Kartezyen arpm lk eleman birinci kmeden ikinci eleman

Kartezyen çarpım : İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir. Örnek 1: A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} ise Ax. B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} olur. Bx. A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)} şeklinde yazılır. Örnekte görüldüğü gibi ( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ). Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. Ax. B kümesinin eleman sayısı ise 6 ‘dır. Böyle olması tesadüf değildir.

Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Aynı sebeple Bx. A kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ). ( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ) s(Ax. B) = s(Bx. A) = s(A) s(B) ( Denk kümeler ) Bağıntı : Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eğer bağıntı, Ax. B ‘nin alt kümesi ise o bağıntıya A’dan B’ye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır.

“n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2 n olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2 s(A)s(B) ‘ dir. Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı şekilde B’den A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 220 ‘dir. Örnek 3 : A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, a, b} olmak üzere A’dan B’ye bir bağıntı tanımlayalım : b ={(1, 1), (2, 2), (3, a) } ise grafik ile gösterimi şöyle olur :

b : A ® B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım kümesi A, değer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir. NOT : b : A ® B (b A’dan B’ye bir bağıntıdır diye okunur) C = b (A) = {b (1), b (2), b (3)} = {1, 2, a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir. Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A’ dan A’ya yazılabilecek bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ? Çözüm : s(Ax. A) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı

olur. Örnek 5 : A={a, b, c, d} kümesi üzerinde tanımlanan b ={(a, a), (a, c), (b, d), (c, d)}bağıntısını grafik ile gösteriniz : Çözüm : Bağıntıların özellikleri : 1. Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x, x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.

2. Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x, y) ikilisini içerirken aynı anda (y, x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir. 3. Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x, y) ikilisini içerirken aynı anda (y, x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir. 4. Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x, y) ikilisini ve (y, z) ikilisini içerirken aynı anda (x, z) ikilisini de içeriyorsa geçişkendir. Bağıntı çeşitleri : 1. Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik bağıntısı denir. 2. Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya sıralama bağıntısı denir.

Örnek 6: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan b = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (4, 4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : A kümesinin tüm elemanları için (x, x) ikililerini içerdiği için yansıyan, (1, 2) ikilisinin tersi olan (2, 1) ikilisini içermediğinden ters simetrik, (1, 1) ve (1, 2) varken (1, 2) ikilisini de olduğundan geçişkendir. Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır. Örnek 7: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan b = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm : A kümesinin tüm elemanları için (x, x) ikililerini içerdiği için yansıyan, (1, 2) ikilisinin tersi olan (2, 1) ikilisini içerdiğinden simetrik, (2, 1) ve (1, 2) varken (1, 1) ve (2, 2) ikilisini de olduğundan geçişkendir. Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır. Örnek 8: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan b = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir. b = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir. Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama bağıntısıdır. Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir. Örnek 9: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan b = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (4, 4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : (3, 3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ; (1, 3) ikilisinin tersi olmadığı için simetrik değil ;

aynı anda hem (1, 2) hem de (2, 1) ikililerini içerdiği için ters simetrik değil ; (2, 1) ve (1, 3) varken (2, 3) olmadığından dolayı da geçişken değildir. Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir. Örnek 10: A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan b = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim : Çözüm : (3, 3) ve (4, 4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ; fakat simetrik ve geçişkendir.

b : A ® A ve s(A) = n olmak üzere Tanımlanabilen bağıntı sayısı ; Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı ; ‘ dir. Fonksiyon : Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için : 1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ; 2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir. f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2 elemanının 1’den fazla değeri olduğu için fonksiyon değildir.

Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için fonksiyon değildir. f(2) = tanımsız. Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur.

A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır. A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A ® B şeklinde gösterilebilir. x Î A ve yÎ B olmak üzere f : x ® y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir. Örnek 11: A={1, 2, 3} ve B={0, 1, 3, 4, 5, 6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun : Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir. Örnek 12: A={1, 2, 3} ve B={0, 1, 3, 4, 5, 6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin : Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :

f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan f (A) = {3, 4, 5} olur. Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :

Örnek 13: A={-1, 0, 1, 2} ve B={0, 1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre y = f(x) = x 2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim: Çözüm : f(-1) = 2 ; f (0) = 1 ; f( 1) = 2 ; f( 2) = 5 olduğuna göre : f(A) = {1, 2, 5} olur. Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :

Örnek 14 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz : Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir.

Tanım kümesi = A = {-1, 0, 1, 2, 3 } Değer kümesi = B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } Görüntü kümesi = f(A) = {1, 2, 4, 5 } Örnek 15 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :

Çözüm : Tanım kümesi = [-1, 7] ; Değer kümesi = [-5, 8] ; Görüntü kümesi = [-5, 8]. Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.

Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor. Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz. Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur. Örnek 17: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?

Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (-¥ , -4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4, ¥ ) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.

Fonksiyon Türleri : İçine fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir. Örnek 18 :

Örten fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir. Örnek 19 :

Bire-bir (1 -1) fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir. Örnek 20 :

Sabit fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir. Örnek 21 :

Birim fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir. Örnek 22:

Örnek 23 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1 -1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur. Örnek 24: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin (-¥ , -4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı içine fonksiyondur. x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur. Örnek 25: Aşağıdaki f : R ® [-4, ¥ ) ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur. Örnek 26: Aşağıdaki f : R ® R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1 -1 ve örten fonksiyondur. Örnek 27 : Aşağıdaki f : R ® R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.

Örnek 28 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1 -1 fonksiyondur ? Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1 -1 ; aksi takdirde 1 -1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1 -1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1 -1 ‘ dir. s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere : 1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ; 2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ; 3. A’dan B’ye tanımlanan 1 -1 fonksiyon sayısı P(b, a).

Örnek 29 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1 -1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ? Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A) = 3’tür. Buna göre 1 -1 fonksiyon sayısı da olur. Örnek 30 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ? Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür. Yansıyan bağıntı sayısı ise 29 -3 = 26 = 64 olur.

Örnek 31 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ? Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur. Permütasyon fonksiyonu : Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.

Örnek 32 : s(A) = a olmak üzere : A’dan A’ye tanımlanan 1 -1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.

Örnek 33 : A kümesi üzerinde 24 tane 1 -1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1 -1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ? Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür. Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur. Bunların da 24 tanesi 1 -1 ve örten olduğundan geri kalan 256 -24 = 232 tanesi 1 -1 ve örten değildir. Örnek 35 : A kümesi üzerinde 6 tane 1 -1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ? Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür. Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512 -64 tanesi yansıyan değildir.

Örnek 35 : Aşağıda grafiği verilen f : A ® B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım.

Çözüm : f (1) = 3 ; f (2) = 1 ; f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu şeklinde yazılabilir. Fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı, bölümü : f (x) ve g (x) fonksiyonları için h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ; h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;

h (x) = ( f. g ) (x) = f (x). g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ; h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir. Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır. Örnek 36 : f (x) = 3 x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {1, 1, 2, 3} ve g (x) = 2 x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {1, 2, 3, 4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.

Çözüm : Tanım kümesi = A Ç B = {-1, 2, 3} olur. h (x) = (3 x+5) + (2 x-3) = 5 x+2 olduğundan h (-1) = -3 h ( 2) = 12 h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3, 12, 17} şeklinde bulunur. Örnek 37 : f : A ® B , f (x) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} ve g : C ® D , C = {1, 2, 3} , g (x) = x+1 olduğuna göre h (x) = 2 f(x)+3 g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz. Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5 f (x) diye düşünülebilir. h (1) = 5 f (1) = 10 ; h (2) = 5 f (2) = 15 ; h (3) = 5 f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10, 15, 20} olarak bulunur.

Bir Fonksiyonun Tersi : f: A B, f = {(x, y)| x Î A, y Î B} bire bir örten fonksiyon olmak üzere , f -1: B A, f -1 = {(y, x)| (x, y) Î f } fonksiyonunda f’nin ters fonksiyonu denir. (X, Y) Î f (y, x) Î f -1 olduğu için, y = f(x) x = f -1 (y) dir. Ayrıca, (f -1 ) -1 = f dir.

UYARI : f, A dan B ye bir ve örten bir fonksiyon değilse f -1, B den A ya bir fonksiyon olmayıp bir bağıntıdır. Örnek 38 : A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3} ye f = {(a, 2), (b, 3), (c, 3)} fonksiyonunun tersi olup olmadığını araştıralım. Çözüm : Fonksiyonu hem bire bir hem de örten olmadığı için tersi yoktur.

Ters Fonksiyonunun Bulunması : y = f(x) x = f -1 (y) olduğundan f -1 i bulmak için x, y cinsinden bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir. Örnek 39: f : R R, f(x) F(x) Olduğuna göre f -1 i bulalım. y 3 x + 2 = 4 y 3 x = 4 y - 2 x f: |R f(x) =y f -1 (x) olur. |R f: x y f -1(y) = x

Bileşke Fonksiyon: f: A B, g: B C fonksiyonları tanımlansın. f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C Kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.

SORU 1: ÇÖZÜM :

SORU 2: ÇÖZÜM :

SORU 3:

SORU 4: