Kap 1 Algebra och funktioner 1 1 1

Kap 1 - Algebra och funktioner 1

1. 1 Algebra och polynom 2

POLYNOM Vid straffkast i basketboll är kastkurvan en parabel. beskrivas med andragradspolynomet y = 2, 15 + 2, 1 x – 0, 41 x 2 Den kan

Terminologi y = 2, 15 + 2, 1 x – 2 0, 41 x +2, 15 är en konstantterm +2, 1 x och -0, 41 x 2 är variabeltermer talen +2, 1 och -0, 41 kallas koefficienter y innehåller värdet på polynomet (uttrycket)

SE M FO R EL BL AD ET ! Potenslagarna

Definitioner ETT GENOM

Definitioner

Lagar för kvadratrötter

Andragradsekvationer Lösningsformeln X= Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

Symmetrilinje Andragradsekvationer Minimipunkt

Andragradspolynom a och b är polynomets nollställen

Andragradspolynom

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Andragradspolynom Nollställen

Andragradspolynom Funktionen heter:

Andragradspolynom Vad heter denna funktion?

Räkning med polynom (8 + 2 x) + (3 – 4 x) = 8 + 2 x +3 – 4 x = 11 – 2 x (8 + 2 x) – (+3 – 4 x) = 8 + 2 x – 3 + 4 x = 5 + 6 x ARBETA NEDÅT!

Kvadreringsreglerna 1: a kvadreringsregeln 2 2 (a + b) = a + 2 ab + 2 b 2: a kvadreringsregeln (a - 2 b) = 2 a - 2 ab + 2 b

Konjugatregeln (a + b)(a - b) = 2 a (2 x + 3)(2 x - 3) = 2 (2 x) 2 – 3 = 2 4 x – 2 b 2 4 x -9 – 9

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

1. 2 Rationella uttryck 33

Faktorisera Skriv om följande tal och uttryck så att det blir en multiplikation i stället

TALMÄNGDER

Rationella uttryck

Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3

Rationella uttryck För vilka variabelvärden är uttrycket inte definierat? Svar: Ej definierat för x = -2 och x = -3 Testa!

Förlängning

Förkortning

Enklaste form

Förlängning, exempel

Enklaste form, exempel

Enklaste form, exempel Hur vet man att det är just talet 10 man skall förlänga med?

Varning!! VARFÖR!

Varning!!

Bryt ut (-1)

Bryt ut -1

1. 3 Funktioner 53

Funktioner

Funktioner VÄRDEMÄNGD DEFINITIONSMÄNGD

Räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation m=1

Räta linjens ekvation m=6

Räta linjens ekvation

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Buskar på rad

Andragradsekvationer 0 0 Inget nollställe 0 Ett nollställe (dubbelrot) Två nollställen NOLLSTÄLLE ÄR DETSAMMA SOM SKÄRNINGSPUNKT MED X-AXELN

Andragradsekvationer NOLLSTÄLLEN

Andragradsekvationer Lösningsformeln X= Halva koefficienten för x med ombytt tecken Kvadraten på halva koefficienten för x Konstanta termen med ombytt tecken SKRIV DETTA MED DINA EGNA ORD!

Symmetrilinje Andragradsekvationer Minimipunkt

DESMOS Klicka på bilden för att gå till DESMOS

Logaritmer ” 2 är 10 -logaritmen för 100”

Logaritmer ” 3 är 10 -logaritmen för 1000”

Logaritmer ”x är 10 -logaritmen för 7” ”x är 8 -logaritmen för 5”

Logaritmer Enligt räknaren…

Logaritmer (1) lg(3× 4) = 1, 07918124605 [test] --- lg(3)+lg(4) = 1, 07918124605 (2) lg(4/3) = 0, 124938736608 --[test] lg(4)-lg(3) = 0, 124938736608 (3) lg(3^4) = 1, 90848501888 --- 4×lg(3) = 1, 90848501888 [test]

Logariter – ett exempel

Logariter – ett exempel På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1, 45598364109

Logariter – samma sak?

Logariter – NEJ!

Exponetialfunktioner & potensfunktioner

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i år

Potensfunktioner C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i Uppgift: år kr till 3, 2 miljoner kr Värdet på en villa ökade från 2, 4 miljoner under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till får då: x och Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5, 9 % per år.

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i år

Exponentialfunktioner C är ”startvärde” a är förändringsfaktor x kan exempelvis vara tid i Fråga: En stad har folkmängden 50 000 invånare. år Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur lång tid tar det till dess att folkmängden är 60 000? Lösning: Svar: Efter c: a 9 år är folkmängden 60 000

Exponentialfunktioner

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Vilken är exponentialfunktionen? Jag hittar två punkter Exponentialfunktion Insättning av (0, 5) ger:

Vilken är exponentialfunktionen? Exponentialfunktion Insättning av (1, 4) ger: Den sökta exponentialfunktion:

Vilken är exponentialfunktionen? Vad vet vi om a?

Folkmängd Fakta › Folkmängden ökar med 5 % varje år. › Första året ökar folkmängden med 750 personer. Uppgift › Hur stor är folkmängden om 10 år?

Folkmängd från början: Folkmängd om 10 år:

Sätt namn på grafen

Kan du det här? 1 (s. 64)

VAD HETER FUNKTIONEN?

VAD HETER FUNKTIONEN? Men detta stämmer ju inte! Vad göra…? Testa!! [ Länk till DESMOS ]

VAD HETER FUNKTIONERNA?

Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i Uppgift: år kr till 3, 2 miljoner kr Värdet på en villa ökade från 2, 4 miljoner under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till får då: x och

Befolkningsproblem C är ”startvärde” x är förändringsfaktor a kan exempelvis vara tid i Uppgift: år kr till 3, 2 miljoner kr Värdet på en villa ökade från 2, 4 miljoner under en femårsperiod. Vilken är den genomsnittliga årliga procentuella värdeökningen? Lösning: Vi sätter den årliga förändringsfaktorn till får då: x och På räknaren: (3, 2/2, 4)^(1/5) = 1, 05922384105… Svar: Värdet ökade med i genomsnitt 5, 9 % per år.

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122 000 invånare och år 2000 fanns det 199 911 invånare i staden. Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare? N E D U D R ? A E R R G A A N L K R RÄ U H IN ID R Ä V

Befolkningsproblem Invånarantalet i en stad ökar exponentiellt. År 1980 fanns det 122000 invånare och år 2000 fanns det 199911 invånare i staden. Vi antar att den procentuella ökningen är densamma varje år. Vilken är den årliga procentuella ökningen? Om denna ökning fortsätter – Hur många bor det i staden i år? Om denna ökning fortsätter – När kommer staden att ha en halv miljon invånare?

ATT KUNNA TILL PROV 1 › ATT KUNNA TILL PROV 1