KALKULUS I Sistim Bilanganfungsi Dosen Pengampu GUNAWAN ST

KALKULUS I Sistim Bilangan/fungsi Dosen Pengampu : GUNAWAN. ST. , MT-STMIKBPN 1

SISTEM BILANGAN 1. Pembagian bilangan Bilangan 2; -2; 1, 1; -1, 1 Nyata + dan - Khayal Akar negatip Rasional Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0, 1492525 Bulat Irrasional √(-4) = ± 2 Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0, 14925253993999… π, ℮ 1; 4; 8; termasuk 0 Pecahan Gunawan. ST. , MT ½; 2/7 dsb 2

2. Tanda pertidaksamaan • Tanda < melambangkan “lebih kecil dari” • Tanda > melambangkan “lebih besar dari” • Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan” • Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan” 3. Sifat • Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b • Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x. a ≤ x. b • Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x. a ≥ x. b • Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d Gunawan. ST. , MT 3

Fungsi Silabus: a. Pengertian b. Macam-macam fungsi c. Fungsi Linear d. Fungsi non Linear Gunawan. ST. , MT 4

Pengertian Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y) Dengan denah Venn sbb: X Y ◦ • Hubungan 1 - 1 Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR Gunawan. ST. , MT 5

Perhatikan juga contoh berikut: Y y = f(x) • x 1 y • 1 • • x 2 • xn 0 x 1 x 2 • y 1 • yn X X Y Gambar di atas, nilai x 1 dan x 2 dalam X, dihubungkan dengan nilai y 1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x) Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y. Gunawan. ST. , MT 6

Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll. Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x y aturan ditransformasi simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain Gunawan. ST. , MT 7

Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas) y akibat dari fungsi (variabel terikat) Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf). Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y } Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7 Q. Perusahaan memiliki kapasitas limit sebesar 100 unit per hari. Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya? Jawaban: Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 } Gunawan. ST. , MT Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 } Dapat Anda jelaskan ? 8

Macam-macam fungsi a. Fungsi Polinomial Bentuk umumnya : y = a + bx + cx 2 +. . . + pxn y y Slope = a 1 x a 0 Konstan, jika n = 0 Linear, jika n = 1 y=a y = a + bx case c < 0 x a 0 Kuadratik, jika n = 2 Y = c + bx + ax 2 Gunawan. ST. , MT 9

y • Titik maksimum Titik belok Fungsi kubik • y = d + cx + bx 2 + ax 3 x y Titik maksimu m Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx 2 + bx 3 + ax 4 Titik minimum x Gunawan. ST. , MT 10

b. Fungsi Rasional Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola. y Hiperbola: y = (a/x), a > 0 x 0 c. Fungsi eksponensial dan logaritma y y Eksponensial y = bx , b>1 0 x Gunawan. ST. , MT 0 Logaritma y = logbx x 11

Fungsi linear • Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi • Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi – misalnya: - antara permintaan dan harga - invests dan tingkat bunga - konsumsi dan pendapatan nasional, dll • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1. Gunawan. ST. , MT 12

• Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . + a nxn • Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx bentuk umum Contoh: y = 4 + 2 x a = 4 b=2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal y b = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis. Gunawan. ST. , MT 13

y y= x +b a a a ∆y = a ∆x a 0 = penggal garis y = ax + b, pada sumbu y yaitu nilai y saat x = 0 b 0 1 2 3 4 5 x a = lereng garis atau ∆y/Δx pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a Gunawan. ST. , MT 14

• Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan. • Latihan-1 y = 4 + 2 x Penggan garis pada sumbu y = …………… Lereng garis : x 0 y ∆x ∆y - - ∆y/∆x = a - 1 Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0 2 3 4 Gunawan. ST. , MT 15

Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2 x x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a -3 Mendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0 -2 -1 0 1 2 3 4 Gunawan. ST. , MT 16

Kurva (grafik) fungsi • Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena lerengnya sama. • Misalkan y = 36 – 4 x maka a = -4 (∆y/∆x) b = 36 • Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y • Hubungkan kedua titik penggal tersebut • Titik penggal pada sb x, y =. . , x = … atau titik (…, …) Titik penggal pada sb y, x =. . , y = … atau titik (…, …) Gunawan. ST. , MT 17

Grafik: y 36 • (0, 36 ) y = 36 – 4 x 18 (9, 0) 0 x • 9 Grafik dengan lereng negatip Gunawan. ST. , MT 18

• Gambarkan grafik fungsi: • y = 2 + 4 x • Titik penggal dg sb x y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0) Titik penggal dg sb y x = 0, y = 2, (0, 2) • Gambarkan : y y = 2 + 4 x 0 x Grafik dengan lereng positip Gunawan. ST. , MT 19

Fungsi non linear (kuadratik) • Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang sering digunakan dalam analisa ekonomi • Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga merupakan hubungan sebab-akibat • Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2 atau fungsi polinom derajad-2. • Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom: y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . + a nxn • Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a 2 ± 0, yaitu y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 atau sering ditulis: y = ax 2 + bx + c Gunawan. ST. , MT 20

• Contoh - 1: • y = 8 – 2 x – x 2 a = 1 (a < 0) b = -2 c=8 • Contoh - 2: • y = 2 x 2 + 4 x + 6 a = 2 a > 0) b=4 c=2 Menggambar kurva non linear kuadratik a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2 x – x 2 atau 8 – 2 x – x 2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruasnya atau disebut bentuk Gunawan. ST. , MT perkalian dua fungsi yang lebih 21

Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: - x)(4 + x) f(x) = g(x). h(x) - x)(4 + x) = 0 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0) (2 (2 (2 (4 2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) 2 c -b ± √ b 2 – 4 ac x = ---------- - (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8) x = ---------------2(-1) Gunawan. ST. , MT 22

2 ± √ 4 + 32 2± 6 x = -------- = -----2 x 1 = (2 + 6)/(-2) = -4, titik (-4, 0) – 6)/(-2) = 2, titik (2, 0) sama dengan cara faktorisasi. -2 x 2 = (2 Hasilnya b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 – 2 x – x 2, untuk x = 0, y = 8, titik (0, 8) c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari. Gunawan. ST. , MT 23

• Mencari titik maks atau min • Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b 2 – 4 ac x = ----, dan y = -----2 a -4 a c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min y = 8 – 2 x – x 2, a < 0 berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1 ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9. titik maks (-1, 9). Gunawan. ST. , MT 24

• Gambarkan kurvanya: y 0 Gunawan. ST. , MT x 25

• Latihan: Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2: y = 2 x 2 + 4 x + 6 Gunawan. ST. , MT 26

Lanjutan: Gunawan. ST. , MT 27

• Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit b 1 + a 1 x + b 2 = y 1 a 2 x = y 2 Berimpit: Jika dan hanya jika a 1 = a 2 b 1 = b 2 b. Sejajar y 1 = + a 1 x y 2 = b 1 Sejajar: Jika dan hanya jika b 2 x+ a 2 a 1 = a 2 b 1 ± b 2 Gunawan. ST. , MT 28

c. Berpotongan y Ttk pot y • 2 y 1 = =a 2 x + a 1 x Berpotongan: jika dan hanya jika b 1 a 1 ± a 2 b 1 ± b 2 +b 2 x Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan. y a<0 • Ttk pot + b 1 x a 1 = y 1 y 2 = ax 2 + bx + c Ttk pot • a>0 x Gunawan. ST. , MT 29

• Mencari titik potong dua garis/persamaan • Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut • Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong • Cari titik potong fungsi x = 15 – 2 y dan 3 y = x +3 x = 15 – 2 y y = -(1/2)x + 15/2 3 y = x +3 y = (1/3)x + 1 -(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10 Gunawan. ST. , MT 30

• Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada salah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10) Gunawan. ST. , MT 31

• Mencari titik potong dua garis/persamaan (1) 2 x + 3 y = 21 dan (2) x + 4 y = 23 Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut. • Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x) (1) 2 x + 3 y = 21 – 2 x atau y = 7 – (2/3)x (2) x + 4 y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x Titik potong kedua garis: 7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12. y = 11/4 (12, 11/4) Gunawan. ST. , MT 32