Keep running VEKTOr Fisika I 11212020 1 Keep

Keep running VEKTOr Fisika I 11/21/2020 1

Keep running Sasaran Pembelajaran • Mahasiswa mampu menentukan besar dan arah sebuah vektor. • Mahasiswa mampu melakukan operasi jumlah, operasi titik, operasi silang dua buah vektor. Fisika I 11/21/2020 2

BAB I : VEKTOR Keep running n Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Contoh : perpindahan. b Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R R a n Notasi n Vektor: dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). n Besar vektor: dinyatakan oleh hurup capital (misal A) n Arah vektor: dinyatakan dgn vektor satuan; i(arah sb x), j(arah sb. y), dan k(arah sb. z) Fisika I 11/21/2020 3

PENJUMLAHAN VEKTOR Keep running • Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama (vector R) dengan pangkal vektor kedua (vektor S). • Vektor resultan (vektor T) diperoleh dengan menghubungkan pangkal vektor pertama (vector R) dan ujung vektor kedua (vektor S). b T=R+S S R T a Fisika I c Penjumlahan vektor R dan vector S menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. 11/21/2020 4

Keep running BESAR VEKTOR RESULTAN Besar vektor T dapat dihitung dengan: (1. 1) T=R+S θ R T Fisika I S Dimana, R = besar vektor R, S = besar vektor S, θ = sudut antara vektor R dan S T = besar vektor T 11/21/2020 5

PENGURANGAN VEKTOR Keep running • • Untuk pengurangan vektor (misal A – B) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. A B -B -B D A D=A–B Fisika I 11/21/2020 6

CONTOH Keep running Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! 40 km B U 10 km 20 km Fisika I S 11/21/2020 7

CONTOH Keep running 40 km Jawab : B C 20 km 10 km A D= B A+ +C 10 km 40 km Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : Fisika I 11/21/2020 8

Keep running VEKTOR SATUAN n Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satuan. n Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. n Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Vektor satuan didefenisikan sebagai : (1. 2) Fisika I 11/21/2020 9

Keep running PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Vektor R dinyatakan oleh : R z R = R xi + R yj + R zk R Besar vektor R adalah : R y R x Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. Fisika I 11/21/2020 10

Keep running CONTOH Sebuah vektor perpindahan dari titik (2, 2) ke titik (-2, 5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor Jawab : y (-2, 5) ujung Ry (2, 2) pangkal x Rx a. Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4 i + 3 j Fisika I 11/21/2020 11

CONTOH Keep running y (-2, 5) ujung Ry (2, 2) pangkal x Rx b. c. Sudut yang dibentuk : Besar vektor R = Fisika I satuan 11/21/2020 12

Keep running PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS n Jika vektor A = x. Ai + y. Aj dan vektor B = x. Bi + y. Bj, maka penjumlahan vektor A + B = (x. A + x. B)i + (y. A + y. B)j. n Secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x 0 + …+xi + …+xn)i + (y 0 + …+yi + …+yn)j (1. 3) y. A + y. B y. A B A + B B A x. B x. A Fisika I A x + x B A 11/21/2020 13

CONTOH Keep running Diketahui dua buah vektor. A = 3 i + 2 j B = 2 i 4 j Tentukan : a. A + B dan A + B b. A B dan A B Jawab : a. A + B = 3 i + 2 j + 2 i 4 j -B A A+ B B = 5 i 2 j A + B = b. A B = 3 i + 2 j (2 i 4 j) = i + 6 j A B Fisika I= 11/21/2020 14

SOAL Keep running 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60 o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! 2. Sebuah benda bergerak dari titik (1, 2)m ke titik (5, 0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3 i + 4 j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku c. A = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2 i + 4 j, B = -7 i, dan C = 8 j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C Fisika I 11/21/2020 15

Keep running PERKALIAN SKALAR n Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A A. B = AB cos (1. 4) B n Dari persamaan 1. 4, dapat disimpulkan bahwa: n i. j=j. k=k. i=0 n i. i=j. j=k. k=1 Fisika I 11/21/2020 16

Keep running PERKALIAN SKALAR n Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A. B = ax bx + a y by + a z bz (1. 5) n Contoh hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. Fisika I 11/21/2020 17

CONTOH Keep running Diketahui dua buah vektor, A = 3 i + 4 j dan B = 4 i 2 j. Tentukan sudut antara vektor A dan B ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1. 4). A A. B = (3 i + 4 j). (4 i 2 j) = 3. 4 + 4. (-2) = 4 Besar vektor A = Besar vektor B = Fisika I AB B Dengan demikian = 79, 7 o 11/21/2020 18

Keep running PERKALIAN VEKTOR n Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : A B=C (1. 6) n Besar vektor C adalah : C = AB sin (1. 7) n Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. n A B tidak sama dengan B A (besar vektor hasil perkalian silang sama, tetapi arahnya saling berlawanan). B C=A B B C = -C’ A Fisika I A C’ = B A 11/21/2020 19

PERKALIAN VEKTOR Keep running n Perlu diperhatikan diingat dalam perkalian titik adalah : i i=j j=k k=0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -j Fisika I 11/21/2020 20

Keep running PERKALIAN VEKTOR n Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. n Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan gambar di bawah ini : Fisika I 11/21/2020 21

CONTOH Keep running Diketahui dua buah vektor. A = 3 i + 4 j B = 4 i 2 j + k Tentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B A Jawab : a. A B = (3 i + 4 j) (4 i 2 j + k) = 3. 4(i i) + 3. (-2)(i j) + 3. 1(i k) + 4. 4(j i) + 4. (-2)(j j) + 4. 1(j k) = 12. 0 – 6 k + 3(-j) + 16(-k) – 8. 0 + 4 i = 4 i – 3 j – 22 k b. B A = (4 i 2 j + k) (3 i + 4 j) = 4. 3(i i) + 4. 4(i j) +(2). 3(j i) + (-2). 4(j j) + 1. 3(k i) + 1. 3(k j) = 12. 0 + 16 k – 6(k) – 8. 0 + 3 j + 4(-i) = -4 i + 3 j + 22 k = - A B terbukti Fisika I 11/21/2020 22

SOAL Keep running 1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! 2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A=1 i+2 j–k B=4 i+2 j+3 k C=2 j– 3 k Tentukan : a. A. (B C) b. A. (B + C) c. A (B + C) 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! Fisika I 11/21/2020 23