Kapitel 4 Aussagen Prdikatenlogik Peter Brezany Institut fr

Kapitel 4: Aussagen-, Prädikatenlogik Peter Brezany Institut für Softwarewissenschaft Universität Wien, Liechtensteinstraße 22 1090 Wien Tel. : 01/4277 38825 E-mail : brezany@par. univie. ac. at Sprechstunde: Dienstag, 11. 30 -12. 30 P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien

Logik und Mathematische Logik ist in der Theoretischen Informatik (TI) keine Wissenschaft, die uns richtiges Denken lehrt, sondern dass sie nur Aussagen darüber macht, unter welchen Bedingungen man aus der Gültigkeit von Voraussetzungen auf die Gültigkeit von Folgerungen schließen kann. Weil hier also Logik betrieben und aufgebaut wird wie eine mathematische Theorie, heißt sie mathematische Logik. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 2

Aussagenlogik • Unter einer „Aussage“ wollen wir einen Satz der natürlichen Sprache verstehen. • Es interessiert uns dabei nicht der syntaktische Aufbau (Subjekt –Prädikat – Objekt), sondern die charakteristische Eigenschaft des betrachteten Gebildes, wahr oder falsch zu sein. • Aussagen unterscheiden sich von anderen sprachlichen Gebilden dadurch, dass wir ihnen einen bestimmten Wahrheitswert zuteilen können – den Wahrheitswert „W“, wenn sie wahr, den Wahrheitswert „F“ wenn sie falsch sind, es aber keine weitere Möglichkeit gibt. • Beispiele solcher Aussagen sind: – Baden ist eine Stadt in Niederösterreich. – Alle Menschen müssen sterben. – 7 ist größer als 4. Sie haben alle den Wahrheitswert W. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 3

Aussagenlogik (2) • Folgende Aussagen haben den Wahrheitswert F: – Junge Pferde nennt man Welpen. – 6 ist größer als 8. • Eine Aussage wird im Folgenden durch A, B, C, . . . repräsentiert. Da eine Aussage einen der beiden Werte annemen kann, spricht man auch von einer „Aussagenvariablen“ – für eine Variable A darf man beliebige Aussagen einsetzen, was die Zuweisung eines der Werte W oder F bedeutet. • Sätze der Umgangssprache werden auf vielfache Weise miteinander verknüpft – durch die Verwendung von Bindewörtern wie „und“, „oder“, „wenn - dann“. In der Aussagenlogik lassen sich Verknüpfungen von Aussagen ebenfalls beschrieben. • Die Definition einer Verknüpfung von Aussagen A, B wird dadurch beschrieben, dass der Wahrheitswert der Verknüpfung in Abhängigkeit von der Wahrheitswerten der Aussagen A, B angegeben wird. Das geschieht in Form einer sogenannten Wahrheitstabelle oder Wahrheitstafel. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 4

Aussagenlogische Formeln (AF) • Im Allgemeinen können wir Aussagen durch sogenannte aussagenlogische Formeln beschreiben. Folgende Elemente können in diesen Formeln erscheinen – Namen wie x für nicht-zusammengesetzte Aussagen (im weiteren werden wir solche Namen als atomare Formeln oder Atome bezeichnen). Zum Beispiel: „ 5 ist eine ungerade Zahl“. – Verknüpfungsoperatoren (Konnektoren) wie , , usw. , mit denen man aus einfachen Formeln komplexere zusammensetzen kann. • Jetzt wollen wir zur Aussagenlogik einen formalen Kalkül vorstellen. Dabei werden wir unter anderem untersuchen, – wie die Symbole , , usw. zusammenhängen – Syntax der Aussagenlogik, – wie man komplexe Formeln auswertet, d. h. wie man feststellt, ob sie insgesamt wahr oder falsch sind – Semantik der Aussagenlogik, und – wie man Formeln umformt, um sie in bestimmte einfachere Formen, sogenannte Normalformen, zu bringen. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 5

Aussagenlogische Formeln (2) • Aussagenlogische Formeln heißen auch logische oder Booloesche Ausdrücke (BA) (nach dem englischen Mathematiker George Boole – 19. Jahrhundert, der das algebraische Studium von Wahrheitswerten initialisiert hat). • BA sind ähnlich artitmetischen Ausdrücken – dort sind Operanden, die Werte W und F (statt integers) representieren, und Operatoren, and ( ), or ( ) statt , +) und Klammern werden angewendet, um die Reihenfolge der Auswertung bestimmen zu helfen. • Man muß lernen, wie man die auf Deutsch oder Englisch ausgedrückten Behauptungen als Formeln ausdrückt. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 6

Syntax der Aussagenlogik Zunächst wollen wir definieren, was wir unter einer Formel (der Aussagenlogik) verstehen: eine einfache oder mit den schon bekannten Konnektoren zusammengesetzte Aussage. Definition: Gegeben sei eine nichtleere, abzählbare Menge Var von atomaren Formeln (auch Atome oder manchmal auch. Variablen genannt), deren Elemente wir üblicherweise mit x, y, z, x o. ä. bezeichnen. Eine Formel der Aussagenlogik (AL) (über Var) ist induktiv wie folgt definiert: • Induktionsbeginn: Jede atomare Formel aus Var ist eine Formel. • Induktionsschritt: Sind F und G bereits Formeln der AL, so sind auch F, (F G) Formeln der AL. F heißt auch Negation, (F G) heißt auch Konjuktion, und (F G) heißt auch Disjunktion. • Ein Literal ist eine atomare Formel oder die Negation einer atomaren Formel. FAL ist die Menge aller aussagenlogischen Formeln. Var (F) ist die Menge aller der atomaren Formeln, die in der Formel F vorkommen. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 7

Syntax der Aussagenlogik – BNF Grammatik (2) <AF> : : = W | F | <identifier> | ( <AF>) | (<AF> = <AF>) P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 8

Semantik der Aussagenlogik Die Semantik der AL festzustellen heißt anzugeben, was eine Formel bedeutet. Genauer gesagt geht es darum, zu definieren, wann eine AL-Formel wahr oder falsch ist. „Wahr“ (W) und „falsch“ (F) (oder true und false) heißen Wahrheitswerte. Wir setzen voraus, dass jede atomare Formel entweder den Wahrheitwert W oder F annimmt, das heißt, wir arbeiten mit einer zweiwertigen Logik. Bemerkung: Es gibt auch andere Logiken, z. B. die dreiwertige, die mit den Wahrheitswerten W, F und „? “ arbeitet (der dritte steht für „unbestimmt“), oder die Fuzzy Logic, bei der die Variablen Werte aus dem Kontinuum [0, 1] annehmen. Je näher an 1 der Wert einer Formel ist, umso „wahrer“ ist sie. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 9

Semantik der Aussagenlogik (2) Eine atomare Formel x steht für irgendeine Aussage, vieleicht für „Das Wort Opossum enthält genau soviel `o´ wie `p´“ oder für „Das Wort Lemur hat genau halb so viele Buchstaben wie das Wort Gürteltier. “ Ob x wahr ist oder falsch, hängt davon ab, für welche Aussage x steht. Auch eine zusammengesetzte Formel steht für viele verschiedene Aussagen, manche davon wahr, andere falsch, je nachdem, wofür die atomaren Formeln stehen. Für zusammengesetzte Formeln kan man z. B. aber sagen: F G ist wahr genau dann, wenn sowohl F als auch G wahr sind. Man kann also von der Bedeutung einer Formel abstrahieren und ihren Wahrheitswert angeben in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Teilformeln. Da man das auch für Teilformeln wieder tun kann bis hinunter auf die Ebene der Atome, kann man insgesamt den Wahrheitswert einer Formel angeben in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Atome, die darin vorkommen. Wenn wir jeder atomaren Formel einen (beliebigen, aber festen) Wahrheitswert zuweisen, so heißt das eine Belegung. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 10

Semantik der Aussagenlogik (3) Definition: Ein Wahrheitwert ist ein Wert aus der Menge {W, F}. Eine Belegung ist eine Abbildung A: Var {W, F}, die jeder atomaren Formel einen Wahrheitswert zuweist. Wir erweitern A auf eine Abbildung A: FAL {W, F}, die jeder AL-Formel einen Wahrheitswert zuweist wie in den folgenden Wahrheitstafeln spezifiziert wird. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 11

Wahrheitstafeln • Konjuktion („und“) A B F F W W F W A B F F F W • Disjunktion („oder“) P. Brezany A B F F W W F W A B F W W W Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 12

Wahrheitstafeln (2) • Implikation A B A B F F W W W F W • Äquivalenz P. Brezany A B F F W W F W A heißt die Prämisse, B die Conclusio der Folgerung Schlagwort: „aus etwas Falschem kann man alles folgern“ A B W F F W Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 13

Wahrheitstafeln (3) • Negation A F W A W F Definition: Tautologie Eine Formel heißt allgemeingültig (oder Tautologie), wenn sie für alle Werte der in ihr vorkommenden Aussagenvariablen den Wert W annimmt. Anders ausgedrückt heißt eine Formel Tautologie, wenn sie für alle Belegungen den Wert W annimt. Beispiele für allgemeingültige Formeln sind: A A oder A (A B) B P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 14

Wahrheitstafeln (4) • Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz werden als zweistellige Junktoren genannt. Die Negation – eine einstellige Verknüpfung. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 15

Auswertung von konstanten AF • Konstante AF – sie enthält nur Konstanten als Operanden • Fall 1: Der Wert von W ist W; der Wert von F ist F. • Fall 2: Der Wert von ( A), (A B), . . . , wo A und B sind Konstanten W oder F ist durch die Wahrheitstafeln gegeben. • Fall 3: Der Wert einer konstanten AF, die mehr als 1 Operator enthält wird durch die wiederholte Anwendung des Falls 2 bestimmt. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 16

Auswertung von AF in einem Zustand AF wie ( A B) kann in einem Programm auf mehreren Stellen erscheinen, z. B. C : = ( A B) oder if ( A B) then. . Wenn einer dieser Anweisungen ausgeführt wird, wird AF im aktuellen maschinen „Zustand“ ausgewertet, um W oder F zu produzieren. Definition: Ein Zustand s ist eine Funktion s: Id {W, F} Id – Identifikatoren Definition: AF ist well-defined im Zustand s, wenn jeder Identifikator in AF mit entweder W oder F assoziert ist. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 17

Auswertung von AF in einem Zustand (2) Definition: Sei AF e well-defined im Zustand s. Dann s(e), der Wert von e in s, ist der Wert, den man bekommt, wenn man alle Identifikatoren B in e durch ihre Werte s(B) ersetzt und evaluiert den resultierenden konstanten AF. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 18

AF als Mengen von Zuständen Eine AF representiert, oder beschreibt, die Menge von Zuständen in denen sie wahr ist. Umgekehrt, für jede Menge Zuständen, die nur Identifikatoren assoziiert mit W und F enthalten, können wir eine AF ableiten, diese Menge repräsentiert. Die leere Menge, die keine Zustände enthält, ist durch die AF F repräsentiert, weil F in keinem Zustand wahr ist. Die Menge aller Zustände ist durch die AF W repräsentiert, weil W in allen Zuständen wahr ist. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 19

AF als Mengen von Zuständen (2) Beispiel: Die Menge von 2 Zuständen { (B, W), (C, W), (D, W) } und { (B, F), (C, W), (D, F) } ist repräsentiert durch die AF: (B C D) ( B C D) -------------------Bemerkung: Die Verbindung zwischen einer AF und der von ihr repräsentierten Menge von Zuständen ist so stark, dass wir oft beide Konzepte gleichsetzen. Z. B. statt zu schreiben: „die Menge von Zuständen, in denen B C wahr ist“, können wir schreiben: „die Zustände in B C“. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 20

Modell für eine Formel Definition: Ein Modell für eine Formel F ist eine wahrmachende Belegung, also eine Belegung A mit A(F) = W. Beispiel: Ein Modell für die Formel (x (y z)) ist z. B. die Belegung A 1 mit A 1(x) = true, A 1(y) = false und A 1(z) = false. Aber auch die folgende Belegung A 2 ist ein Modell: A 2(x) = false, A 2(y) = false und A 2(z) = true. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 21

Erfüllbare, unerfüllbare Formeln, Tautologie Definition: Eine Formel F heißt erfüllbar, falls sie mindestens ein Modell besitzt, ansonsten heißt sie unerfüllbar. Wenn F von jeder Belegung erfüllt wird, heißt F Tautologie oder gültig. Satz: Eine Formel F ist eine Tautologie genau dann, wenn F unerfüllbar ist. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 22

SAT und TAUT Definition: SAT TAUT : = { F FAL } | F is erfüllbar } : = { F FAL } | F is Tautologie } SAT und TAUT bezeichnen Sprachen, Sprache der erfüllbaren („saturierbaren“) bzw. der gültigen AL-Formeln, und die Wörter dieser Sprachen sind AL-Formen. SAT und TAUT bezeichnen aber auch Probleme, nämlich die Fragen „Ist F SAT? “ und „Ist F TAUT? “ Beide Probleme sind entscheidbar; man kann einen Algorithmus angeben, der für jede AL-Formel F in endlicher Zeit entscheidet, ob F erfüllbar bzw. gültig ist: das Verfahren der Wahrheitstafeln. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 23

Äquivalenz von Formeln • Äquivalenz von Formeln 1. A 1 A 2 = A 2 A 1 2. A 1 A 2 = A 2 A 1 3. (A 1 A 2) A 3 = A 1 (A 2 A 3 ) 4. (A 1 A 2) A 3 = A 1 (A 2 A 3 ) 5. (A 1 A 2) A 3 = (A 1 A 3) (A 2 A 3 ) 6. (A 1 A 2) A 3 = (A 1 A 3) (A 2 A 3 ) 7. A 1 = A 1 8. (A 1 A 2) = A 1 A 2 9. (A 1 A 2) = A 1 A 2 P. Brezany de Morganschen Regeln Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 24

Konjuktive und disjunktive Normalform Manchmal ist es vorteilhaft, Formeln durch Umformungen zu vereinfachen. Wir werden jetzt 2 Normalformen für ALFormeln vorstellen. Normalformen sind Einschränkungen auf der Syntax der AL, aber so, dass man jede beliebige Formel umformen kann in eine äquivalente Formel in Normalformen sind auch wichtig für die maschinelle Verarbeitung von logischen Formeln (und es gibt inzwischen sehr viele Algorithmen, die AL-Formeln verarbeiten und dadurch logische Schlüsse ziehen – z. B. intelligente Agenten): Wenn alle Formeln nur noch eine eingeschränkte Syntax haben, dann muß ein Algorithmus nicht so viele mögliche Formel-Formen berücksichtigen. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 25

Konjuktive und disjunktive Normalform (2) Definition: 1. Eine Formel F ist in konjuktiver Normalform (KNF) genau dann, wenn F eine Konjuktion von Disjunktionen von Literalen ist. 2. Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF) genau dann, wenn F eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen ist. Beispiel: Die Formel F = (x ( (y z) w)) ist in keiner Normalform. Die Formel F´= ( x y) ( x z) ( x w) ist zu F äquivalent und in DNF. Die Formel F´´ = x (y z w) ist zu F äquivalent und in KNF. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 26

Regelsysteme In der Logik werden Regelsysteme (Ableitungs- oder Inferenzregeln) angegeben, die es erlauben, aus einer Menge von als wahr angenommenen Formeln (Axiome) weitere Formeln (Theoreme) abzuleiten. Die Ableitung einer Formel heißt auch (formaler) Beweis der Formel. Beispiel für andere eine Anwendung: Intelligente Softwareagenten (siehe folgende Folien). P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 27

Regeln Die allgemeine Form einer Regel kann wie folgt geschrieben werden: wenn Prämisse(n) dann Konklusion(en) (statt Prämisse werden auch oft die Begriffe „Bedingung“, „Vorausetzung“ oder „Situation“ und statt Konklusion „Aktion“ oder Hypothese“ verwendet. )Obige Form der Regel sagt aus, daß im Falle der Erfüllung der Prämisse(n) die Konklusion(en) zur Ausführung gelangt (gelangen). Regeln können folgende Form haben: • wenn P dann Q • wenn P 1 und P 2 und. . . und Pn dann Q 1 und Q 2 und. . . und Qm • wenn P 1 oder P 2 oder. . . oder Pn dann Q Regeln, die neue Fakten produzieren, werden Produktionsregeln genannt. 28 P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien

Regeln (2) Architektur eines Produktionssystem Wissensbasis Regeln Inferenzmechanismus Recognize Select Faktenbasis Fakten Act P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 29

Arbeitsweise eines Produktionssystems Beispiel: Insgesamt gibt es in unserer Wissensbasis vier Regeln: R 1: R 2: R 3: R 4: wenn A B B A > 50 dann B = 45 < 40 dann C = 0 >= 40 dann D = 100 > 60 dann E = 20 Die Faktenbasis enthält das faktum A = 100. Recognize: R 1 und R 4 sind Kandidaten; Select: R 1 ist ausgewählt; Action: B = 45 wird in die Faktenbasis geschrieben. Dann R 3 usw. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 30

Ein Agent in seiner Umgebung P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 31

Agentenbeschreibung: Simple-Reflex-Agent Wie beschreiben wir nun Agenten? Wir könnten eine Funktion action : P A (P – perceptions (Wahrnehmungen), A – Aktionen) benutzen. Condition-action rules P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 32

Agentenbeschreibung: Simple-Reflex-Agent (2) function SIMPLE-REFLEX-AGENT (percept) returns action static: rules // a set of condition-action rules env-state INTERPRET-INPUT(percept) rule RULE-MATCH(env-state, rules) action RULE-ACTION[rule] return action P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 33

Prädikatenlogik • Bei der Einführung des Prädikatenbegriffs werden wir uns auf die Menge IN der natürlichen Zahlen beschränken (der Einfachkeit halber). • Mögliche Aussagen sind: a ist eine gerade Zahl, b ist teilbar durch 3, c ist eine Primzahl, d ist eine Summe von a und b, usw. ; eine solche Aussage über einzelne Elemente, über Paare von Elementen oder allgemeiner über n-Tupel von Elementen wird als Prädikat über der Menge IN bezeichnet. • Man spricht von einem n-stelligen Prädikat über IN, wenn es die Aussage über je n Elemente macht. In Abhängigkeit von den gewählten Elementen nimmt ein Prädikat den Wahrheitswert W oder F an. • Ist P ein n-stelliges Prädikat über der Menge M, so wird der Funktionswert von P für das n-Tupel (x 1, . . , xn) mit P(x 1, . . , xn) bezeichnet. Die Symbole P, Q, . . . – Prädikatsvariablen. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 34

Allquantor Definition: Es sei P einstelliges Prädikat über M. Dann wird durch x P(x) genau dann eine wahre Aussage bezeichnet, wenn P für alle x M den Wert W annimmt. P heißt dann Allquantor oder Generalisator. x P(x) wird gelesen als „für alle x M ist P(x) wahr“. Z. B. kann man die Tatsache, daß durch 6 teilbare Zahlen auch durch 3 teilbar sind, ausdrücken als x N (x mod 6 = 0 x mod 3 = 0). P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 35

Existenzquantor Definition: Es sei P einstelliges Prädikat über M. Dann wird durch x P(x) genau dann eine Wahre Aussage bezeichnet, wenn es in M (mindestens) ein Element a gibt, für das P den Wahrheitswert W annimmt. P heißt dann Existenzquantor oder Partikulisator. Beispiel: „Es gibt mindestens ein Wort der deutschen Sprache, das genau 5 `e´ und keine anderen Vokale enthält“ oder in Zeichen x (D(x) E(x)), falls D(x) heißt „x ist ein Wort der deutschen Sprache“ und E(x) steht für „x enthält genau 5 `e´ und keine anderen Vokale“. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 36

Freie und gebundene Variablen Nehmen wir das Prädikat: i : m i < n: x i > 0 (1. ) Die Wahrheit dieses Prädikats im Zustand s ist von den Werten von m, n und x in s, aber nicht vom Wert i abhängig, und die Bedeutung dieses Prädikat wird sich nicht ändern, wenn wir i durch j ersetzen. Identifikatoren m, n und x sind freie Variablen des Prädikats. Der Identifikator i ist gebunden in (1. ) und ist gebunden zu dem Quantifier in diesem Prädikat. P. Brezany Institut für Softwarewissenschaft – Universität Wien 37