Kap 06 Diskrete stokastiske variable Diskrete stokastiske variabler

Kap 06 Diskrete stokastiske variable

Diskrete stokastiske variabler En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet tilordner et tall X(u). ui R

Sannsynlighetsfordeling Verdimengden VX til en stokastisk variabel X er mengden av de verdier X kan anta. En samlet oppstilling over verdiene i VX med tilhørende sannsynligheter P(X=x) kalles sannsynlighetsfordelingen eller punktsannsynligheten til X. (X=x) = {u| X(u) = x}

Sannsynlighetsfordeling - To myntkast = {MM, MK, KM, KK} X(u) : 0 1 1 2 Antall kron VX = { 0, P(X=x) : 1/4 1, 1/2 2 } 1/4 P KM MM 1/2 KK MK 0 1/4 1 2 R 0 1 2 R

Sannsynlighetsfordeling - To terningkast VX = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66 } = {2, 3, 4, …, 12} P 6/36 3/36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R

Fordelingsfunksjon Den kumulative fordelingsfunksjonen eller bare fordelingsfunksjonen til en stokastisk variabel X er definert ved:

Fordelingsfunksjon - To myntkast P 1/2 1/4 0 1 2 R 1 F 1/2

Fordelingsfunksjon - To Terningkast P 6 3 0 F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R 1 1/2 0

Forventning P X = : : { u 1 , P(u 1) X(u 1) u 2 , P(u 2) X(u 2) …, un, } … P(un) … X(un) Forventningen til en stokastisk variabel X er definert ved: Def

Gjennomsnitt i det lange løp Forventning n X = : : { u 1 , n(u 1) X(u 1) u 2 , n(u 2) X(u 2) …, un, } … n(un) … X(un)

Regneregler forventning - Bevis

Forventning - To myntkast = {MM, MK, KM, KK} X(u) : 0 1 1 2 Antall kron P(u): 1/4 1/4 VX = { 0, P(X=x) : 1/4 Forventet antall kron ved kast med to mynter vil i det lange løp være lik 1. 1, 1/2 2 } 1/4

Forventning - Ett terningkast Forventet sum antall øyne ved kast med en terninger vil i det lange løp være lik 7/2.

Forventning - To terningkast Forventet sum antall øyne ved kast med to terninger vil i det lange løp være lik 7.

Forventning - Tombola = {1 , 2 , 3 , …, N} X(u) : v 1, v 2, v 3, …, v. N Verdien til hvert enkelt lodd P(u): 1/N 1/N Forventet verdi er lik gjennomsnittlig verdi av loddene i tombolaen.

Forventning - Ett myntkast Ventetid inntil første kron = {K , MMK , MMMK, … } N(u) : 1 , 2 , 3 , 4 , … Ventetid inntil første kron Forventet antall kast med en mynt inntil første kron er lik 2

Forventning - Spill 1 Ett kast med en mynt Innsats : kr 10 pr kast Kron : Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt : Taper innsatsen = {K , M} P(u) : 1/2 , 1/2 G(u) : 10 -10 x = { -10, P(G=x) : 1/2 10 } 1/2 Et spill hvor forventet gevinst er lik 0 kalles et rettferdig spill

Forventning - Spill 2 Kast med en terning Innsats : kr a 6 : Utbetaling kr 10 5 : Utbetaling kr 5 1, 2, 3, 4 : Ingen utbetaling Bestem a slik spillet skal balansere i det lange løp = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} P(u) : 1/6 1/6 1/6 G(u) : 0 0 5 10 x = { 0, P(G=x) : 4/6 5, 1/6 10 } 1/6

Forventning - Spill 3 Kast med en mynt inntil kron, maks 3 ganger. Innsats a. Kron : Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt : Taper innsatsen Spill 1 : Innsatsen er kr 10 i hver omgang Spill 2 : Innsatsen er kr 10 i første omgang, men dobles for hver ny omgang. = {K , MK , P(u) : 1/2 1/4 G 1(u) : 10 0 G 2(u) : 10 10 MMK , 1/8 -10 10 MMM} 1/8 -30 -70 x 1 = { -30, -10, 0, 10 } P(G 1=x 1): 1/8 1/4 1/2 x 2 = { -70, 10 } P(G 2=x 2): 1/8 7/8

Regneregler forventning

Regneregler forventning - Bevis 2

Regneregler forventning - Bevis 3

Forventning - Tre myntkast = { MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK } x: P(u): 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 Spill 1 : Gevinst Y = 2 X + 1 Spill 2 : Gevinst Z = X 2 Forventet gevinst: Antall kron

Varians / Standardavvik

Regneregler for varians

Regneregler for varians - Bevis

Varians - To terningkast

Forventning/Varians - Uavhengige variabler Vi skal bestemme forventning og varians til gjennomsnittet av n uavhengige stokastiske variabler som alle har forventning og varians 2.

Varians Bevis: Tsebysjevs ulikhet

Standardisert stokastisk variabel Definisjon Regneregler

END