Kap 2 Algebra och ickelinjra modeller 1 Algebra
Kap 2 - Algebra och ickelinjära modeller 1
Algebra och icke-linjära modeller 2. 1 Polynom 2. 2 Andragradsekvationer 2. 3 Andragradsfunktioner 2. 4 Potenser och potensekvationer 2. 5 Exponentialfunktioner och logaritmer
GENOMGÅNG 2. 1 3
POLYNOM Ett polynom är en summa av termer koefficient variabel konstant
DEFINITIONER Exempel: ”ett genom”
POTENSLAGARNA Hur ser dessa ut i ditt formelblad?
POTENSLAGARNA
POTENSLAGARNA
POTENSLAGARNA
POTENSLAGARNA
VÄRDET AV ETT POLYNOM
PARENTESREGLERNA En parentes som föregås av ett plustecken kan utan vidare tas bort. En parentes som föregås av ett minustecken kan tas bort, om man samtidigt ändrar tecken för varje term inom parentesen.
ADDITION AV POLYNOM
SUBTRAKTION AV POLYNOM
FÖRSTA KVADRERINGSREGELN
FÖRSTA KVADRERINGSREGELN OBS!
ANDRA KVADRERINGSREGELN
ANDRA KVADRERINGSREGELN
KONJUGATREGELN
KONJUGATREGELN
Multiplikation av polynom
Faktorisering av polynom Bryt ut faktorn x ur följande polynom:
Faktorisering av polynom Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:
Faktorisering av polynom Bryt ut största möjliga faktor ur följande polynom:
GENOMGÅNG 2. 2 Andragradsekvationer 26
ANDRAGRADSFUNKTIONER Linjär funktion Andragradsfunktion Y = 2 x - 3 Y = x 2 - 3 Denna kan man även kalla ”förstagradsfunktion” En andragradskurva kallas även för parabel
ANDRAGRADSEKVATIONER +X Symmetrilinje -X
Symmetrilinje ANDRAGRADSEKVATIONER
ANDRAGRADSEKVATIONER 0 0 Inget nollställe 0 Ett nollställe [Dubbelrot] Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0
ANDRAGRADSEKVATIONER NOLLSTÄLLEN
ANDRAGRADSEKVATIONER Minpunkt Maxpunkt
ANDRAGRADSEKVATIONER Sidan 99 i Matematik 5000 2 bc VUX-boken
ANDRAGRADSEKVATIONER Lösningsformeln X= Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!
Symmetrilinje ANDRAGRADSEKVATIONER 1 1 Minimipunkt
ANDRAGRADSEKVATIONER 0 0 Inget nollställe 0 Ett nollställe Två nollställen
GENOMGÅNG 2. 3 Andragradsfunktioner 37
ANDRAGRADSEKVATIONER 0 0 Inget nollställe 0 Ett nollställe [Dubbelrot] Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN VAD MENAS MED ”NOLLSTÄLLE”? NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM ATT Y = 0
Symmetrilinje ANDRAGRADSEKVATIONER 1 1 Minimipunkt
ANDRAGRADSEKVATIONER Minpunkt Maxpunkt
ANDRAGRADSFUNKTIONER a) (0, 3) b) (2, 0) och (6, 0) c) x = 2 och x = 6 d) x = 4 e) x = 4 Matematik 2 bc VUX – boken, sid 116
Symmetrilinje ANDRAGRADSEKVATIONER 1 1 Minimipunkt
ANDRAGRADSEKVATIONER 1 1 Minimipunkt
Andragradsfunktioner - DESMOS Vad heter denna funktion?
Andragradsfunktioner - DESMOS Vad heter denna funktion?
Andragradsfunktioner - DESMOS Var skär dessa kurvor varandra?
Andragradsfunktioner - DESMOS
Andragradsfunktioner - DESMOS
Andragradsfunktioner - DESMOS Algebraisk lösning
Andragradsfunktioner - DESMOS Var skär dessa kurvor varandra?
Andragradsfunktioner - DESMOS
Andragradsfunktioner - DESMOS Ange en funktion som aldrig skär denna funktion: Gå till DESMOS!
GENOMGÅNG 2. 4 Potenser och potensekvationer 62
Roten ur
Potensekvationer
Ekvationen xn = a
OBS!
OBS! 5^(1/2) = 2, 2360679775 5^(1/3) = 1, 70997594668 5^(1/4) = 1, 49534878122
GENOMGÅNG 2. 5 Exponentialfunktioner och logaritmer 69
Förändringsfaktor Nya värdet Gamla värdet = Förändringsfaktor Ökning med 5 % Ett exempel 210 kronor 200 kronor = 1, 05 Räknaren: Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 1, 05 × 200 kronor = 210 kronor Ökning med 5 % Räknaren:
Förändringsfaktor Nya värdet Gamla värdet = Förändringsfaktor Minskning med 5 % Ett exempel 190 kronor 200 kronor = 0, 95 Räknaren: Förändringsfaktor × Gamla värdet = Nya värdet 0, 95 × 200 kronor = 190 kronor Minskning med 5 % Räknaren:
Flera procentuella förändringar William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? Efter 1 år: Efter 2 år: Efter 3 år: Efter 4 år: Efter 5 år: Svar: Efter 5 år är bilen värd c: a 200 000 kronor
Flera procentuella förändringar William köper en ny bil för 450 000 kronor. Den beräknas sjunka i värde Med 15% per år. Hur mycket är bilen värd efter 5 år? A: Efter 5 år: B: Efter 5 år: Vilket sätt att skriva tycker Du är bäst? Svar: Efter 5 år är bilen värd c: a 200 000 kronor
Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år (antal upprepningar)
Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till Svar: Om 10 år är folkmängden 61 000. y och får då:
Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas minska med 2 % varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år? Lösning: Vi sätter folkmängden efter 10 år till Svar: Om 10 år är folkmängden 41 000. y och får då:
Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?
Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år Vad heter denna exponentialfunktion?
Logaritmer ”x är 10 -logaritmen för 7” ”x är 8 -logaritmen för 5”
Logaritmer Enligt räknaren…
Logaritmer (1) lg(3× 4) = 1, 07918124605 [test] --- lg(3)+lg(4) = 1, 07918124605 (2) lg(4/3) = 0, 124938736608 --[test] lg(4)-lg(3) = 0, 124938736608 (3) lg(3^4) = 1, 90848501888 --- 4×lg(3) = 1, 90848501888 [test]
Logaritmlagar Exempel: TESTA!
Logaritmlagar Exempel: TESTA!
Logaritmlagar Exempel: TESTA!
Logaritmer - exempel lg(10)/lg(3) = 2, 09590327429 10^(1/3) = 2, 15443469003
Logaritmer - exempel lg(10)/lg(5) = 1, 43067655807 10^(1/5) = 1, 58489319246
Logaritmer - exempel lg(27)/lg(7, 5) = 1, 63572977578 27^(1/7, 5) = 1, 55184557392
- Slides: 77