Kalkulus 2 Pertemuan ke 2 Aljabar linear Taufal

Kalkulus 2 Pertemuan ke, 2 Aljabar linear Taufal hidayat MT. email : taufal. hidayat@itp. ac. id ; blog : catatansangpendidik. wordpress. com 11/30/2020 Catatansangpendidik. wordpress. com 1

Pembahasan • Pengantar Sistem Persamaan Linear - Sistem Linear • Penyelesaian persamaan linear (umum) Metode Eliminasi Metode Substitusi Catatansangpendidik. wordpress. com

Pendahuluan • Kajian sistem persamaan linear dan penyelesaiannya, merupakan topik utama dalam aljabar linear. • Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa terminologi dasar dan mendiskusikan metode penyelesaian umum dari persamaan linear tersebut • Akan dibahas pula mengenai kelemahan dan keunggulan sistem penyelesaian secara umum tersebut Catatansangpendidik. wordpress. com

Pengantar Sistem Persamaan Linear Catatansangpendidik. wordpress. com

Persamaan Linear • Sebuah garis dalam bidang xy dapat disajikan secara aljabar dalam bentuk : a 1 x + a 2 y = b • Secara umum suatu persamaan linear dalam n peubah adalah : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ……. + an xn = c dengan a 1, a 2, a 3, …. , an dan b konstanta real. • Contoh: x + 3 y = 7 x 1 -2 x 2 -3 x 3+x 4=7 x 1 + x 2 + …. + xn = 1 Catatansangpendidik. wordpress. com

Penyelesaian persamaan Linear • Dapat diselesaikan dengan menggunakan model permisalan • Contoh : 4 x-2 y=1 dapat diselesaikan dengan menetapkan sembarang nilai x dan diperoleh nilai y, misal : x = 2 ; y = 7/2 x 1 – 4 x 2 + 7 x 3 = 5 dapat diselesaikan dengan menetapkan nilai sembarang untuk 2 peubah terserah, sehingga diperoleh nilai peubah yang lain misal : x 1 = 2 ; x 2 = 1 ; x 3 = 1 Catatansangpendidik. wordpress. com

Sistem Linear Catatansangpendidik. wordpress. com

Pengertian sistem linear • Himpunan terhingga persamaan linear dalam peubah x 1, x 2, x 3, … , xn disebut sistem linear. Sederet angka s 1, s 2, s 3, …, sn disebut suatu penyelesaian sistem tersebut. • Misal sistem linear : 4 x 1 – x 2 + 3 x 3 = -1 3 x 1 + x 2 + 9 x 3 = -4 memiliki penyelesaian : x 1 = 1 ; x 2 = 2 ; x 3 = -1 karena nilai tersebut memenuhi kedua persamaan linear tersebut Catatansangpendidik. wordpress. com

Sebuah persamaan dengan sebuah variabel yang tidak diketahui Catatansangpendidik. wordpress. com

Sistem dengan dua persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui Ada banyak cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Berikut adalah satu cara yang umum digunakan (eliminasi): Langkah 1: Catatansangpendidik. wordpress. com

• Langkah 2 : • Langkah 3 : Catatansangpendidik. wordpress. com

• Langkah 4 : setelah penyelesaian didapatkan, selanjutnya dapat dilihat kebenaran dari penyelesaian yang telah didapat dengan mensubstitusikan nilai x 1 dan x 2 ke dalam persamaan. Catatansangpendidik. wordpress. com

soal • Selesaikan sistem persamaan linea berikut : • 2 x + 3 y = 10 4 x + 4 y = 2 • • Px+py=4 3 x + 4 y = 6 Catatansangpendidik. wordpress. com

Intepretasi Aljabar • Intepretasi aljabar ekivalen dengan metode substitusi • Langkah-langkah penyelesaian untuk kasus soal yang sama : Catatansangpendidik. wordpress. com

Interpretasi Geometris • Pada langkah ini, digunakan metode untuk mencari nilai titik potong dari kedua persamaan garis lurus tersebut. • 3 x 1+4 x 2=2 Titik potong sb x 1 = (2/3 , 0) Titik potong sb x 2 = (0, 1/2) • x 1+2 x 2=0 Titik potong sb x 1 = (0, 0) Titik potong sb x 2 = (0, 0) Catatansangpendidik. wordpress. com

Metode cramer Misal diketahui : • a 11 x 1 + a 12 x 2 =b 1 • a 21 x 2 + a 22 x 2=b 2 u/ menghitung akar-akar persamaan: Catatansangpendidik. wordpress. com

Contoh soal: 3 x+2 y=18 -x+2 y=2 Catatansangpendidik. wordpress. com

Sebuah sistem dengan tiga persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui • Prosedur yang sama dengan dua peubah juga dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan linear 3 peubah, yaitu dengan metode eliminasi, substitusi dan geometris. • Tidak semua sistem persamaan dapat diselesaikan dengan nilai yang benar • Selesaikan persamaan berikut : Catatansangpendidik. wordpress. com

Metode elimminasi Catatansangpendidik. wordpress. com

Catatansangpendidik. wordpress. com

Interpretasi Aljabar Catatansangpendidik. wordpress. com

Interpretasi Geometri Catatansangpendidik. wordpress. com

Keunggulan dan Kelemahan • Metode eliminasi, substitusi, cramer dan geometri secara umum adalah metode yang mudah untuk digunakan dalam penyelesaian masalah sistem persamaan linear • Untuk metode cramer hanya digunakan pada matrik yang memiliki dua nilai peubah. • Tetapi sistem tersebut memiliki kelemahan, hal ini terjadi apabila ingin dicari penyelesaian dalam sistem persamaan dengan n variabel dengan n persamaan yang tidak diketahui sama sekali nilai peubahnya Catatansangpendidik. wordpress. com

Latihan Hitunglah akar-akar persamaan dibawah ini dengan metode eliminasi, substitusi, geometri • Px+py+2 z=4 2 x +3 y +4 z =6 -3 x +3 y -6 z =12 Catatansangpendidik. wordpress. com

Latihan 2 • Selesaikan persamaan linear dibawah ini dengan metode eliminasi, substitusi, geometri dan cramer ax 1 -bx 2=24 -2 bx 1+ax 2=35 Gunakan NRP 2 digit terakhir !!! Untuk 0 pertama diganti 7 Untuk 0 kedua diganti 9 Catatansangpendidik. wordpress. com

Summary § Persamaan Linear tidak melibatkan hasil kali atau akar peubah. Semua peubah hanya muncul sekali dengan pangkat satu, dan tidak muncul sebagai sebuah fungsi dari trigonometri, logaritma maupun eksponensial § Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian §Metode eliminasi dan substitusi serta geometri tidak cocok digunakan untuk n persamaan dengan n peubah Catatansangpendidik. wordpress. com

Pembahasan • Metode Gauss - Tujuan dan manfaat Metode Gauss - Bentuk Metode Gauss - Contoh kasus penyelesaian dengan metode Gauss Catatansangpendidik. wordpress. com

Pendahuluan • Pada pertemuan ini akan dibahas suatu prosedur sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. • Konsepnya didasarkan pada gagasan mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut bisa diselesaikan dalam bentuk substitusi Catatansangpendidik. wordpress. com

Tujuan ‘n Manfaat • Ketika memodelkan permasalahan teknik, seringkali berhadapan dengan persamaan linear yang harus diselesaikan yang melibatkan banyak variabel yang tidak diketahui • Perlu cara sistematis untuk menyelesaikannya, diantaranya dengan menggunakan metode eliminasi gauss • Eliminasi ini dapat digunakan pada sistem persamaan berskala kecil maupun skala besar Catatansangpendidik. wordpress. com

Bentuk Metode Gauss • Pada metode ini yang perlu dilakukan adalah melakukan operasi pada koefisien yang ada dalam persamaan, dan hasil akhirnya adalah sistem persamaan ekivalen yang selanjutnya dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode substitusi Catatansangpendidik. wordpress. com

Contoh Kasus (1) • Cari nilai dari I 1, I 2, dan I 3 dengan menggunakan eliminasi Gauss ! Catatansangpendidik. wordpress. com

Penyelesaian Kasus (1) Catatansangpendidik. wordpress. com

Contoh Kasus (2) • Selesaikan sistem persamaan berikut : • Dimulai dengan menuliskan bentuk augmented matriknya : Catatansangpendidik. wordpress. com

• Kemudian lakukan prosedur eliminasi Gauss dengan menggunakan bentuk augmented matrik H = [A b] • Langkah 1 : Hilangkan kolom pertama di bawah diagonal Gantikan baris 2 dengan baris 2 – 2. baris 1 : Dan sekarang gantikan baris 3 dengan baris 3 – baris 1: Catatansangpendidik. wordpress. com

• Langkah 2: Hilangkan kolom kedua dibawah diagonal Gantikan baris 3 dengan baris 3 – 3. baris 2: • Langkah 3: Gunakan substitusi untuk mendapatkan penyelesaian Catatansangpendidik. wordpress. com

Kesimpulan Catatansangpendidik. wordpress. com

Algoritma dasar metode Gauss • Secara umum sistem persamaan linear: 1. Ubahlah sistem persamaan tersebut menjadi matrik augment (berukuran n x (n+1) ) Catatansangpendidik. wordpress. com

3. Lakukan proses triangularisasi, sehingga menjadi bentuk: Catatansangpendidik. wordpress. com

• Langkah terakhir : lakukan proses substitusi mundur untuk memperoleh nilai x 1, x 2, x 3, …. . , xn Contoh: Selesaikan sistem persamaan linear berikut: Sistem ini adalah sistem yang determined. Untuk menyelesaikannya buat augmented matriknya. Catatansangpendidik. wordpress. com

Catatansangpendidik. wordpress. com

Catatansangpendidik. wordpress. com

Latihan • Selesaikan sistem persamaan berikut: 1. 2. Catatansangpendidik. wordpress. com

Operasi Baris Elementer Catatansangpendidik. wordpress. com

Summary § Ketika jumlah persamaan kurang dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang underdetermined §Ketika jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang overdetermined Catatansangpendidik. wordpress. com

Pembahasan • - Metode Eliminasi Gauss Jordan Pengertian Metode Gauss Jordan Konsep Gauss Jordan Contoh Kasus Penyelesaian Catatansangpendidik. wordpress. com

Pendahuluan • Karena adanya kelemahan pada model Gauss, seorang penemu bernama Jordan, membuat model baru yang dinamakan Metode Eliminasi Gauss Jordan • Pada model ini tidak lagi digunakan model substitusi, murni menggunakan reduksi baris Catatansangpendidik. wordpress. com

Pengertian Metode Gauss-Jordan merupakan suatu variasi dari Eliminasi Gauss dan dalam bahasa analitik biasanya lebih dikenal dengan nama reduksi baris. Perbedaan utamanya dengan eliminasi Gauss adalah bila sebuah yang tidak diketahui dieliminasikan dengan metode Gauss. Jordan maka ia deliminasikan dari setiap persamaan lainnya. Ini merupakan bentuk matrik kesatuan, padahal eliminasi Gauss merupakan matrik triangular. Catatansangpendidik. wordpress. com

DASAR TEORI • Penambahan Matrik sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal • Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d 1, d 2, d 3, …, dn dan atau x 1 = d 1, x 2 = d 2, x 3=d 3, …. , xn=dn Catatansangpendidik. wordpress. com

DASAR TEORI • Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris. Catatansangpendidik. wordpress. com

• Satu cara yang gamblang untuk menghitung inversi ialah dengan menggunakan metode Gauss. Jordan. Untuk melakukan ini, matriks koefisien diperluas dengan sebuah matriks kesatuan. Kemudian metode Gauss Jordan diterapkan agar mengurangi matriks koefisien menjadi sebuah matriks kesatuan. Jika ini telah selesai, ruas kanan matriks yang diperluas akan mengandung inversi. Catatansangpendidik. wordpress. com

Contoh 2 x+y+4 z=16 3 x+2 y+z=10 X+3 y+3 z=16 Catatansangpendidik. wordpress. com

Latihan W+2 x + 2 y + 4 z = 5 w-x-y-3 z=-2 2 w+3 x+y+z=0 -2 w+x+3 y-2 z=1 Catatansangpendidik. wordpress. com

Summary Penyelesaian sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan lebih dari 1 metode, dan untuk semua metode tersebut dihasilkan nilai yang sama. BENAR? ! BUKTIKAN!!! Catatansangpendidik. wordpress. com

Daftar Pustaka Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar Linear Catatansangpendidik. wordpress. com

Catatansangpendidik. wordpress. com