Kendalova klasifikace SHO Systm MM1 Klasifikace systm hromadn

Kendalova klasifikace SHO Systém M/M/1

Klasifikace systémů hromadné obsluhy • X/Y/s • X … typ vstupního procesu - M Poissonovský proces - D Deterministický proces - U (C) Rovnoměrné rozdělení - G Obecné ( jiné, než zde výslovně uvedené) rozdělení

Klasifikace systémů hromadné obsluhy • X/Y/s • Y … rozděleníé veličiny doba obsluhy - M Normální rozdělení - D Pevná doba obsluhy - U (C) Rovnoměrné rozdělení - G Obecné ( jiné, než zde výslovně uvedené) rozdělení

Klasifikace systémů hromadné obsluhy • X/Y/s • S >= 1 počet kanálů obsluhy

Rozšířená klasifikace SHO • X/Y/s/C/F/V • C disciplína čekání (FIFO, LIFO, RANDOM, PRIORITY()) • F omezení délky fronty (číslo, nebo ∞) • V omezení vstupu (velikosti populace) (číslo, nebo ∞)

Vstupní parametry modelů … intenzita vstupu (průměrný počet požadavků, které do systému vstoupí za jednotku času) … intenzita obsluhy (průměrný počet požadavků, které je kanál schopen obsloužit za jednotku času) … = / intenzita provozu

Vypočtené parametry modelu pn … pravděpodobnost, že v systému je právě n zákazníků … průměrný počet zákazníků v systému … průměrná délka fronty … průměrná doba setrvání zákazníka v systému … průměrná doba čekání … průměrný počet obsazených kanálů (= průměrný počet zákazníků v obsluze)

Model M/M/1 • Respektive M/M/1/FIFO/∞/∞

Lze reprezentovat Markovovským řetězcem • Stavy 0, 1, …, n, … (v systému je právě n zákazníků 1 -(λ+μ)dt 1 -λdt μdt λdt 1 0 1 -(λ+μ)dt 3 2 μdt λdt μdt …

Pokud existuje ustálený režim systému, musí platit • • • 0 = -λp 0 + μp 1 0 = λp 0 – (λ+μ)p 1 + μp 2 …. . 0 = λpn-1 – (λ+μ)pn + μpn+1 p 1 + p 2 + … + pn + … = 1 • A tedy • pn = (1 -ρ)ρn

Průměrná doba strávená ve frontě = - 1/μ = 1/(λ-μ) -1/μ = ρ/(μ-λ)

Shrnutí vzorců pro systém M/M/1 Pro ρ >= 1 je systém nestabilní Pro ρ < 1 platí průměrný počet jednotek v systému ρ/(1 - ρ) průměrný počet jednotek ve frontě ρ2/(1 - ρ) průměrný počet jednotek v obsluze ρ průměrná doba strávená v systému 1/(μ-λ) průměrná doba strávená ve frontě ρ/(μ-λ) průměrná doba strávená v obsluze 1/μ pravděpodobnost, že jednotka bude čekat ve frontě déle, než t ρ. e –(μ-λ)t

Příklady