Kd ITMS projektu 26110130667 Stredn priemyseln kola dopravn

Kód ITMS projektu: 26110130667 Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Vzdelávacia oblasť: Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Predmet technické kreslenie Ročník, triedy: 1. ročník Tematický celok: Kuželosečky Vypracoval: Ing. Lašková Andrea „Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ“

Obsah • Elipsa – Ohnisková konštrukcia – Hyperoskulačné kružnice • Hyperbola – Ohnisková konštrukcia • Parabola – Ohnisková konštrukcia

Elipsa • Elipsa je množina všetkých bodov v rovine E 2, ktoré majú od dvoch rôznych bodov 1 F, 2 F stály súčet vzdialeností rovný 2 a, pričom 2 a>|1 F 2 F|.

Ohnisková konštrukcia elipsy • Dané sú ohniská 1 F, 2 F a úsečka KL dĺžky 2 a, 2 a>|1 F 2 F|. Zostrojme elipsu ako množinu bodov s vlastnosťou elipsa = {XÎ E 2; |X 1 F|+|X 2 F|=2 a, 2 a>|1 F 2 F|} • Bod 1 a ďalšie pomocné body volíme medzi bodmi 1 F a S. • Body elipsy získame v prieniku kružníc: 1 k 2 k={1 M, M}, 1 k´ 2 k´={3 M, 4 M}, 1 r=|A 1|, 2 r=|B 1|, pričom 1 k(1 F; 1 r), 1 k´(2 F; 1 r), 2 k(2 F; 2 r), 2 k´(1 F; 2 r). • Každý z bodov i. M, i=1, . . . , 4 spĺňa vlastnosť: |i. M 1 F|+|i. M 2 F|=2 a

Hyperoskulačné kružnice elipsy • Priesečníky E a G kružníc k(A, b) a l(C, a) určujú priamku, ktorá pretína osi o 1, o 2 v stredoch O 1, O 2 hyperoskulačných kružníc pre vrcholy A a C. • Kružnicové oblúky h 1(O 1; | O 1 A|), h 2(O 2; |O 2 C|), a h 1´, h 2´, ktoré sú ich obrazmi v stredovej súmernosti so stredom S, umožnia rýchle narysovanie elipsy pomocou krividla. • Kružnicové oblúky h 1, h 1´, sú celé znútra, oblúky h 2, h 2´, sú celé zvonka elipsy.

Hyperbola • je množina všetkých bodov v rovine E 2, ktoré majú od dvoch rôznych bodov 1 F, 2 F stály kladný rozdiel vzdialeností rovný 2 a, pričom 0<2 a< 1 F 2 F. Oba pevné body nazývame ohniská a stred úsečky 1 F 2 F je stredom hyperboly. Vzdialenosť 1 FS a 2 FS sa nazýva excentricita alebo aj lineárna výstrednosť

Ohnisková konštrukcia hyperboly • Dané sú ohniská 1 F, 2 F a úsečka KL dĺžky 2 a, 2 a< 1 F 2 F. • Úsečku KL je vhodné umiestniť na priamku 1 o tak, aby sa jej stred stotožnil so stredom úsečky 1 F 2 F, potom krajné body K, L sa stotožnia s hlavnými vrcholmi A, B hyperboly. Bod 1 a ďalšie pomocné body volíme z vnútorných bodov na polpriamke opačnej k polpriamke 1 FS. Priesečníky kružníc: 1 k 2 k={1 M, 2 M}, 1 k´ 2 k´={3 M, 4 M} sú bodmi hyperboly, pričom 1 r= A 1 , 2 r= B 1 , 1 k(1 F; 1 r), 1 k´(2 F; 1 r), 2 k(2 F; 2 r), 2 k´(1 F; 2 r). Každý z bodov i. M, i=1, . . . , 4 spĺňa vlastnosť: i. M 1 F – i. M 2 F =2 a, je teda bodom hyperboly.

Parabola • Parabola je množina všetkých bodov v rovine E, ktoré majú rovnaké vzdialenosti od pevnej priamky d a od pevného bodu F, pričom F neleží na priamke d. • Symbolický zápis: parabola = {X E; Xd = XF , F ∉ d}

Ohnisková konštrukcia paraboly • Dané je ohnisko F a riadiaca priamka d. • Na polpriamke VF zvoľme bod 1. Body paraboly sú v prieniku pomocnej kružnice 1 k(F; 1 d ) s priamkou 1 l prechádzajúcou bodom 1 a rovnobežnou s riadiacou priamkou d 1 k 1 l={1 M, 2 M}. Opakovaným postupom (pri voľbe ďalších pomocných bodov) získame ďalšie dvojice bodov paraboly.