KAPSAM 1 Mevsimsel Olmayan BoxJenkins Modelleri 1 1
KAPSAM 1. Mevsimsel Olmayan Box-Jenkins Modelleri 1. 1. Otoregresyon Modelleri (AR) 1. 2. Hareketli Ortalama Modelleri (MA) 1. 3. Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri (ARMA/ARIMA) 2. Mevsimsel Box-Jenkins Modelleri 2. 1. Mevsimsel Otoregresyon Modelleri (SAR) 2. 2. Mevsimsel Hareketli Ortalama Modelleri (SMA) 2. 3. Mevsimsel Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri (SARMA/SARIMA) 3. Model Seçim Kriterleri Uygulama 1 Uygulama 2 1
Box-Jenkins Tahmin Modelleri • Biraz karmaşıktır. • Adını iki ünlü istatistikçi George E. Box (Wisconsin Üniversitesi) ve Gwilym M. Jenkins (Lancaster Üniversitesi) almıştır. • Metot, zaman serilerinin otokorelasyon yapısının kullanımı üzerine kuruludur. Otokorelasyon var ise kullanılabilir. • Box-Jenkins modelleri ARIMA modelleri olarak (ARIMA: Auto. Regressive Integrated Moving Average) da bilinir. 2
Box-Jenkins Modelleri 1. Mevsimsel Olmayan Box-Jenkins Modelleri ARIMA (p, d, q) p: otoregresyon (AR) modelinin derecesi, d: fark alma işlemi sayısı q: hareketli ortalama (MA) modelinin derecesi Çok Önemli Slayt 2. Mevsimsel Box-Jenkins Modelleri ARIMA (p, d, q) (P, D, Q)s P: mevsimsel otoregresyon (SAR) modelinin derecesi, D: mevsimsel fark alma işlemi sayısı, Q: mevsimsel hareketli ortalama (SMA) modelinin derecesi s: periyot 3
Box-Jenkins Modelleri Aşamaları 1. 2. 3. 4. Uygun modeli belirleme Modelin tahmini Denetim Öngörü Bu işlemlerin yapılabilmesi için öncelikle serinin trend etkisinden ve mevsimsel dalgalanmadan arındırılmasına yani serinin durağan olmasına dikkat edilmelidir. 4
1. Model Belirleme Çok Önemli Slayt üDurağan olan ya da durağan hale dönüştürülen serinin ACF ve PACF grafiklerine göre seriye uygun olabilecek model belirlenir. ACF grafiğindeki ilişki miktarları gecikme sayısı arttıkça yavaş azalıyor, 5
2. Modelin Tahmini • Bu azalışların hızlı ya da yavaş olduğuna karar vermek oldukça zor olup doğru kararı vermek yılların deneyimini gerektirmektedir. • Bu nedenle verilen kararın doğru olup olmadığını anlayabilmek için modeldeki katsayıların önemlilik testi sonucuna bakılmalıdır. • ACF ve PACF grafiklerinden karar verilen modelin katsayılarından herhangi biri istatistiksel olarak önemsiz ise bu modelin seriye uygun olmadığı anlaşılır. Yani grafikler yanlış yorumlanmıştır. • Model belirleme ile model tahmini işlemleri birbirini tamamlamaktadır. • Bu katsayıların tahmini en küçük kareler ve en yüksek olabilirlik yöntemleriyle yapılmaktadır. Bu katsayıların önemlilik testi ise t testi ile yapılmaktadır. 6
3. Denetim • Eğer model, katsayıların önemli olup olmadığı da dikkate alınarak ACF ve PACF grafiklerinden belirlendiyse, bu modelden elde edilen tahmin değerlerinin gerçek değerlere yakın olup olmadığını görebilmek amacıyla tahmin serisi ile orijinal serinin birlikte grafiği çizilir ve bu iki serinin birbirine olan uyumuna bakılır. • Ayrıca orijinal serinin tahmin sınırları arasında kalıp kalmadığı kontrol edilir. • Son olarak da hataların ak gürültü olup olmadığını tespit etmek için hataların ACF ve PACF grafikleri çizilir; Box-Ljung, Portmanteau gibi testlerin sonucuna bakılır. 7
4. Öngörü Değerleri • Bu kriterlerin kullanımı sonucunda elde edilen, seriye en uygun model üzerinden öngörü değerleri hesaplanır. • Bunun hesaplanmasının nasıl yapılacağı daha sonra anlatılacaktır. • Öngörü değerlerinin bulunması çok titiz bir çalışma gerektirmektedir. • Bunun için seriye iyice yoğunlaşmak ve zaman içerisinde kazanılacak deneyimler gerekmektedir. 8
1. MEVSİMSEL OLMAYAN BOX-JENKİNS MODELLERİ 1. 2. 3. Otoregresyon modeli AR (p), Hareketli ortalama modeli MA (q) ve Otoregresif hareketli ortalama modeli ARMA (p, q) üBu modellerde eğer seri kendiliğinden durağan değil ise, yani seride trend varsa serinin farkı alınarak seri durağan hale getirilir. • Bu durumda modele I (d) terimi eklenir. • Mevsimsel Olmayan Box-Jenkins Modelleri genel olarak ARIMA (p, d, q) biçiminde gösterilir. 9
1. MEVSİMSEL OLMAYAN BOXJENKİNS MODELLERİ AR (p) modeli; (1. 1) MA (q) modeli; (1. 2) ARMA(p, q) modeli; (1. 3) 10
1. 1. Otoregresyon Modelleri • p=1 ise birinci dereceden otoregresyon modeli AR(1) modeli • Uygulamalarda PACF grafiğinin sadece ilk gecikmesine ait ilişki miktarı istatistiksel olarak önemli ve ACF grafiğindeki ilişki miktarı gecikme sayısı arttıkça yavaş azalıyorsa seriye en uygun model AR (1) modelidir. • AR(1) modelinde öngörü işlemi sabit terimde dikkate alınarak bulunur. 11
1. 1. Otoregresyon Modelleri • p=2 ise ikinci dereceden otoregresyon modeli AR(2) modeli • AR(2) modelinde otokorelasyon değerleri ACF gecikme sayısı arttıkça yavaş azalmaktadır. • ACF grafiğinde ilişki miktarları yavaş azalırken PACF grafiğinde ilk iki gecikmeye ait ilişkilerin önemli olması, ikinci gecikmeden sonra da ilişkilerin önemsiz bir hale gelmesi, yani güven sınırlarını geçmemesi gerekmektedir. 12
1. 1. Otoregresyon Modelleri üAR(p) modeli için üACF grafiğindeki ilişkiler yavaş azalırken üPACF grafiğindeki ilk p gecikmeye ait ilişkiler önemli üp’inci gecikmeden sonraki ilişkilerinde önemsiz olduğu söylenebilir. 13
1. 1. Otoregresyon Modelleri Örnek 1. Aşağıda verilen ACF ve PACF grafiklerini yorumlayarak seriye uygun modeli nedenleriyle belirtiniz. Seri durağan İlk iki gecikme önemli İlk gecikmeden sonra hızlı bir azalma İlk gecikmeye ait ilişki önemli olduğundan modelin derecesi (p)=1 ARMA(p, q) ARMA(1, 0) 14
Örnek 1 Yorumu • Seri durağan olduğu için uygun model belirleme işlemine geçilebilir. • ACF grafiğinde ilk iki gecikme önemli olup yavaş bir şekilde ilişki miktarının büyüklüğü azalmaktadır. • PACF grafiğinde ise ilk gecikmeden sonra ani bir şekilde ilişkilerin büyüklüğü azalmıştır. Bu durumda seriye uygun model otoregresyon modelidir. • PACF grafiğinde sadece ilk gecikmeye ait ilişki önemli olduğundan modelin derecesi 1’dir. Dolayısıyla seriye uygun model ARMA(1, 0) olmaktadır. • ACF grafiğinde ikinci gecikmeye ait önemli ilişkiden (r 2=0, 347) sonra üçüncü gecikmeye ait ilişki (r 3=0, 088) önemsiz hale gelmiştir. PACF grafiğinde ise ilk gecikmeye ait ilişki r 11=0, 469 iken ikinci gecikmeye ait ilişki r 22=0, 163 olmaktadır. İlişkiler arasındaki fark PACF grafiğinde açık bir şekilde daha fazladır (0, 347 -0, 088 > 0, 469 -0, 163). • Belirlenen modelin doğru olup olmadığı modeldeki katsayıların önemlilik testi sonucunda anlaşılacaktır. Grafikler sadece yol gösterici olup, bir modelin seriye uygunluğu esasında tanısal denetimler sonucunda belirlenmektedir. 15
1. 2. Hareketli Ortalama Modelleri • q=1 ise birinci dereceden hareketli ortalama modeli MA(1) modeli • Kısmi otokorelasyon değerleri (PACF), gecikme sayısı arttıkça üstel olarak yavaş azalmakta, ancak otokorelasyon değerlerinde (ACF) bu azalma bir anda olmaktadır. • Denklemde q=2 olduğunda ikinci dereceden hareketli ortalama modeli yani MA(2) modeli elde edilmektedir. MA(2) modelinde otokorelasyon fonksiyonu grafiğindeki (ACF) ilk iki gecikmeye ait ilişki önemli olmaktadır. • Örneğin, ikinci farkı alındıktan sonra durağan olan bir seri MA(2) modeline sahip olsun. Bu durumda model ARIMA(0, 2, 2) modeli olacaktır. Bu model denklemin q=2 olduğu ve serinin ikinci farkının bu denkleme dahil edildiği model olmaktadır. 16
1. 2. Hareketli Ortalama Modelleri Örnek 2. Aşağıda verilen ACF ve PACF grafiklerini yorumlayarak seriye uygun modeli nedenleriyle belirtiniz. Seri durağan ACF bir anda, PACF yavaş azalma Hareketli Ortalama Modeli ACF ilk gecikmeye ait ilişki önemli q=1 Model ARMA(p, q) ARMA(0, 1) 17
Örnek 2 Yorumu • ACF grafiğine bakıldığında serinin durağan olduğu görülmektedir. Dolayısıyla, seri için uygun model belirleme işlemi yapılabilmektedir. • ACF ve PACF grafiklerine bakıldığında, ACF grafiğinin bir anda, • PACF grafiğinin yavaş azaldığı söylenebilir. • Bu nedenle uygun model hareketli ortalama modelidir. • ACF grafiğinde ilk gecikmeye ait ilişki miktarı önemli olduğundan seriye uygun model birinci dereceden hareketli ortalama modeli, yani ARMA(0, 1) olmaktadır. 18
1. 3. Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri • denklemde p=1 ve q=1 olduğunda model ARMA(1, 1) modeli • ARMA(p, q) modellerinde hem ACF hem de PACF grafiklerindeki ilişkiler gecikme sayısı arttıkça yavaş azalmaktadır. • Burada p değerinin PACF grafiğindeki ilk gecikmelere ait önemli ilişkilerden, q değerinin ise ACF grafiğindeki ilk gecikmelere ait önemli ilişkilerden belirlenmesi gerekmektedir. • Seriye uygun model belirlendikten sonra modeldeki katsayıların tahminleri en küçük kareler veya en çok olabilirlik tahmin yöntemleri kullanılarak elde edilir. 19
1. 3. Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri Örnek 3. Aşağıda verilen ACF ve PACF grafiklerini yorumlayarak seriye uygun modeli nedenleriyle belirtiniz. Seri durağan İlk gecikmeye ait ilişki önemli p=1 İlk iki gecikmeye ait ilişki önemli q=2 ARMA(p, q) ARMA(1, 2) 20
Örnek 3 Yorumu • ACF grafiğinden serinin durağan olduğu anlaşılmaktadır. • ACF grafiğinde ilk gecikmeye ait ilişki önemliyken, PACF grafiğinde ilk iki gecikmeye ait ilişki önemlidir. • Hem ACF hem de PACF grafiğindeki ilişki miktarının yaklaşık aynı şekilde yavaş azaldığı görülmektedir. • Bu durumda uygun model otoregresif hareketli ortalama modelidir. • Modelin derecesi PACF grafiğinde ilk iki gecikmeye ait ilişki önemli olduğundan p=2, ACF grafiğinde ilk gecikmeye ait ilişki önemli olduğundan q=1 biçiminde belirlenmekte ve seriye uygun model ARMA(2, 1) olmaktadır. • Eğer bu modelde katsayıları istatistiksel olarak önemsiz olan terimler varsa bu modelin seri için uygun bir model olmadığı anlaşılır ve seriye göre uygun modeli bulmak amacıyla önemsiz olan terimler modelden çıkarılır ya da ACF PACF grafikleri değişik bir bakış açısıyla baştan yorumlanır. Bütün bu modeller içinde katsayılarının hepsinin önemli olduğu model seriye göre uygun modeldir. Uygun model sayısı 1’den fazla ise seri için en uygun model seçimi 4. Bölümde ayrıca ele alınacaktır. 21
Bir Serinin Durağanlaştırılması • Birçok gerçek problemde, trend ya da mevsimsellik gibi durağan olmayan durumlar mevcuttur. • Bu nedenle, durağan olmayan süreçleri durağan hale getirmek için basit bir yöntem kullanılmaktadır. üFark Alma Yöntemi Series» Differences) (Stat» Time • Farklılaştırılarak türetilen veri üzerine kurulan ARMA modeline, ARIMA – (Autoregressive Integrated Moving Average) denmektedir. 22
2. MEVSİMSEL BOX-JENKINS MODELLERİ • Fark işlemleri yanında mevsimsel olmayan modellerin terimleri de olabileceğinden mevsimsel modellerin ACF, özellikle PACF’sini teorik olarak elde etmek çok zordur. 1. 2. 3. Mevsimsel Otoregresyon (SAR), Mevsimsel Hareketli Ortalama (SMA) Mevsimsel Otoregresif Heraketli Ortalama (SARMA) • Bu modellerin belirlenebilmesi için serilerin mutlaka durağan hale getirilmesi gerekmektedir. • ACF ve PACF grafiklerin yorumu ise mevsimsel olmayan modellerinkine dayanmaktadır. 23
2. 1. Mevsimsel Otoregresyon Modelleri • Derecesi P, periyodu s olan SAR(P)s mevsimsel otoregresyon modeli; • İkinci dereceden mevsimsel otoregresyon SAR(2)12 modeli; (2. 1) (2. 2) 24
2. 1. Mevsimsel Otoregresyon Modelleri • PACF grafiğindeki önemli ilişkiler ilk iki gecikmede değil, ilk iki periyoda ait gecikmelerdedir. • Buraya kadar anlatılan “sade mevsimsel modeller” için geçerlidir. • Ancak bunların günlük hayattaki zaman serilerini açıklamak için yeterli olmamasından dolayı “çarpımsal Box-Jenkins modelleri” mevsimsel ve mevsimsel olmayan bileşenleri içeren modellere gerek duyulmaktadır. • Örnek: ARIMA(1, 1, 0)12 25
2. 1. Mevsimsel Otoregresyon Modelleri • PACF grafiğine bakılarak mevsimsel otoregresyon modelinin derecesi belirlenmek isteniyorsa çok garantili bir yol olmamasına rağmen periyodun yanındaki ilişkilerin büyüklüğü ve bu tür ilişkilerin sayısına dikkat edilmelidir. • Mutlaka kendini belli edecek kadar büyüklükte periyodun yanındaki gecikmelerde ilişkiler var olmaktadır. • Özellikle PACF grafiğinde periyodun yanındaki gecikmelerden birinde önemli bir ilişki varsa bu durumda P=1 olması beklenir, eğer periyodun etrafında bir grup şeklinde kendini belli eden ilişkiler söz konusu ise P=2 olması beklenir (Yaffee and Mc. Gee, 2000). 26
2. 1. Mevsimsel Otoregresyon Modelleri Örnek 4. Aşağıda verilen ACF ve PACF grafiklerini yorumlayarak seriye uygun modeli nedenleriyle belirtiniz. Birinci farktan ve (periyot: 4) birinci mevsimsel farktan sonra durağanlaşan seri d=1, D=1 İlk iki gecikmede; ACF: Yavaş yavaş azalma PACF: Bir anda azalma Otoregresyon Modeli q=0, Q=0 İlk gecikmedeki ilişki önemli ikinci gecikmedeki önemsiz p=1 ARIMA(1, 1, 0)4 27
Örnek 4 Yorumu • Bu ACF ve PACF grafikleri serinin birinci farkının ve periyot 4 olmak üzere birinci mevsimsel farkının grafikleri olduğundan d=1 ve D=1 olmaktadır. • ACF grafiğine bakıldığında serinin durağanlaştığı görüldüğünden seriye daha fazla fark işlemi uygulanmamıştır. • ACF ve PACF grafiklerinin ilk iki gecikmesine baktığımızda ACF grafiğinin yavaş azaldığı, PACF grafiğinin ikinci gecikmede bir anda azaldığı açık olarak görülmektedir. Bu durumda model otoregresyon modelidir. Dolayısıyla q=0 ve Q=0 olabileceği düşünülebilir ancak denemeden kesin yargıya varılamaz. PACF grafiğinde ilk gecikmedeki ilişkinin önemli olması ve ikinci gecikmedeki ilişkinin önemsiz olması otoregresyon modelinin birinci dereceden yani p=1 olması anlamına gelmektedir. • Mevsimsel otoregresyon modelinin derecesi için istenilirse sırasıyla P=1 ve gerekirse P=2 denenebilir. Ancak PACF grafiğinde 5’inci gecikmedeki kısmi ilişkinin önemli olması büyük bir ihtimalle P=1 olacağını göstermektedir. Dolayısıyla grafiklere göre seriye uygun model ARIMA(1, 1, 0) 4 olabilir. 28
2. 2. Mevsimsel Hareketli Ortalama Modelleri • ARIMA(0, 1, 1, )(0, 1, 1)12 • Periyodun yanındaki gecikmelere ait ilişkiler aynı büyüklükte ve aynı işaretli olmaktadır. • Birinci dereceden modeller için ACF grafiğinde periyodun yanındaki birer gecikme aynı yönde ilişkiye sahip olmaktadır. • İkinci dereceden modeller için ise periyodun yanındaki ikişer gecikme aynı yönde ilişkiye sahip olmalıdır. • Ancak grafik yorumları mevsimsel modellerin derecesinin belirlenmesi için garantili bir yol değildir. En garantili yol deneme yoludur. Önce Q=1 denenir, katsayı önemli ise Q=2 denenmelidir. Aynı denemeler P için de yapılmalıdır. 29
2. 2. Mevsimsel Hareketli Ortalama Modelleri • PACF grafiği yavaş azalmakta, dolayısıyla p=0 olur ve P=0 gibi düşünülebilir. • ACF grafiğinin ilk gecikmelerine ait önemli ilişki sayısına göre q=1, 2 ya da 3 ve ACF grafiğinin periyodun yanındaki gecikmelere ait ilişkilerin aynı yönde olanların sayısına göre de Q=1 ya da 2 olarak belirlenmektedir. 30
2. 2. Mevsimsel Hareketli Ortalama Modelleri Örnek 5. Aşağıda nedir? Neden? verilen ACF ve PACF grafiklerine göre öneriniz ACF grafiğinin 10, 20 ve 30’uncu gecikmelerinde çok önemli ilişkiler olduğundan serinin, periyodu 10 olan mevsimsel dalgalanmaya sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle model belirleme aşamasından önce serinin mevsimsel farkı alınmalıdır. 31
Örnek 5. Devamı 1: Serinin birinci mevsimsel farkı alınmış halinin ACF ve PACF grafiklerine göre öneriniz nedir? Neden? Seri trende sahip Serinin birinci farkının alınması gerekmekte 32
Örnek 5. Devamı 2: Serinin birinci mevsimsel farkı ve birinci farkı alınmış halinin ACF ve PACF grafiklerine göre öneriniz nedir? Neden? Alt bölümde 9, 19 ve 29’uncu gecikmeler hala oldukça önemli Serinin bir kere daha mevsimsel farkının alınması gerekmekte (2. dereceden mevsimsel farkının) 33
Örnek 5. Devamı 3: Serinin ikinci dereceden mevsimsel farkı ve birinci farkı alınmış halinin ACF ve PACF grafiklerine göre öneriniz nedir? Neden? 1. İlişki sınırı geçiyor q=1, periyodun yanındaki 9. ve 11. gecikmeler aynı yönde Q=1 ARIMA(0, 1, 1)(0, 2, 1)10 Seri durağanlaşmış Model belirleme aşamasına geçilir Serinin birinci farkı (d=1), 2. mevsimsel farkı (D=2) PACF, ACF ye göre daha yavaş azalma=Hareketli ortalama modeli p=0, P=0 34
2. 3. Mevsimsel Otoregresif Hareketli Ortalama Modelleri • ARIMA(1, 1, 1)4 • mevsimsel otoregresif hareketli ortalama modellerin hem ACF hem de PACF grafiklerindeki ilk gecikmelere ait ilişkilerin yavaş azalması gerektiği ve ACF grafiğinde periyodun yanındaki gecikmelere ait ilişkilerin yönü ve büyüklüğünden Q parametresinin değeri, PACF grafiğindekinden de P parametresinin değerinin elde edileceği bilinmektedir. 35
4. MODEL SEÇİM KRİTERLERİ • Bazı durumlarda seriye uygun birden fazla model olabilir. Yani, birden fazla modelin tüm katsayıları istatistiksel olarak önemli elde edilebilir. Bu durumda bu modellerden seriye en uygun modelin seçimi için birtakım kriterler geliştirilmiştir. Bu kriterlerden en yaygın olarak kullanı Akaike Bilgi Kriteri (AIC) değeri; M: modelin parametre sayısı (Mevsimsel olmayan Box-Jenkins modelleri için M=p+q, mevsimsel modeller için M=p+q+P+Q) üModelde sabit terim olduğunda parametre sayısına 1 eklemek gerekmektedir. 36
4. MODEL SEÇİM KRİTERLERİ • Akaike kriterine alternatif olarak geliştirilen Schwartz Bayes Kriteri (SBC) değeri; üBurada diğer formüldeki 2 yerine ln. T gelmektedir. üBu terim küçük örneklemler için (50<T<150 gibi) 4 ile 5 arasında değer almaktadır. üBu fark, Schwartz kriterinin Akaike bilgi kriterine göre daha az parametreli modelleri seçme eğilimi olmasını sağlamaktadır. üBu açıdan bakıldığında Schwartz kriteri Akaike bilgi kriterine göre tercih edilebilmektedir. Uygun olan modeller içinden bu kriter değerlerinin en küçüğüne sahip olan model seriye en uygun modeldir. 37
4. MODEL SEÇİM KRİTERLERİ • Sonuç olarak ACF ve PACF grafikleriyle belirlenen uygun modellerden incelenen seri için en doğru modeli bulabilmek amacıyla Akaike ya da Schwartz bilgi kriterleri kullanılmaktadır. • Model seçim kriteri ile belirlenen modelin tahminlerinin seriyle uyumu, serinin tahmin değerlerinin alt ve üst sınırları arasında yer aldığı ve en önemlisi hata teriminin ak gürültü olduğu mutlaka kontrol edilmelidir. • Başka bir deyişle, model seçim kriterleri model belirleme aşamasının son adımı olmakta, dolayısıyla denetim aşaması model seçim kriterleri uygulandıktan sonra mutlaka yapılmalıdır. • Eğer denetim sonucunda seriye en uygun model olarak belirlenen modelin istatistiksel olarak güvenilir bir model olmadığı sonucuna varılırsa seriye Box. Jenkins modellerinin uygulanamayacağı başka bir yöntemin uygulanması sonucu ortaya çıkmaktadır. 38
Box-Jenkins Modelleri • Seriye iyi uyum sağlayabilmesinde gözlem sayısının da çok büyük önemi bulunmaktadır. • Genel kanı Box-Jenkins modellerinin uygulanabilmesi için gerekli gözlem sayısının en az 50 civarında olmasıdır. 39
UYGULAMA 1 • Türkiye’nin 1932 -1998 yılları arasındaki ton cinsinden pamuk üretimi serisi 40
Yıllık tarih ataması 41
Serimiz 1932 yılından başlıyor 42
Serinin grafiğini çizmek Seri artan bir trende sahip Mevsimsel dalgalanmanın olup olmadığını anlamak için ACF ve PACF grafikleri gerekli 43
Serinin ACF ve PACF grafikleri çizimi 44
45 En fazla 40 gecikme istiyoruz
Seri trende sahip Seriyi trentten arındırmak gerekli = Birinci Farklar Alınır 46
Serinin 1. Farkı Alındı 47
Minitab’da Fark Alma İşlemi 48
1. Farkı alınmış serinin ACF ve PACF grafikleri Hareketli Ortalama Modeli (p=0) Seriye uygun model ARIMA(0, 1, 1) Seri trentten arınmış ve durağan hale gelmiş Serinin 1. Farkı alındığından d=1 Seri mevsimsel dalgalanmaya sahip olmadığı için Mevsimsel Olmayan Box-Jenkins Modelleri uygulanmalı ACF’de sadece ilk gecikme önemli olduğundan q=1 49
SPSS’de ARIMA Modeli Uygulaması 50
51
52
53
Minitab da ARIMA Uygulaması 54
55
Akaike bilgi kriteri değeri Schwartz Bayes kriteri değeri Önemli Model seri için uygun 56
Orijinal Seri ile Tahmin Serisinin Birlikte Grafiği 57
UYGULAMA 2 • Aylık uluslararası uçak yolcusu toplamının tahmininde Box-Jenkins metodolojisinin kullanımı Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haz. Tem. Ağu. Eylül Ekim Kasım Aralık 1949 112 118 132 129 121 135 148 136 119 104 118 1950 115 126 141 135 125 149 170 158 133 114 140 1951 145 150 178 163 172 178 199 184 162 146 166 1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194 1953 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201 1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229 1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278 1956 284 277 313 318 374 413 405 355 306 271 306 1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336 1958 340 318 362 348 363 435 491 550 404 359 310 337 1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405 1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432 58
59
• Artan bir trend ve her yıl tekrar eden bir mevsimsellik mevcuttur. Varyans zamanla artmaktadır. Adım 1: Verinin doğal logaritması (ln x) alınarak dönüştürülmesi sonucu seri sabit varyans hale gelir. 60
Aylara Göre Uluslararası Uçak Yolcusu (x 1000) - Doğal logaritma Çevrimi ile Sabit Varyans 6. 5 6. 3 6. 1 5. 9 5. 7 5. 5 5. 3 5. 1 4. 9 4. 7 4. 5 Oc 1 a- 9 94 -1 ca O 0 95 51 Oc 19 a- 52 Oc 19 a- 53 Oc 19 a- Oc 4 95 1 a- 5 95 Oc 1 a- Oc 6 95 1 a- 7 95 Oc 1 a- 8 Oc 5 19 a- 9 95 -1 a Oc 0 96 -1 a Oc • Sonraki adımda, trend ve mevsimsellik ikinci düzey farklılaştırma yapılır. • Adım 2: Trendi kaldırmak için 1 seviye farklılaştırma • Adım 3: Her yıl tekrar eden mevsimselliği kaldırmak için 12 periyotluk 2 nci seviye farklılaştırma 61
ACF Grafiğinin Çizilmesi 62
63
64
PACF Grafiğinin Çizilmesi 65
66
67
Modelin Belirlenmesi üSeride trend vardı: Durağanlaştırdık üSerinin 1. farkı alındı (d=1) üMevsimlik değişimin farkı alındı (D=1) üPACF, ACF grafiğine göre daha yavaş azaldığından model: Hareketli Ortalama Modeli MA(1) (p=0, P=0) üACF grafiğinde sadece 1. gecikmeye ait ilişki önemli olduğundan q=1, ACF grafiğinin periyodun yanındaki gecikmelere ait ilişkilerin aynı yönde olanların sayısına göre de Q=1 düşünülebilir. üModel ARIMA(0, 1, 1)12 Periyot=12 68
Minitab’da ARIMA Modelinin Uygulanması 69
ARIMA Model Sonuçları 8 iterasyon için parametreler Estimates at each iteration Iteration SSE Parameters 0 29710, 8 0, 100 1 27225, 9 0, 250 0, 152 2 26188, 9 0, 400 0, 200 3 26102, 5 0, 445 0, 187 4 26092, 0 0, 460 0, 182 5 26090, 3 0, 466 0, 181 6 26090, 0 0, 468 0, 180 7 26090, 0 0, 469 0, 180 8 26090, 0 0, 470 0, 180 0, 283 0, 239 0, 214 0, 209 0, 211 0, 212 0, 213 Final Estimates of Parameters Type Coef SE Coef T P MA 1 0, 4699 0, 0791 5, 94 0, 000 SMA 12 0, 1799 0, 0963 1, 87 0, 064 Constant 0, 2125 0, 5441 0, 39 0, 697 Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12 Number of observations: Original series 144, after differencing 131 Residuals: SS = 26060, 7 (backforecasts excluded) MS = 203, 6 DF = 128 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 16, 4 45, 3 57, 1 74, 4 DF 9 21 33 45 P-Value 0, 059 0, 002 0, 006 0, 004 <0, 05 olduğundan MA 1 terimi önemlidir. Uygulanan model seri için uygundur. 70
Tahmin: 144. periyottan sonra 71
144. Tahminden Sonrası Trendi 72
• Forecasts from period 144 95 Percent Limits • Period Forecast Lower • 145 450, 30 422, 33 • 146 425, 92 394, 26 • 147 460, 06 425, 10 • 148 492, 88 454, 90 • 149 506, 13 465, 36 • 150 568, 02 524, 64 • 151 652, 57 606, 73 • 152 642, 90 594, 71 • 153 544, 40 493, 98 • 154 496, 33 443, 79 • 155 430, 19 375, 59 • 156 472, 14 415, 56 Upper 478, 27 457, 58 495, 02 530, 85 546, 90 611, 40 698, 42 691, 08 594, 81 548, 88 484, 79 528, 72 Actual Tahminle r başarıyla yapıldı 73
Teşekkürler 74
- Slides: 74