Journe de rencontre Lions DAlembert Biomcanique Leons de
Journée de rencontre Lions – D’Alembert Biomécanique Leçons de la Nature L’os et le bambou Cécile Baron Institut Jean Le Rond D’Alembert – UMR CNRS 7190 Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 1
FGM, qu’est-ce que c’est ? Functionnally Graded Materials : matériaux à gradient de propriétés. • Matériau hétérogène ou non-homogène ? Une seule phase. • Les propriétés mécaniques et/ou thermiques du matériau varient progressivement selon une direction de l’espace. Cette variation « lente » des propriétés peut être due à une variation de la (micro)structure (porosité) ou de la composition du matériau. Rq : selon l’échelle d’observation, un matériau à hétérogénéité unidirectionnelle peut être un matériau à variation « continue » ou stratifié. • Intérêt des Functionnally Graded Materials : éviter les concentrations de contraintes dues aux interfaces et améliorer les propriétés mécaniques et thermiques des pièces par association de matériau Biomécanique Aéronautique et aérospatiale Automobile 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique Etc. 2
Des milieux biologiques à gradient de propriétés • Les milieux biologiques, après des millions d’années d’évolution présentent des (micro)structures à gradient de propriétés. Les milieux vivants sont des milieux adaptatifs / environnement. Le bambou L’os Mais aussi, le coquillage, les dents, les ailes de certains insectes etc. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 3
Des milieux biologiques à gradient de propriétés 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 4
Hétérogénéité unidirectionnelle • Milieux stratifiés Problème de Thomson-Haskell Solutions analytiques connues pour les couches homogènes+raccords aux interfaces + Conditions aux limites • Milieux continûment variables Fonction constante par morceaux OU conservation de la continuité des profils de propriétés Aki-Richard, 1980 Fonctions spéciales pour des profils particuliers (ex : couche de Epstein) 28 janvier 2009 Développement en série de Peano du matricant pour des profils quelconques Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 5
Plaque FGM Direction d’hétérogénéité Direction de propagation 0 fluide 1 solide d fluide 2 Modes propres (courbes de dispersion) Spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 6
Equation d’onde et solution analytique termes d’hétérogénéité Méthode originale pour conserver la continuité des profils de propriétés : (Formalisme de Stroh) Solution explicite : Série de Peano du matricant M 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 7
Le développement en série de Peano (Peano 1888; Pease, 1965; Aki-Richard, 1980; Kennett, 1983) Écriture polynomiale : gain en temps de calcul et développements asymptotiques 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 8
Le développement en série de Peano • Schéma récursif de construction : méthode des approximations successives Convergence de la série : Si chaque composante de est une fonction bornée sur l’intervalle d’étude [a, b] alors la série est uniformément convergente (Kennett, 1983). 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 9
Objectif « problème inverse » Courbe de dispersion de l’onde de Rayleigh vide d Confrontation à l’expérience Plaque de microbéton EDF Cij (x 3), r(x 3) x 3 Paramètres caractéristiques du profil : - épaisseur de la zone dégradée ; - localisation du gradient ; - pente du gradient. Baron et al. Ultrasonics 2007 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 10
Diagnostic de l’ostéoporose : perspective L’os cortical est un tissu vivant à gradient de propriétés. Gradient de porosité = Baron et al. , JASA (122), 2007 gradient des coefficents de rigidité et de densité de masse Résistance mécanique GEOMETRIE + STRUCTURE + MATERIAU Objectifs : problème inverse Osteoporose 1. Identifier le gradient des propriétés matérielles 2. Forme du gradient de porosité (structure) 3. Stade de l’ostéoporose. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 11
Transmission axiale Source Récepteurs Tissus mous x 1 (direction axiale) Os moelle x 3 (direction radiale) Skeletal site : multi-site Type of bone : cortical bone Frequency : 250 k. Hz-2 MHz Acoustic parameter : SOS Typical range : 3000 -4000 m/s qc: angle critique pour les ondes longitudinales dans l’os Propagation de l’onde de tête à l’interface Bossy et al. , JASA 2002 ; Bossy et al. IEEE UFFC 2004 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 12
Guide d’onde plan 0 fluide 1 solide d fluide 2 Fluides parfaits : contraintes de cisaillement nulles : Les ondes P-SV waves se propagent dans le plan x 2 = 0. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 13
Conditions aux limites et propriétés de propagateur du matricant Expression analytique des coefficients de reflexion et de transmission : 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 14
Résultats 1 - |R| 0. 8 - 0. 6 - 0. 4 - 0. 2 - 0 - frequency × thickness (MHz. mm) 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 15
Géométrie, anisotropie & hétérogénéité • Peano & guide cylindrique anisotrope et hétérogène Ondes circonférentielles et axiales dans un cylindre creux à variation linéaire des et de . Résistance osseuse aux phalanges par transmission transverse et/ou axiale. ez Mesure de la vitesse ultrasonore de l’enveloppe corticale aux phalanges par transmission corticale transverse P. Laugier et al. / ITBMRBM 26 (2005) 1/vitesse de phase (ms/mm) eq er Cylindre creux d’os anisotrope à gradient linéaire 28 janvier 2009 homogène gradient linéaire fréquence × rayon extérieur (MHz. mm) Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 16
En question… • Homogénéisation – Changement d’échelle : modéliser la variation des propriétés à l’échelle de la microstructure par une variation continue des propriétés à l’échelle supérieure • Evaluation de l’erreur – La série de Peano est convergente. – 2 sources d’erreur lors de l’évaluation numérique de la solution exacte : • troncature de la série ; • évaluation numérique des intégrales (Simpson’s rule) • Recherche de zéros/pôles – Newton-Raphson – dichotomie • Problème inverse – optimisation – Méthode d’optimisation pour déterminer le profil de propriétés à partir de mesure de courbes de dispersion ou de spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 17
Merci ! 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 18
Bones, sea shells, and bamboo are some typical examples of natural FGMs, which have evolved to their existing “optimally” graded properties over millions of years to accommodate specific physical, chemical and biological environments that they expose « Smart materials » 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 19
• Homogénéisation de matériaux FGM? • Title: Modeling Bamboo as a Functionally Graded Material Author(s): Prof Emilio Silva, Dr. Matthew Walters , Prof Glaucio Paulino Abstract: Natural fibers are promising for engineering applications due to their low cost. They are abundantly available in tropical and subtropical regions of the world, and they can be employed as construction materials. Among natural fibers, bamboo has been widely used for housing construction around the world. Bamboo is an optimized composite that exploits the concept of Functionally Graded Material (FGM). Biological structures such as bamboo have complicated microstructural shapes and material distribution, and thus the use of numerical methods such as the finite element method, and multiscale methods such as homogenization, can help to further understanding of the mechanical behavior of these materials. The objective of this work is to explore techniques such as the finite element method and homogenization to investigate the structural behavior of bam- boo. The finite element formulation uses graded finite elements to capture the varying material distribution through the bamboo wall. To observe bamboo behavior under applied loads, simulations are conducted under multiple considerations such as a spatially-varying Young's modulus, an averaged Young's modulus, and orthotropic constitutive properties obtained from homogenization theory. The homogenization procedure uses effective, axisymmetric properties estimated from the spatially-varying bamboo composite. Threedimensional models of bamboo cells were built and simulated under tension, torsion, and bending load cases. 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 20
Équation d’onde : équation différentielle d’ordre 2 • Équations de l’élastodynamique : principe fondamental de la dynamique + loi de comportement (loi de Hooke) • Champs harmoniques en x 1 et x 2 et en t, se propageant dans le plan . § Équation d’onde 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique direction de l’hétérogénéité 21
Définition et propriétés du matricant • Définition : le matricant est LA matrice fondamentale solution de • Propriétés – Existence : théorème de Picard-Lindelöf – Matrice de propagation 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 22
Paramétrage et écriture polynomiale • Formalisme de Stroh – formulation de Lothe et Barnett 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 23
Paramétrage et écriture polynomiale • Formalisme de Stroh – formulation de Thomson et Haskell 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 24
Paramétrage et écriture polynomiale • Formalisme de Stroh – formulation de Ingebrigsten et Tonning 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 25
Paramétrage et écriture polynomiale – Formulation de Lothe et Barnett factorisation – Formulation dite de Thomson et Haskell factorisation – Formulation de Ingebrigsten et Tonning factorisation 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 26
Paramétrage et écriture polynomiale • Formulation de Thomson et Haskell – ondes SH – système – ondes P-SV – système 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 27
Biomécanique : Appliquer les principes de la mécanique à la compréhension des processus et des fonctions biologiques. Biomécanique ou mécanobiologie? Biomécanique : prévoir le comportement mécanique d'un tissu ou d'un organe, en tenant compte des contraintes physiologiques et biologiques. Action biologique sur la mécanique Mécanobiologie : prévoir l'évolution biologique d'un tissu ou d’un organe, en tenant compte des contraintes mécaniques qu’il subit. Action mécanique sur le biologique 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 28 7
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