JUEGOS de AZAR y de ESTRATEGIA Justo Puerto

JUEGOS de AZAR y de ESTRATEGIA Justo Puerto Albandoz, Francisco R. Fernández García puerto@us. es , fernande@us. es ESTALMAT, sesión 2, 9/11/13, curso 2013 -14

Sevilla 1283 Princeton 1944

La Investigación Operativa ayuda al hombre, usando la matemática, a escoger lo que es más provechoso en las situaciones reales a las que se enfrenta: - Establecimiento de una ruta de autobuses para llevar a los alumnos a sus centros educativos. - Localización de centros de distribución. En estas situaciones se puede controlar el resultado de nuestra elección, dado que todos los factores están a nuestra disposición. Pero en muchas otras situaciones solo podemos controlar parcialmente el resultado, dado que éste depende también de la elección de otras personas: - El precio de los productos energéticos. - Buscar la paz en una zona en conflicto Estas situaciones son las que trata de modelar y estudiar la TEORIA DE JUEGOS.

Pero, ¿Qué quiere decir para un hispano-hablante la palabra JUEGO? Según el diccionario de la R. A. E , juego es la acción o efecto de jugar. ¿Qué quiere decir entonces, según la R. A. E. , jugar? En una primera acepción nos dice Hacer algo con alegría, y con el solo fin de entretenerse o divertirse. Lógicamente esta acepción puede servir para lo que estáis haciendo aquí, y para el estudio de ciertos problemas que habéis considerado Juego del reparto del tesoro Juego de la tableta de chocolate Pero aunque ello es muy “dulce e interesante”, para controlar el precio de un cierto producto, o buscar la paz, debemos encontrar otra acepción. La acepción 11 del diccionario de la R. A. E. nos dice: Intervenir o tomar parte de un negocio.

Ello se aproxima mas a las situaciones estudiadas por la Teoría de Juegos, si consideramos la palabra negocio en un sentido amplio. El primer libro sobre esta materia fue escrito en 1944 por J. von Neumann y O. Morgenstern con el título Teoría de juegos y comportamiento económico. Para los matemáticos, por tanto, juegos son aquellas situaciones en las que el resultado depende de la elección de varias personas.

Nosotros vamos a considerar a dos clases de situaciones: - Juegos de azar - Juegos de estrategia Dedicando cada una de las partes de esta sesión a uno de ellos. Los primeros no son propios de la Teoría de Juegos, pues sus resultados no dependen tanto de las actuaciones de los jugadores, sino del azar. Son propios de la Teoría matemática de las probabilidades. Pero son de un gran interés en el estudio de los productos financieros: Valores de Bolsa, opciones, seguros , fondo de pensiones, . . donde se busca un PRECIO JUSTO. Los segundos son propios de la Teoría de Juegos, y vienen a modelar gran parte de las situaciones económicas y políticas mundiales: Mercado de bienes, competencia entre naciones, precio del crudo, … donde se busca un EQUILIBRIO entre los contendientes.

PRIMERA PARTE: JUEGOS DE AZAR

MONEDAS. i) Lanzamos una moneda 100 veces: esperamos 50 caras y 50 cruces (más o menos). Convirtamos el lanzamiento de una moneda en un juego entre tú y tu vecino: Se lanza una moneda al aire, si sale cara ganas tú y si sale cruz gana tu vecino. - ¿Apostarías una moneda contra otra de tu vecino en dicho juego?

ii) Lanzamos 2 monedas (distintas) sucesivamente, 100 veces: a) esperamos CC 25 veces b) esperamos CX 25 veces c) esperamos XC 25 veces d) esperamos XX 25 veces Lo que equivale a que: a) esperamos doble cara 25 veces b) esperamos cara y cruz 50 veces c) esperamos doble cruz 25 veces SUCESOS ELEMENTALES Convirtamos el lanzamiento de dos monedas en un juego entre tú y tu vecino: Se lanzan la dos moneda al aire, si salen dos caras ganas tú, y si no gana tu vecino. - ¿Apostarías una moneda contra otra de tu vecino en dicho juego? -¿Cuántas monedas debe darte tu vecino por cada una que tú apuestas?

DADOS. ¿Qué ocurre si cambiamos las monedas por dados de seis caras, y nos fijamos en la puntuación total de cada lanzamiento? Comencemos por lanzar dos dados, una vez cada minuto durante seis horas: - ¿Cuántas veces deberían aparecer las diferentes puntuaciones? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 SUCESOS ELEMENTALES 5 6 7 8 9 10 11 12

Considera un dado. - ¿Cómo están dispuestos los números sobre las caras opuestas? A esto se le llamaba en tiempos del rey Alfonso X el Sabio, soçobra. - ¿Qué consecuencia tiene ello sobre las frecuencias que has observado en las puntuaciones? - ¿Cómo apostarías contra tu compañero sobre resultados del juego?

¿Recordáis quien era este rey de vuestros contactos con la historia de España y con la de la ciudad de Sevilla (NODO)? El rey Alfonso X nació en Toledo, el 23 de noviembre de 1221, hijo de Fernando III. Fue rey de Castilla, de León y Andalucía. Murió el 4 de abril de 1284, en el Alcázar, donde treinta años antes había muerto su padre. Alfonso X aprovechó la tradición de la prestigiosa Escuela de Traductores de Toledo, para realizar un conjunto amplio de traducciones. La última de las grandes traducciones ordenadas por Alfonso X fue EL LIBRO DEL ACEDREX, DADOS E TABLAS completado en Sevilla en 1283. Dicho libro se divide en varios libros: - Ajedrez 8 x 8 - Dados, cada uno con seis caras - Tabla Real de 4 x 6 (actual Backgamon) - Ajedrez 12 x 12 - Dados con 8 caras. Dados con 7 caras. Tabla Real de 4 x 7 - Ajedrez en 4, Tabla Real en 4 - Alquerque - Los dos Juegos de Astrología (Astronomía)

Miniaturas de los juegos azar y guirguiesca

Vamos a pasar a analizar uno de los juegos del Libro de los Dados: el juego de Guirguiesca, que comienza en el folio 71 r. Este es un juego que enfrenta a dos jugadores, se desarrolla con dos dados, y que como veremos podemos considerarlo como el origen del juego de dados que vemos en los salones americanos de juego, conocido como Craps. Las reglas del juego de la Guirguiesca pueden describirse del siguiente modo: - Uno de los jugadores, que llamaremos G 1, lanza los dados, y si resulta un número perteneciente al conjunto {2, 3, 11, 12}, que recibe el nombre de conjunto de azar, gana el juego el jugador G 1. - En caso contrario, el número resultante, que pertenece al conjunto {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} denominado conjunto de suerte, se le asigna al otro jugador, G 2, y se denomina número de suerte de dicho jugador, y lo representaremos por S 2. Lanzándose de nuevo los dados. - Si en este segundo lanzamiento resultase un número del conjunto de azar ganaría el jugador G 2, si fuese el número S 2 ganaría el jugador G 1, y si fuese otro número diferente, se le asigna al jugador G 1 como su número de suerte, que representaremos por S 1. Continuando el juego. - Se lanzan los dados hasta la primera vez que aparezca el número S 1, en cuyo caso sería ganador G 1, o aparezca por primera vez S 2, en cuyo caso sería ganador G 2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ¿Creéis que los dos jugadores tienen la misma posibilidad de ganar?

Analizar este juego es un poco complicado, pero fácilmente se pone de manifiesto que el jugador G 1 tiene ventaja. - ¿Qué se os ocurre que introduzcamos en el juego para que sea justo? ¿Recordáis como se puede dividir un pastel entre dos amigos para evitar conflictos y ambos queden satisfechos con sus porciones? Uno de ellos divide el pastel en dos partes y el otro escoge su parte primero En los juegos de azar suele convertirse un juego con ventaja en otro justo sin más que decidir mediante cara o cruz el jugador que inicia el juego. ¿Os acordáis como comienzan los partidos de fútbol?

Pero la cuestión que deseamos que estudiéis es la siguiente: - Dado que el juego ha llegado a la situación en la que se tienen dos números S 1 y S 2 diferentes del conjunto de suerte {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - ¿Cuál es la posibilidad de que gane el jugador G 1? - Si fuese lícito apostar ¿Cómo se debería apostar en cada caso? Lógicamente dependerá de los valores que tomen dichos números, por lo que debes de hacerlo para cualesquiera que sean estos, en el conjunto de suerte. Los resultados podemos escribirlos de modo simplificado, en formato de tabla, usando el concepto de soçobra.

4 ó 10 5 ó 9 6 u 8 7 1/2 3/7 3/8 3/9 5 ó 9 4/7 1/2 4/9 4/10 6 u 8 5/9 1/2 5/11 6/9 6/10 6/11 1/2 4 ó 10 7 Y se obtienen mediante el cociente: CFav. S 1/(CFav. S 1+CFav. S 2)

COMO LO PROMETIDO ES DEUDA, vamos a contaros como se juega al Craps, y veréis como los derechos de dicho juego pueden asignarse al rey Alfonso X. Es un juego de dos jugadores, uno de ellos puede ser la banca, y se juega con dos dados. Las reglas del juego pueden describirse del siguiente modo: - Se le asigna al jugador G 1 siempre el número de suerte S 1=7. -El jugador, que llamaremos G 2, lanza los dados, y si resulta un número perteneciente al conjunto {2, 3, 12}, gana el juego el jugador G 1, y si resulta 11 ó 7, gana el jugador G 2. -En caso contrario, el número resultante {4, 5, 6, 8, 9, 10} se le asigna al jugador G 2, como numero de suerte de dicho jugador, y lo representaremos por S 2. Continuando el juego. - Se lanzan los dados hasta la primera vez que aparezca el número S 1=7, en cuyo caso sería ganador G 1, o aparezca por primera vez S 2, en cuyo caso sería ganador G 2. Con estas reglas la probabilidad de que gane G 1 es aproximadamente igual a 0, 5071, lo que nos da un juego “casi justo”. Pero, la banca siempre tiene ventaja.

Dado que el juego ha llegado a la situación en la que se tienen dos números S 1 y S 2 diferentes, la banca siempre tiene ventaja 7 4 ó 10 5 ó 9 6 u 8 2/3 3/5 6/11 ¿Qué conjunto de puntos debemos darle al jugador G 2 para que estuviera en las mismas condiciones del valor 7 de G 1? LA CONSECUENCIA QUE DEBEMOS OBTENER ES QUE: EN LOS JUEGOS DE AZAR NO DEBEMOS CONSIDERAR TANTO LAS ESTRATEGIAS A EMPLEAR PARA SU DESARROLLO, SINO SÓLO CONSIDERAR “LA JUSTICIA” DE LOS MISMOS.

Juegos engañosos A veces estos juegos de dados se plantean en base a la ignorancia de la gente sobre el algebra del azar: Dos jugadores apuestan sobre el resultado de obtener un seis doble en el lanzamiento de dos dados. El jugador G 1 dice al G 2: “Apuesto una moneda contra otra tuya, si obtienes un seis doble en dieciocho lanzamientos”, ¿Es justo el juego? En una aproximación “burda” puede G 2 razonar: Como hay una posibilidad de obtener dicho resultado de cada treinta y seis veces, tendré la misma posibilidad de obtener dicho resultado como el contrario, si lanzo 18 veces los dados Esto no es así, ya que G 2 debía saber que la posibilidad de no obtener dicho resultado en n lanzamientos es la potencia n-ésima de (35/36) , por lo que esta expresión será ½ cuando el valor de n sea superior a 24 e inferior a 25. Por lo que dicho juego es muy ventajoso para el jugador G 1.

FIN de la PRIMERA PARTE