KARMAIK SAYILAR l l l Sanal say birimi

KARMAŞIK SAYILAR l l l Sanal sayı birimi Karmaşık sayıların eşitliği Karmaşık sayıların geometrik gösterimi Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi Karmaşık sayılarda çarpma işlemi Karmaşık sayıların eşleniği

İki Karmaşık Sayının Eşitliği a, b, c, d “ ” R, Z 1=a+bi a + bi = c +di ve ve Z 2=c+di olmak üzere; a = c ve b =d’dir.

ÖRNEK: Z 1 = 3 a + 2 bi - 3 ve Z 2 =3 - 6İ + a + bi sayılarının eşit olabilmesi için , a ve b kaç olabilmelidir?

ÇÖZÜM: Önce, Z 1 ve Z 2 sayılarının gerçek ve sanal kısımlarını belirleyelim: Z 1 = 3 a-3 +2 bi ve R(z) = 3 a-3 ve lm(z) = 2 b Z 2 = 3 + a +(b – 6)i ve R(z) = 3+a ve lm(z) = b-6 ‘dır. Z 1 = Z 2 ve 3 a-3 = 3+a ve 2 b = b-6 bulunur. a = 3 ve b = -6 bulunur.

Sanal sayı birimi Tanım: – 1 sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir ve i= – 1 veya i(kare)= -1 biçiminde gösterilir. a, b R ve i(kare) = -1 olmak üzere, a+bi biçimindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir. Karmaşık sayılar kümesi “C” ile gösterilir. C=(a + bi / a, b R) ‘ dir. z C ve z =a + bi olmak üzere; a’ya, karmaşık sayının gerçek (reel) kısmı denir ve Re(z)=a ile gösterilir. b’ye, karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir ve İm(z) = b ile gösterilir. Im(z) = 0 olduğunda, z bir reel sayı olur. O halde bütün reel sayıları, sanal kısmı sıfır olan karmaşık sayılar olarak yazabiliriz.

Karmaşık Sayıların geometrik gösterimi X+yi karmaşık sayısına, analitik düzlemde karşılık gelen noktanın koordinatları(x, y)dir. karm aşık sayılar ile analitik düzlemin noktalarını bire eşleyerek oluşturulan düzleme, karmaşık düzlem denir. Ox eksenine, reel eksen; Oy eksenine de sanal eksen adı verilir.

Karmaşık Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemi Z 1=a+bi ve Z 2=c+di olmak üzere, bu karmaşık sayıların toplamı ve farkı, Z 1+Z 2=(a+c)+(b+d)i ve Z 1 -Z 2=(a-c)+(b-d)i biçiminde tanımlanır. Yani, iki karmaşık sayının toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken; reel kısımları birbiriyle, sanal kısımlarıda birbiriyle toplanır veya çıkarılır. ü Toplama İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız ü Çıkarma İşleminin Geometrik Yorumu İçin Tıklayınız ü Toplama İşleminin Özellikleri İçin Tıklayınız

Toplama İşleminin Geometrik Yorumu Z 1=a+bi ve Z 2=c+di karmaşık sayının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A ve B diyelim. Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OEB açısı=ADC açısına olduğundan, BE = CD = d ve OE = AD = c olur. Bu durumda, C koordinatları, (a+b, c+d)bulunur. O halde C noktası, Z 1+Z 2=(a+b)+(c+d)i sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür. Z 1+Z 2 karmaşık sayısının görüntüsü, AOBC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.

Çıkarma İşleminin Geometrik Yorumu. Z =a+bi ve Z =c+di ve 1 2 - Z 2= -c -di karmaşık sayılarının, karmaşık düzlemdeki görüntülerine sırayla, A, B ve D diyelim. Sonra, AOBC paralelkenarını çizelim. OED açısı=AFC açısına olduğundan, DE = CF = d ve OE = AF = c olur. Bu durumda, C noktasının koordinatları, (a-c, b-d)bulunur. O halde, C noktası, Z 1 -Z 2=(a-c)+(b-d)i sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsüdür. Z 1 -Z 2 karmaşık sayısının görüntüsü, AODC paralelkenarının dördüncü köşesi olan C noktasıdır.

Toplama İşleminin Özellikleri Kapalılık Özelliği ü Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği ü Ters Eleman Özelliği ü Birleşme Özelliği ü Değişme özelliği ü

Kapalılık Özelliği z 1, z 2 C olmak üzere , z 1=a+bi , z 2=c+di ise; z 1+ z 2 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i olur. a, b, c, d R ise; (a+c), (b+d) R olduğundan (z 1+ z 2) C dir. O halde, karmaşık sayılar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

Etkisiz(Birim)Eleman Özelliği z C, 0 C olmak üzere, z 1=a+bi, z 2=c+di ise; z 1+ z 2=(a+bi)+(0+0 i) =(a+0)+(b+0)i =a+bi =z 0+z =(0+0 i)+(a+bi) =(0+a)+(0+b)i =a+bi =z z+0=0+z=z olduğundan sıfır sayısı karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanıdır.

Ters Eleman Özelliği Z C ve z =a+bi ise, -z =-a –bi olsun. z+(-z)=(a+bi)+(-a –bi) (-z)+z =(-a-bi)+(a+bi) =(a-a)+(b-b)i =(-a+a)+(-b+b)i =0+0 i =0 =0 z+(-z)=(-z)+z =0 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinde toplama işlemine göre her elemanın tersi vardır. z =a+bi sayısının toplama işlemine göre tersi –z = -a –bi dir.

Değişme Özelliği z 1+z 2 C ve z 1=a+bi, z 2=c+di olsun. z 1+z 2 =(a+bi)+(c+di) z 1+z 2 =(c+di)+(a+bi) =(a+c)+(b+d)i =(c+a)+(b+d)i z 1+z 2 = z 2+z 1 olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. O halde (C, +) sistemi bir değişmeli sistemdir.

Birleşme Özelliği z 1+z 2+z 3 ve z 1=a+bi z 2=c+di z 3=e+fi olsun. (z 1+ z 2)+ z 3=[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi) =[(a+c)+(b+d)i]+(e+fi) =[(a+c)+e] +[ (b+d)+f]i dir. z 1+(z 2+ z 3)=(a+bi)+[(c+di)]+(e+fi)] =(a+bi)+[(c+e)]+(d+f)i] =[a+(c+e)]+[b+(d+f)]i dir. (z 1+ z 2)+ z 3= z 1+(z 2+ z 3) olduğundan karmaşık sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. (C, +)sisteminin; kapalılık, etkisiz eleman, ters eleman, ve birleşme özellikleri olduğundan, bu sistem bir gruptur.

Karmaşık Sayının Eşleniği a+bi ve a-bi karmaşık sayılarından birine, diğerinin eşleniği denir. z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. Karmaşık düzlemde, bir z’nin eşleniği reel eksen(apsise)göre simetriktirler. a, b, c R a 0 koşuluyla ax+bx+c=0 denkleminin köklerinden biri z = k+pi ise diğeri z =k-pi’dir. l

Çarpma İşlemi z 1, z 2 C, z 1=a+bi ve z 2=c+di olmak üzere, bu karmaşık sayıların çarpımı, z 1. z 2=(a+bi). (c+di) = a(c+di)+bi(c+di) =ac+adi +bci +bd(ikare) dir. (ikare) yerine – 1 yazarsak; z 1. z 2 =(ac+bd)+(ad+bc) olur. Çarpma işleminin özellikleri için tıklayınız!!!!!!

Çarpma İşleminin Özellikleri l Kapalılık özelliği l Etkisiz(birim)eleman özelliği l Ters eleman özelliği l Değişme özelliği l Birleşme özelliği l Dağılma özelliği

Kapalılık Özelliği z 1, z 2 C olmak üzere z 1=a+bi z 2=c+di ise z 1. z 2=(a+bi) (c+di) =(ac-bd)+(ad+bc)i olur. a, b, c, d, R ise (ac-bd) R ve (ad+bc) R olduğundan; z 1. z 2= C bulunur. O halde karmaşık sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Etkisiz(Birim)Eleman Özelliği z C 1 C ve z=a+bi, 1=1+0 i olsun. z. 1=a+bi). (1+0 i) =(a. 1 - b. 0)+(a. 0+b. 1)i =a+bi=z olur. z. 1=z olduğundan, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre birim(etkisiz)elemanı, 1= 1+0 i dir.

Ters Eleman Özelliği Z C karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi z(-1’incikuvveti)olsun. z. z(-1’incikuvveti)=1 dir. bunu denkleme dökersek sıfır hariç, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işlemine göre her elemanın tersi vardır.

Değişme Özelliği z 1, z 2 C, z 1=a+bi z 2=c+di olsun. z 1. z 2=(a+bi) (c+di) z 1. z 2=(c+di) (a+bi) =(ac-bd)+(ad+bc)i =(ca-bd)+(cb+da)i olur. z 1. z 2= z 2. z 1 olduğundan, karmaşık sayılar kümesinin çarpma işleminin değişme özelliği vardır.