Karakterizacije raspodela verovatnoa sa posebnim osvrtom na eksponencijalnu

Karakterizacije raspodela verovatnoća sa posebnim osvrtom na eksponencijalnu raspodelu V. Jevremović, B. Milošević, M. Obradović V simpozijum Matematika i primene, Beograd, oktobar 2014.

� Vesna Jevremović Matematički fakultet, Beograd e-mail: v_jevremovic@bg. ac. rs � Bojana Milošević Matematički fakultet, Beograd e-mail: bojana@matf. bg. ac. rs � Marko Obradović Matematički fakultet, Beograd e-mail: marcone@matf. bg. ac. rs

�Cilj je da se pokaže da samo jedna raspodela, koja može sadržati i neke parametre, zadovoljava određeni skup uslova �Omogućava kvalitetno modeliranje prirodnih pojava: premije osiguranja, nabavka robe, pozivi u telefonskoj centrali. . . Karakterizacija raspodela

�Poželjno da bude jednostavniji izraz zbog provere i da ima određeno značenje (npr. za normalnu raspodelu je jedna karakterizacija da su uzoračka sredina i disperzija nezavisne statistike) �Primena karakterizacija u statistici se ogleda u konstruisanju testova zasnovanih na karakterizaciji raspodele, jer će takvi testovi imati veliku moć u potvrđivanju hipoteza o odgovarajućoj raspodeli. Karakterizacija raspodela i statistika

�Korišćenje zasečenih raspodela �Korišćenje statistika poretka �Korišćenje uslovnog matematičkog očekivanja �Korišćenje nekih osobina raspodele �Korišćenje momenata �. . . Mogućnosti za karakterizaciju

�U teoriji karakterizacija raspodela koriste se metode verovatnoće i statistike, uz neophodne oblasti matematičke analize (redovi, integrali, funkcionalne jednačine), teorije funkcija kompleksne promenljive, teorija diferencijalnih i integralnih jednačina. . .

�U realnim situacijama se eksponencijalna raspodela javlja u sistemima masovnog opsluživanja, kao raspodela vremena između dva uzastopna dolaska trebovanja u sistem ili kao raspodela vremena trajanja opsluživanja, zatim u teoriji pouzdanosti, meteorologiji, biologiji. . .

�Osobina odsustva memorije je logaritamska varijanta funkcionalne jednačine f(x+z)=f(x)f(z), o kojoj je pisao Koši još 1821. �Freše, 1927. koristi eksponencijalnu raspodelu u radu u vezi raspodela ekstremnih vrednosti (ta se raspodela često naziva i Vejbulova) �Fisz je 1958. dao karakterizaciju eksponencijalne raspodele preko statistika poretka Iz istorije

�Definisana za x ∈ [0, ∞) �Parametar λ∈ [0, ∞) �Gustina raspodele λ e−λx �Funkcija raspodele 1 − e−λx �Srednja vrednost λ− 1 �Medijana λ− 1 ln(2) �Mod 0 �Disperzija λ− 2 �Koeficijent varijacije 1 �Koeficijent asimetrije 2 �Koeficijent spljoštenosti 6 Karakteristike E(λ) raspodele

�Entropija 1 − ln(λ) ◦ Tvrđenje: U klasi slučajnih promenljivih čije su gustine pozitivne na [0, ∞) i sa jednakim očekivanjem, najveću entropiju ima eksponencijalna raspodela. �Raspodela je beskonačno deljiva �Pripada klasi gama raspodela �Pripada eksponencijalnoj familiji raspodela �Pripada Pirsonovoj familiji raspodela g’/g=(x-a)/(b+cx+dx 2) Karakteristike E(λ) raspodele

�Koristi se u opisivanju Puasonovog procesa – vreme između dva uzastopna događaja �Jedina u klasi neprekidnih raspodela ima osobinu odsustva memorije �Povezana sa mnogim raspodelama ◦ Monotonim transformacijama sa: Vejbulovom, Pareto, Gumbelovom, Uniformnom, Logističkom. . . ◦ Zbir nezavisnih slučajnih veličina sa različitim eksponencijalnim raspodelama ima Erlangovu raspodelu ◦ Sa parametrom ½ je hi-kvadrat raspodela sa 2 ss ◦ Geometrijska, Relejeva, Laplasova, Benktanderova (aktuarstvo) Karakteristike E(λ) raspodele

�Odsustvo memorije – OM – �Ima 5 osnovnih karakteristika od kojih je jedna OM i koje su međusobno ekvivalentne Karakteristike

◦ P(X ≥u+v|X ≥v)=P(X ≥u) ili ◦ P(X ≥u+v) = P(X ≥v)P(X ≥u). . (*) ◦ Drugi zapisi preko F(x) ili preko G=1 -F ◦ Uopštenja: �Uslov (*) važi za skoro svako u i v �Uslov (*) važi za svako u i v 1 i v 2 takve da je 0≤ v 1<v 2 i da je v 1/v 2 iracionalan broj �Uslov (*) izmenjen u nejednakost sa ≥ i iskazan preko sl. veličina U i V nezavisnih međusobno i nezavisnih od X �. . . Odsustvo memorije

�Tvrđenje: Ako je X neprekidna slučajna veličina sa funkcijom raspodele F(x), tada i Y=-ln F(X). . . . (1) W=-ln(1 -F(X)). . . . (2) imaju eksponencijalne raspodele sa parametrom 1 Veze eksponencijalne i bilo koje neprekidne raspodele

�Uniformna raspodela Ako X: U(0, 1), onda –ln. X: E(1) �Vejbulova raspodela Ako X: W(a), onda Xa: E(1) �Pareto raspodela Ako X: P(a), onda a ln. X: E(1) �Gumbelova raspodela Ako X: G(1), onda e-X : E(1) �Logistička raspodela Ako X: L(a), onda ln(1+ e-a. X): E(1) Neke trans-E raspodele

�Uniformna raspodela: P(X≤uv|X≤v)=P(X≤u) �Vejbulova raspodela: n 1/a. X(1) ima Vejbulovu raspodelu �Pareto raspodela: P(X>uv|X>v)=P(X>u), u, v≥ 1 �Gumbelova raspodela: X(n)-ln n ima raspodelu kao X Karakterizacije za trans-E

�Bitno za primenu �Uticaj malih izmena uslova za karakterizaciju �H(u, v) = P(X ≥u+v) - P(X ≥v)P(X ≥u) �Za OM je H(u, v)=0, inače H 1(u, v) �Za OM je raspodela F, tj. E(λ), inače je raspodela sa f. r. R �Tvrđenje: Ako je sup|H 1(u, v)|<eps, onda je sup|F -R|<2*sqrt(eps), tj. ako R skoro da ima osobinu OM, onda je R blisko E(λ) u smislu rastojanja Kolmogorova. Stabilnost karakterizacije

�Tvrđenje: Ako X ima E(λ) raspodelu i statistike poretka X(1), . . . , X(n) i ako je dr razlika susednih st. poretka X(r+1)-X(r) tada dr ima E((n-r)λ) i dr su medjusobno nezavisne. � Da li je karakteristika E(λ) raspodele da su joj razlike susednih st. poretka sa eksponencijalnom raspodelom? – NE �Da li je karakteristika E(λ) raspodele da su joj razlike susednih st. poretka nezavisne? Statistike poretka i karakterizacije

�(Fisz) Ako imamo uzorak obima 2 iz raspodele sa neprekidnom, strogo rastućom f. r, tada su X(2)-X(1) i X(1) nezavisne ako i samo ako X: E(λ). �Ako je dat uzorak obima 2 iz geometrijske raspodele, tada su X(2)-X(1) i X(1) nezavisne. Statistike poretka i karakterizacije

�(Uopštenje Fisz-ove teoreme) �Neka je dat uzorak obima n za obeležje X sa neprekidnom raspodelom i neka su date konstante ck, . . . , cn čiji je zbir 0, ali je prva od njih različita od 0. Tada su X(k) i ck. X(k)+. . . +cn. X(n) i nezavisne ako i samo ako X ima eksponencijalnu raspodelu pomerenu udesno. Statistike poretka i karakterizacije

�Očekivane vrednosti statistika poretka X(1), . . . , X(n) (podrazumevamo da su konačne) jednoznačno određuju raspodelu obeležja X. �Ako je E(X) konačno, a raspodela obeležja X neprekidna, onda je E(X(2)-X(1) |X(1)=y) skoro sigurno konstantno akko je X sa eksponencijalnom raspodelom. Karakterizacija preko momenata statistika poretka

�Neka je raspodela obeležja X neprekidna sa konačnim očekivanjem i neka je za uzorak obima n određena uzoračka sredina Xsr i neka je E(Xsr-y|X(1)=y) skoro sigurno konstanta, tada X ima eksponencijalnu raspodelu. Karakterizacija preko uslovnih momenata i statistika poretka

� (Nikitin, Obradovic, Milosevic, Jovanovic) Testovi saglasnosti koji su vrlo efikasni protiv uobičajenih, bliskih alternativa (gama, Vejbul) � (Arnold i Villasenor, 2012) Ako imamo uzorak obima 2 za obeležje X sa neprekidnom raspodelom čija gustina ima izvod proizvoljnog reda u okolini nule, tada X 1 +1/2 X 2 ima istu raspodelu kao X(2)=max(X 1, X 2) akko X ima eksponencijalnu raspodelu. � (Chakraborty i Yanev, 2013) Pod istim uslovima, za uzorak obima n, statistika max(X 1, . . . , Xn-1)+1/n. Xn ima istu raspodelu kao X(n) akko X ima eksponencijalnu raspodelu. Još neki rezultati

Hvala