Kepler Narancsai MATEMATIKA MINDENKINEK 2017 2018 PLYAMUNKA 3

Kepler Narancsai MATEMATIKA MINDENKINEK 2017 -2018 PÁLYAMUNKA 3 GIGA SZABÓ LEVENTE LÁSZLÓ 10/D, VÁMOSI KORNÉL MIKSA 10/D, YAKE ANDREW ERIC 10/D KAPOSVÁRI TÁNCSICS MIHÁLY GIMNÁZIUM I. KATEGÓRIA MENTORTANÁR: VÁMOSI LÁSZLÓ

Tartalom A feltevés születése Kepler-sejtés Rácsszerkezetek Kétdimenziós rács Thue tétel bizonytása Voronoi-sokszögek a térben Kepler: sejtésből-tétel Hasonló sejtések Kelvin probléma

A feltevés születése 1611 - Johannes Kepler: narancsok elhelyezése Sir Walter Raleigh kérése a levelében Thomas Harriot: ágyúgolyók elhelyezése Johannes Kepler (1571 -1630) Thomas Harriot (1560 -1621)

A Kepler-sejtés A legsűrűbb térkitöltés gömbökkel A sűrűség maximális értéke egyre nagyobb a véges részeken: Kockarács: maximális kitöltés kb. 52% Háromszögrács: kb. 74% „Narancsgúla”: kb. 74%

Rácsszerkezetek Hatszöges rács: Lapkoncentrált kockarács Végtelen sokféle ugyanolyan sűrű rács van!

Kétdimenziós rács Thue tétele: Körök elhelyezése síkon a hatszögrácson a legsűrűbb (Axel Thue, 1980) Négyzetrács kb. 79% sűrűség Hatszögrács kb. 90% sűrűség Lehetséges, hogy az optimális Voronoi-cella a hatszög. (90%-os sűrűség) Voronoi-cellák Tetszőleges elrendezéste Sűrűség ≤ legnagyobb cellasűrűség = legkisebb területű cella / körkerület

Thue tétel bizonyítása Ha a hatszög az optimális Voronoi-cella, akkor: I. <90% III. ≤ 90% ? ? ? Optimális esetben: nincs I. és II. eset

Voronoi-cella a térben Nem működik, mert: Az „optimális” Voronoi-cella a térben: Szabályos dodekaéder (kb 75%-át tölti ki a gömb) Ezért, szabályos dodekaéderekkel nem lehet a teret kitölteni! A megsejtett legsűrűbb pakolás cellája: rombododekaéder (kb- 74%-át tölti ki a gömb)

Kepler Sejtésből-tétel Thomas Hales, 1998 Fejes-Tóth László gondolataival Cellatérgfogat + hibatag A 32 éves, ukrán kutatója, Maryna Viazovska, sikeresen bizónyította a sejtést a 8 dimenziós térben Minimumhely-keresés Lehetséges gömbkonfigurációk Szélsőérték-keresés lineáris programokkal 200 változós lineáris program 2000 feltétellel Bizonyítás 300 oldal + 3 GB program “ 99%, hogy helyes„

Hasonló sejtések Leghatékonyabb hab? “ Nedves hab„ Minden cella kör/gömb Minimalizáljuk a köztes részek területét/térfogatát! “Száraz hab„ Minden cella egyenlő területű/térfogatú Minimalizáljuk az elválasztó falak hosszát/területét! Két dimenzióban a hatszögrács optimális (Thomas Hales, 1999)

Kelvin probléma Azanos cellatérfogat, minimális válaszfal-terület A gömbpakolásból: rombdodekaéderek Kelvin sejtése: csonkolt oktaéderek 1993: Weaire-Phelan rendszer

Felhasznált irodalom http: //honlap. eotvos. elte. hu/wp-content/uploads/2016/07/bodnar_jozsef. pdf https: //index. hu/tudomany/2016/04/05/tobb_evszazados_matematikai_pro blemat_oldott_meg_egy_24_eves_no/ http: //www. tankonyvtar. hu/en/tartalom/tamop 425/0038_matematika_Balka _Richard_Egri-Nagy_Attila_Juhasz_Tibor. Matematikatortenet_problemakon_keresztul/ch 02 s 02. html https: //www. mozaweb. hu/Lecke-MAT-Sokszinu_matematika_1211_A_tergeometria_alkalmazasai-100862 http: //epa. oszk. hu/00700/00775/00014/83 -94. html

Köszönjük a figyelmet! SZABÓ LEVENTE LÁSZLÓ, VÁMOSI KORNÉL MIKSA, YAKE ANDREW ERIC