Karolina Szczypta Spis treci v Pojcie oglne v

Karolina Szczypta

Spis treści v Pojęcie ogólne v Nazwy boków trójkąta v Suma miar kątów v Długość boków trójkąta v Podział trójkątów ze względu na kąty v Podział trójkątów ze względu na dł. boków v Wysokości trójkątów v Środkowa trójkąta v Ortocentrum v Istnienie trójkątów v Pole trójkąta v Obwód trójkąta v Przystawanie trójkątów v Podobieństwo trójkątów v Twierdzenie Pitagorasa v Wysokość trójkąta prostokątnego v Trójkąty o katach 90° , 45°, 45° v Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° v Trójkąt wpisany w okrąg v Trójkąt opisany na okręgu v Ciekawostki o trójkątach

TRÓJKĄT – wielokąt o trzech bokach (oraz 3 kątach) Ø Spis treści

Jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami. Ø Spis treści

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°. 180 o

Można to odczytać z rysunku a ll b a b + Ø Spis treści + = 180 o

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. b c a a < b+c b < a+c c < a+b Ø Spis treści

Podział trójkątów ze względu na kąty: § ostrokątny § rozwartokątny § prostokątny

Trójkąt jest ostrokątny, jeżeli wszystkie jego kąty są ostre tzn. , że mają więcej niż 0º a mniej niż 90º.

Trójkąt jest rozwartokątny, jeżeli jeden z jego kątów jest rozwarty tzn. , że miara tego kąta jest większa od 90° i mniejsza od 180°.

przyprostokątna Trójkąt jest prostokątny, jeżeli ma jeden kąt prosty tzn. taki, którego miara wynosi 90º. Ø Spis treści prz a ec iw c pro sto ką tna b przyprostokątna

Podział trójkątów ze względu na długość boków: różnoboczny równoramienny

Trójkąt jest różnoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają różne długości; c a b

Trójkąt jest równoboczny, jeżeli wszystkie jego boki mają taką samą długość. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe i mają po 60º. α a a α α a

Trójkąt jest równoramienny, jeżeli dwa jego boki mają równe długości. Boki te nazywamy wówczas ramionami trójkąta. 180° - 2 α a a α Ø Spis treści α b

Każdy trójkąt ma trzy wysokości. § ostrokątny § rozwartokątny § prostokątny Ø Spis treści

Proste, w których zawierają się wysokości trójkąta, przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. h 3 h 2 h 1 Ø Spis treści

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. a a a = ½ |AB| Ø Spis treści

Tabela określająca istnienie poszczególnych rodzajów trójkątów: ostrokątny prostokątny rozwartokątny różnoboczny + + + równoramienny + + + równoboczny + - - rodzaj trójkąta Ø Spis treści

Pole trójkąta C h 1 P = ½ * BC * h 2 P = ½ * AB * h 1 P = ½ * AC * h 3 h 2 A h 3 B Ø Spis treści

Obwód trójkąta Obw = a + b +c a b c Ø Spis treści

Przystawanie trójkątów - Cecha BBB (bok, bok) - Cecha BKB (bok, kąt, bok) - Cecha KBK (kąt, bok, kąt)

Cecha BBB ( bok, bok) Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. a c b a = a 1 b = b 1 c = c 1 a 1 b 1

Cecha BKB (bok, kąt, bok) Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to trójkąty są przystające. α 1 α = α 1 b = b 1 c = c 1 a α b 2 b a 1

Cecha KBK (kąt, bok, kąt) Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą długość jak bok drugiego trójkąta, a kąty jednego trójkąta leżące przy tym boku mają takie same miary jak odpowiednie kąty drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające. α c β Ø Spis treści α = α 1 c = c 1 β = β 1 α 1 c 1 β 1

Podobieństwo trójkątów - Cecha BBB (bok, bok) - Cecha BKB ( bok, kąt, bok) - Cecha KKK (kąt, kąt)

Cecha BBB (bok, bok) Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne. c a a’ c’ b b’

Cecha BKB Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne. b’ b α’ α a’ a

Cecha KKK Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta mają taką samą miarę jak dwa kąty drugiego trójkąta to te trójkąty są podobne. Ø Spis treści

Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej równy jest sumie kwadratów długości przyprostokątnych c 2 b 2 c 2 = a 2 + b 2 a 2 Ø Spis treści

W trójkącie prostokątnym długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość podzieliła przeciwprostokątną. x h Ø Spis treści y

Trójkąty o kątach 90° , 45° 45 ° a

W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość d – długość przekątnej kwadratu o boku długości a trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a Ø Spis treści

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90° 30° 2 a a√ 3 60 ° a

Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2 a Ø Spis treści

Trójkąt wpisany w okrąg Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży: w trójkącie prostokątnym, . w połowie przeciwprostokątnej, w trójkącie ostrokątnym, wewnątrz trójkąta, . w trójkącie rozwartokątnym, poza trójkątem. .

Promień okręgu opisanego na trójkącie Ø Spis treści

Trójkąt opisany na okręgu W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt Ø Spis treści

Ciekawostki o trójkątach

Trójkąt pitagorejski - to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi. Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25).

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy następny powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki. Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład, stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli sześcian dwumianu, dany jest wzorem: (a+b)3= a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3

Trójkąt Pascala

Wzór, który pozwoli nam znaleźć 3 całkowite liczby, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego. n - dowolna liczba całkowita a = 2 n + 1, b = 2 n (n+1), c = 2 n²+ 2 n +1 Ø Spis treści

Źródła, które użyłam: Szczepan Jeleński, „Śladami Pitagorasa’’ wikipedia. pl www. math. edu. pl www. matematykam. pl matematyka. opracowania. pl http: //matma. eu http: //www. matmana 6. pl Matematyka z plusem. Podręcznik dla klas 1, 2 gimnazjum. Oraz rady p. B. Łuczywo i p. E. Nowakowskiej (za co bardzo dziękuję ) Ø Spis treści

Dziękuję za uwagę ! Ø Spis treści