välin päätepisteistä

Pikkukysely Ääni kertoo menikö oikein … 1. Klikkaa x: n arvoa merkinnässä 2. Onko viereinen kuvaaja parillisen vai parittoman funktion kuvaaja? 3. Ohessa on funktion y = f(x) kuvaaja. a) Funktion nollakohtia ovat: b) Derivaatan nollakohtia ovat: c) Funktion minimikohtia ovat: d) Funktion maksimiarvoja ovat:

Vastaukset pikkukyselyyn x = -5 ja y = 10 1. Merkinnässä 2. Parittoman funktion kuvaaja ’muistuttaa’ suoraa ja parillisen paraabelia. 3. Ohessa on funktion y = f(x) kuvaaja. a) Funktion nollakohtia (kuvaajan ja x-akselin leikkauskohdat) ovat: b) Derivaatan nollakohtia (kohdat, joissa käyrälle piirretty tangentti on x-akselin suuntainen) ovat: c) Funktion minimikohtia (ääriarvokohdat ovat x: n arvoja) ovat: d) Funktion maksimiarvoja (ääriarvot ovat funktion arvoja) ovat: ALKU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO