Kapitel 2 Frndringshastighet och derivator manada se Frklara

Kapitel 2 Förändringshastighet och derivator manada. se

Förklara och använda begreppet n lutning n ändringskvot manada. se

Polynom och polynomfunktion n Kontinuerliga och diskontinuerlig funktioner n Gränsvärden n Räta linjens ekvation n Ändringskvot n manada. se

2. 1 Ändringskvoten och begreppet derivata Förkunskaper: • Algebraiska uttryck • Ekvationslösning • Räta linjen ekvation • Funktioner och deras grafer • Begreppen kontinuerlig och diskontinuerlig funktion manada. se

Polynom (grekiska) - många namn eller många termer n En summa av konstant- och variabeltermer, där varje variabelterm är en produkt av ett tal och en variabel med positiv heltalexponent n 2 x + 4 x + 5 4 Koefficient 3 Konstant term Variabel manada. se

n En bils koldioxidutsläpp beror av farten n Om koldioxidutsläppet(pollution) p(v) mäts i gram per kilometer och farten v i kilometer per timme, så kan sambandet beskrivas med uttrycket p(v) = 0, 045 v 2 – 6, 75 v + 393 för 30≤ v ≤ 130 (definitionsmängden) manada. se

n manada. se

n manada. se

Förändringen i �� -led manada. se

manada. se

manada. se

• (1, 5) • (0, 3) 2 steg i y-led 1 steg i x-led manada. se

(1, 5) Linjens lutning • ∆y = 2 • ∆x = 1 (0, 3) 14 manada. se

manada. se

n y (3, 10) ∆y (1, 2) ∆x x manada. se

DERIVATAN manada. se

n Derivata är ett av matematikens sätt att beskriva förändring vid en viss tidpunkt n Här kommer en cyklist och vi fryser tiden så att händelsen och cyklist står helt stilla ”Frys händelsen” Hastigheten 20 km/h Vad är förändringen av hastigheten just nu i den frysta händelsen? • • Förändringen av hastigheten just nu är derivatan av hastigheten Den beskriver man med fysikaliska termen acceleration som just nu är förändring av hastigheten manada. se

n Här skyter vi upp en boll och fryser bollen och händelsen precis på toppen av dess bana. ”Frys händelsen” Vad är förändringen av höjden just nu i den frysta händelsen? Höjd: 3 meter manada. se

n Vi låter bollen åka när åt marken igen så fryser vi händelse precis innan den träffar marken vid 0, 5 m Vad är förändringen av höjden just nu i den frysta händelsen? • • Förändringen av höjden just nu är derivatan av höjden Derivatan är just nu negativ (t. ex. -1 m/s) då bollen är tillbaka igen mot marken ”Frys händelsen” Höjd: 0, 5 meter manada. se

n manada. se

Höjd, �� (�� ) Funktionen �� (�� ) ger höjden på en boll efter �� sekunder v f(0, 5) = 1 betyder att efter 0, 5 sek bollen befinner sig på 1 m höjd v f´(0, 5) = 1, 5 betyder att efter 0, 5 s förändras höjden (+1, 5) m/s uppåt v f´(1) = 0 betyder att efter 1 sekund förändras inte höjden något och bollen befinner sig i toppen v f´(1, 5) = (-1) Tid, �� betyder att efter 1, 5 sekunder är bollen på väg neråt. Höjden minskar med 1 m/s manada. se

A B C n Om derivatan är positiv så är funktionen växande Om derivatan är negativ så är funktionen avtagande manada. se

• • • När vi behöver få reda på hur ett värde har förändrats under en viss tid använder vi begreppet derivata För att bestämma förändringshastighet För att bestämma andra förändringar: • • bakterietillväxt, befolkningsmängd tillväxt ekonomiska förlopp muskeltillväxt För att generalisera till ytor, volymer, fysikaliska processer För att analysera kurvor (förlopp) Derivata är utgångspunkt för mycket inom matematiken och fysiken manada. se

n manada. se

n manada. se