Kap 02 Kombinatorikk 1 Multiplikasjonsformel for 2 trinnsforsk

Kap 02 Kombinatorikk 1

Multiplikasjonsformel for 2 -trinnsforsøk Av 2 grupper på henholdsvis m 1 og m 2 enheter kan det dannes m 1·m 2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe. m 1·m 2 m 1 A B m 1=4 C m 2=2 m 1·m 2 = 4 · 2 = 8 2

Multiplikasjonsformel for n-trinnsforsøk Av n grupper på henholdsvis m 1, m 2, m 3, …, mn enheter kan det dannes m 1·m 2 ·m 3 · · mn forskjellige kombinasjoner av en enhet fra hver gruppe. m 1 . . . m 2 A B m 1=4 mn C m 2=2 m 1·m 2 ·m 3 · · · mn D m 3=3 m 1·m 2 ·m 3 = 4 · 2 · 3 = 24 3

Multiplikasjonsformel for 3 -trinnsforsøk c 1 C B c 2 b 1 c 3 b 1 a 2 A c 3 b 2 a 3 c 3 b 1 a 4 b 1 a 1 b 1 c 2 a 1 b 1 c 3 c 2 c 1 7 8 9 a 2 b 1 c 1 a 2 b 1 c 2 a 2 b 1 c 3 c 2 c 1 c 2 c 3 b 2 1 2 3 c 1 b 2 c 3 a 1 D 13 14 15 a 3 b 1 c 1 a 3 b 1 c 2 a 3 b 1 c 3 19 20 21 a 4 b 1 c 2 a 4 b 1 c 3 c 1 c 2 c 3 c 1 b 2 c 3 c 2 4 5 6 a 1 b 2 c 1 a 1 b 2 c 2 a 1 b 2 c 3 10 11 12 a 2 b 2 c 1 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 3 16 17 18 a 3 b 2 c 1 a 3 b 2 c 2 a 3 b 2 c 3 22 a 4 b 2 c 1 23 24 a 4 b 2 c 42 a 4 b 2 c 3

Multiplikasjonsformel - Eksempel Nilsen skal reise fra byen A via byen B til byen C. Fra A til B finnes 4 reisemåter: Bil, tog, fly, båt. Fra B til C finnes 2 reisemåter: Bil, tog. Hvor mange ulike reisemåter finnes fra A via B til C? Svar: 4 x 2 = 8 De 8 reisemåtene er: Fra A til B Fra B til C ----------------1 Bil 2 Bil Tog 3 Tog Bil 4 Tog 5 Fly Bil 6 Fly Tog 7 Båt Bil 8 Båt Tog ----------------- 5

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet Ikke. Ordnet 6

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Bevis Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet Følger av multiplikasjonssetningen. Første element kan velges på n måter, andre element kan velges på n-1 måter, osv. Følger deretter av multiplikasjonssetningen. Ikke. Ordnet Entydig bestemt ut fra hvor mange ganger (r 1, r 2, …, rn) hvert element er valgt ut. ri = s Resultatet er antall måter de n-1 antall skilleveggene mellom ulike elementer kan velges mellom s+n-1 posisjoner. Samme som ordnet utvalg uten tilbakelegging, men må nå dele på s! siden de s! ulike måtene s elementer kan ordnes på nå skal betraktes som like. 7

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Tips Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har betydning - Et element kan velges høyst en gang Ikke. Ordnet - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges flere ganger - Rekkefølgen har ingen betydning - Et element kan velges høyst en gang 8

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-d Med tilbakelegging ={ Ordnet ={ Ikke. Ordnet aa ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad bd cd dd aa ab bb ac bc cc ad bd cd dd Uten tilbakelegging ={ } ab ba ca da cb db ab ac bc dc ac bc ad bd cd } } 9

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks II: Med tilbakelegging Ordnet - Tipperekke - Nummerskilt Ikke. Ordnet - Måltid Uten tilbakelegging - Verv - Permutasjon - Stafettlag - Inndeling i 2 grupper/ Delegasjon - Rekkefølge av 2 typer objekter av innbyrdes identiske objekter - Lottorekke 10

Ordnet med tilbakelegging - Bit Et bit er et tegn som enten er 0 eller 1. Hvor mange 0 -1 kombinasjoner kan vi lage av 3 bit? n=2 s=3 0 1 : Populasjonen består 2 tegn 0 og 1. : En 0 -1 kombinasjon skal bestå av 3 tegn. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tegnene har betydning (001 er ulik 010). Med tilbakelegging : Et bit kan velges mer enn en gang (flere av bit’ene kan være like). 000 001 010 011 100 101 110 111 11

Ordnet med tilbakelegging - Tipperekke Hvor mange enkeltrekker kan lages i tipping? B H U n=3 s = 12 : Populasjonen består 3 tegn H, U og B. : En tipperekke består av 12 tegn. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tippe-tegnene i en tipperekke har betydning (Rekken HUUB… er ulik rekken BUHU…). Med tilbakelegging : Et tippetegn kan velges mer enn en gang, (flere kamper kan ha samme tippetegn). 12

Ordnet med tilbakelegging - Idrett En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person kan delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? n=3 s=2 : Populasjonen består 3 elementer (personer). : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). : En person kan delta i mer enn en øvelse. Med tilbakelegging aa ab ac ba bb bc abc ca cb cc 13

Ordnet uten tilbakelegging - Idrett En friidrettsklubb består av 3 medemmer. 1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person skal ikke delta i begge øvelsene. På hvor mange måter kan dette gjøres? abc n=3 s=2 : Populasjonen består 3 elementer (personer). : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde). Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde). : En person skal ikke delta i mer enn en øvelse. Uten tilbakelegging ab ac ba bc ca cb 14

Ordnet uten tilbakelegging - Verv En forening består av 10 personer. 3 personer skal velges til styrevervene formann, nestformann og sekretær. På hvor mange måter kan dette gjøres? abcde f ghi j n = 10 s=3 : Populasjonen består 10 elementer (personer). : Et styre på 3 skal velges. Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har betydning (ulike verv). : En person kan ikke velges mer enn en gang til det samme styret. Uten tilbakelegging 15

Ordnet uten tilbakelegging - Permutasjon En gruppe består av 3 personer. På hvor mange måter kan disse stilles etter hverandre i en kø? abc n=3 s=3 : Populasjonen består 3 elementer (personer). : Alle personene skal velges for å plasseres i køen. Ordnet utvalg Uten tilbakelegging : Rekkefølgen av personene har betydning. : En person kan ikke være plassert mer enn ett sted ad gangen i køen. abc acb bac bca cab cba 16

Ikke-ordnet med tilbakelegging - Mat En familie på 3 medlemmer går ut for å spise og kan velge mellom 2 retter, pølse eller chips. Hvor mange sammensetninger kan vi ha av disse rettene (eks: 3 pølser, 2 pølser og 1 chips, …)? Pølse p chips c n=2 s=3 : Populasjonen består 2 elementer (pølse, chips). : 3 retter skal velges (en til hvert familiemedlem). Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av retter har ingen betydning. : En rett kan velges av flere personer. Med tilbakelegging ppp ppc pcc ccc dvs 3 pølser dvs 2 pølser og 1 chips dvs 1 pølse og 2 chips dvs 3 chips 17

Ikke-ordnet uten tilbakelegging - Delegasjon Inndeling i 2 grupper En forening består av 10 personer. En delegasjon på 3 personer skal velges. På hvor mange måter kan dette gjøres? abcde f ghi j n = 10 s=3 : Populasjonen består 10 elementer (personer). : En delegasjon på 3 skal velges. Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene har ingen betydning. : En person kan ikke velges mer enn en gang til den samme delegasjonen. Uten tilbakelegging 18

Ikke-ordnet uten tilbakelegging Rekkefølge av 2 typer objekter I en kasse ligger 10 kuler 3 røde og 7 hvite. Røde og hvite kuler er innbyrdes like. På hvor mange måter kan disse kulene plasseres på rekke? rhhhh hrrhh n = 10 s=3 : Populasjonen består 10 elementer (kuler). : En delegasjon på 3 skal velges (eller 7). Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av innbyrdes like kuler har ingen betydning. : En kule kan ikke være plassert på mer enn ett sted ad gangen i rekken. Uten tilbakelegging Eks: r-h-h-h-r-r-h-h Dette er en av rekkefølge-mulighetene og svarer til en av muligheten for å trekke 3 elementer fra en populasjon på 10 elementer (de 3 elementene i posisjon til de 3 r’ene). 19

Ikke-ordnet uten tilbakelegging - Lottorekke En lottokupong består av tallene 1, 2, 3, …, 34. En lottorekke utgjøres av 7 av disse tallene. Hvor mange enkeltrekker kan lages i Lotto? 1 2 3 … … 34 n = 34 s=7 : Populasjonen består 34 elementer (tall). : En lottorekke består av 7 tall. Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av tallene har ingen betydning (2 -3 -5 -7 -8 -20 -29 = 5 -3 -29 -8 -7 -2 -20). : Et tall kan kun velges en gang i en enkelt rekke. Uten tilbakelegging 20

Grupperinger - 2 grupper Trekking av et utvalg (ikke-ordnet uten tilbakelegging) på s elementer fra en populasjon på n elementer kan sees på som å dele populasjonen i 2 grupper: Gruppe nr 1: s 1 = s elementer Gruppe nr 2: s 2 = n-s elementer Antall måter å sette sammen de 2 gruppene på: 21

Grupperinger - 3 grupper En populasjon på n elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s 1 elementer Gruppe nr 2: s 2 elementer Gruppe nr 3: s 3 = n-s 1 -s 2 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på: 22

Grupperinger - r grupper En populasjon på n elementer skal deles i r grupper: Gruppe nr 1: s 1 elementer Gruppe nr 2: s 2 elementer …. . Gruppe nr r: sr = n-s 1 -s 2 -…. . -sr-1 elementer Antall måter å sette sammen de r gruppene på: 23

Grupperinger - Eksempel En populasjon på n = 10 elementer skal deles i 3 grupper: Gruppe nr 1: s 1 = 5 elementer Gruppe nr 2: s 2 = 2 elementer Gruppe nr 3: s 3 = n-s 1 -s 2 = 3 elementer Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på: 24

Binomialkoeffisient - Definisjon n Binomialkoeffisienten ( ) er definert som: k Antall k-delmengder (uordnet uten tilbakelegging) som vi kan ta ut av en n-mengde. 25

Binomialkoeffisient - Egenskaper n Binomialkoeffisienten ( ) oppfyller følgende betingelser: s 26

Binomialkoeffisient - Pascals trekant Benytter relasjonen: = 27

Binomialformel 28

Binomialformel - Bevis 29

END 30

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging. Vi har n elementer. Mellom disse kan vi sette opp n-1 skillevegger. …. . r 1 r 2 rn Når vi trekker ut s elementer (uordnet) er resultatet entydig gitt ved antall forekomster (r 1, r 2, …, rn) av hvert av de n elementene. Her må vi selvfølgelig ha: ri = s. Nye måter å trekke ut s elementer er nå å varierer disse n-1 skilleveggene, men hele tiden under forutsetning av at ri = s. Disse n-1 skilleveggene kan plasseres i (n-1) + (r 1+ r 2 + … + rn) = n-1+s = n+s-1 antall posisjoner. Det endelige svaret får vi derfor ved å beregne antall måter vi kan plassere n-1 skillevegger uordnet uten tilbakelegging i n+s-1 antall posisjoner. Svaret på dette er: Med egenskapene til binomialkoeffisienter kan det vises at dette også er lik: 31

Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis I 32

Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis II 33

Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis III 34

Binomialkoeffisient - Egenskaper Bevis IV 35

Binomialkoeffisient - Formelutledning 36