Jorge J Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Orden del sistema: es el grado del denominador Utilidad: • Sirve para identificar sistemas sencillos • Sirve para estudiar el comportamiento de sistemas sencillos • Sirve para diseñar reguladores, filtros, … La respuesta se compone de dos partes: transitoria (yrt(t)) y estacionaria (yrp(t)) y(t) = yrt(t) + yrp(t) tal que

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden U(s) G(s) Y(s) ceros y(t) polos yrp(t) yrt(t) t

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Tipos de señales de excitación habituales Impulso Rampa Escalón u(t) d(t) 1 / e e r(t) t t t Seno Parábola s(t) p(t) Respuesta frecuencial t t

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Relación entre yrt(t) y la situación de los polos I K (s + s 1)(s + s 2) 1 d(t) e-s 1 t e-s 2 t -s 2 R -s 1 I bj -a b j t K (s + a + bj)(s + a - bj) e-at. sen(bt) d(t) R t

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Relación entre yrt(t) y la situación de los polos I K (s - s 1)(s - s 2) s 1 bj es 1 t 1 R t K (s - a + bj)(s - a - bj) I eat. sen(bt) d(t) a b j s 2 d(t) es 2 t R t

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Relación entre yrt(t) y la situación de los polos I K s s 1 I bj b j d(t) K. u(t) K R K (s + bj)(s - bj) R t sen(bt) d(t) t

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Relación entre yrt(t) y la situación de los polos Si todos los polos tienen parte real negativa el sistema es estable Si algún polo tiene parte real positiva el sistema es inestable Los polos reales dan respuestas NO oscilantes Los polos con parte imaginaria dan respuestas SÍ oscilantes Los polos en el origen dan respuestas “limitadamente estables” Los polos sobre el eje imaginario dan respuestas “marginalmente estables” Ante entrada impulso la respuesta de los sistemas estables tiende a cero La respuesta es más rápida cuanto más alejados están los polos del eje imaginario

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de primer orden Provienen de una ecuación diferencial del tipo: L Ganancia b 1/a del 1 sistema orden 1 Sistemas de primer orden simple Un único polo real en -1/T b 0 = 0 a 0/ade 1 tiempo Constante

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de primer orden: Respuesta impulsional: U(s) = 1 L-1 y(t) Valores característicos K/T y(0) = K/T yrt y(T) = 0’ 37 K/T y(0) = - K/T 2 T t

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de primer orden: Respuesta ante escalón: U(s) = A/s L-1 y(t) Valores característicos AK y(0) = 0 0’ 632 AK 0’ 95 AK y(T) = 0’ 632 AK y(0) = AK/T T 3 T t ts = tiempo de establecimiento

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de primer orden: Respuesta ante rampa: U(s) = tg(q). 1/s 2 L-1 Normalizando y(t) K T. tg(q) T q q t

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de segundo orden Provienen de una ecuación diferencial del tipo: L orden 2 Sistemas de segundo orden simple b 0 = b 1 = 0 wn: frecuencia natural no amortiguada (rad/s) x: factor de amortiguamiento

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de segundo orden: Polos: Dos polos complejos conjugados 0<x<1 sd wn x=1 q x=0 0<x<1 wd x>1 Casos x=0 x=1 x>1 0<x<1 x=0

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de segundo orden: 0<x<1 x=0 sd wn x=1 q Relaciones wd sd: factor decrecimiento = xwn x>1 wd: frecuencia amortiguada = wn 1 -x 2 x = cos(q) (0 ≤ q ≤ p/2) 0<x<1 x=0

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de segundo orden: Respuesta impulsional: U(s) = 1 x=0 0<x<1 x=1 x>1 L-1

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden y- y(t) y+ x=0 x=1 x>1 0<x<1 t(s)

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden x=0 x=1 x>1 t (s) 0<x<1 PLANO HORIZONTAL q+ q-

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Sistemas de segundo orden: Respuesta ante escalón: U(s) = A/s x=0 0<x<1 x=1 x>1 L-1

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden y- y(t) y+ x=0 0<x<1 x>1 x=1 t(s)

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden x=0 0<x<1 x>1 x=1 t (s) PLANO HORIZONTAL q+

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Valores característicos de la respuesta transitoria ym Mp 1’ 05 ó 1’ 02 yrp 0’ 95 ó 0’ 98 yrp pendiente inicial nula tr tp ts

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal de sistemas de 1º y 2º orden Valores característicos de la respuesta transitoria Ø Tiempo de pico (tp): instante en el que se produce el máximo (ym): Ø Pico de sobreoscilación (Mp): diferencia porcentual entre ym e yrp: Ø Tiempo de subida (tr): instante en el que la señal llega por primera vez a yrp: Ø Tiempo de establecimiento (ts): instante en el que la señal queda acotada entre el ± 2% yrp ó ± 5% yrp:

Jorge J. Feliu Batlle Sistemas de 2º orden. Ceros y polos adicionales qp P qz Z Cero adicional q sd § tr baja si qz sube Z tiende a I § tp baja si qz sube ´´ ´´ § Mp sube si qz sube ´´ ´´ § ts no tiene una relación directa con qz Polo adicional § tr sube si qp sube A la izquierda de sd P tiende a sd § tp sube si qp sube ´´ ´´ § Mp baja si qp sube ´´ ´´ § ts no tiene una relación directa con qp Si se pone a la derecha de sd el sistema se comporta de forma parecida a uno de primer orden

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Se estudia la capacidad del sistema para seguir las señales de referencia U(s) E(s) G(s) Y(s) K. N(s) G(s) = D(s) Y(s) G(s) = 1 + G(s) U(s) E(s) = U(s) – Y(s) E(s) 1 = 1 + G(s) U(s) E(s) = 1 U(s) 1 + G(s)

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Señales típicas de entrada: U(s) E(s) G(s) Y(s) 1 Escalón: u(t) = A U(s) = A/s Rampa: u(t) = tg(q). t U(s) = tg(q). 1/s 2 Parábola: u(t) = B. t 2 U(s) = 2 B. 1/s 3 1/2 Error de posición: ep Error de velocidad: ev Error de aceleración: ea

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Error de posición (ep) ep = Kp: constante de error de posición = lim G(s) A 1 +Kp s→ 0 Si G(s) tiene cero polos en s = 0 Si G(s) tiene un polo en s = 0 Si G(s) tiene dos polos en s = 0 … K. N(0) Kp = D(0) Kp = ∞ K ep = 0 ep

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Error de posición (ep) y(t) u(t) = A ep t

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Error de velocidad (ev) ev = Kv: constante de error de velocidad = lim s. G(s) tg(q) Kv s→ 0 Si G(s) tiene cero polos en s = 0 Si G(s) tiene un polo en s = 0 Si G(s) tiene dos polos en s = 0 … Kv = 0 K. N(0) Kv = D(0) Kv = ∞ ev = ∞ K ev = 0 ev

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Error de velocidad (ev) y(t) ev ev/tg(q) t) ( u q = tg( . t ) q q t

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Error de aceleración (ea) ea = Ka: constante de error de aceleración = lim s 2. G(s) B Ka s→ 0 Si G(s) tiene cero polos en s = 0 Si G(s) tiene un polo en s = 0 Si G(s) tiene dos polos en s = 0 Si G(s) tiene tres polos en s = 0 … Ka = 0 K. N(0) Ka = D(0) Ka = ∞ ea = ∞ K ea = 0 ea

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Error de aceleración (ea) y(t) u(t) = B. t 2 ea t

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Tipo de un sistema: número de polos en s = 0 de G(s) U(s) E(s) Y(s) G(s) sistema de tipo r Tipo ep 0 ev ea ∞ ∞ 1 0 ∞ 2 0 0 3 0 0 0

Jorge J. Feliu Batlle Análisis de la respuestacionaria (errores) Realimentación no unitaria U(s) e(s) U(s) Y(s) G(s) E(s) G(s) H(s) - 1 H(s) G*(s) U(s) E(s) G*(s) Y(s)

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces Es una técnica gráfica que permite ver la variación de los polos de un sistema EN LAZO CERRADO cuando cierto parámetro k varía de 0 a ∞. Permite realizar estudios sobre: • Régimen transitorio • Estabilidad • Diseño de reguladores • … k. R(s) G(s) k. R(s) Según varía k varían las raíces de 1+k. R(s)G(s)

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces 30 -5+2’ 24 j -5 -2’ 24 j 35 -5+3’ 16 j -5 -3’ 16 j … … … 0 -5 k= -5 5 25 k= -2’ 76 -0’ 53 -7’ 24 15 20 k= -1’ 84 -8’ 16 20 15 k= -0’ 53 -2’ 76 -9’ 47 k= k= k= 30 3 5 … 5 -5 0 -7’ 24 -10 -8’ 16 0 k= Raíz 2 k= 0 k= 5 k= 15 k= 20 Raíz 1 -10 -9’ 47 k k k 25 k = 30 = 35 = … Ejemplo 0

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces Reglas para su trazado Ø Permiten un trazado aproximado del L. R. Ø Usan información en lazo abierto y en lazo cerrado Ø Es necesaria cierta experiencia EJEMPLO

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces 1) Calcular los polos y los ceros del sistema en lazo abierto (l. a. ) z 1 = - 4, p 1 = 0, p 2 = -3, p 3 = - 5, p 4 = - 1+j, p 5 = -1 - j 2) El número de ramas es igual al número de polos en lazo abierto 5 3) Las ramas comienzan en los polos en lazo abierto (k = 0) y acaban en los ceros en lazo abierto (k = ∞). Si el nº de ceros (m) es menor que el nº de polos (n) entonces se supone que hay n-m ceros en el infinto m = 1, n = 5 4) Los puntos del eje real que pertenecen al L. R. son los que cumplen que el nº de polos reales más el número de ceros reales (l. a. ) situados a su derecha es impar. j -5 -4 -3 -1 0 -j

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces 5) El L. R. es simétrico respecto al eje real 6) Las ramas del L. R. que terminan en el infinito son asintóticas a rectas cuyos ángulos con el eje real son: n=5 m=1 q=0 qa 1 = p/4 q=1 qa 2 = 3 p/4 q=2 n–m-1=3 qa 3 = 5 p/4 q=3 j q a 4 = 7 p/4 -5 -4 -3 s 0 -1 0 -j

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces 7) Las asíntotas cortan al eje real en un punto situado a una distancia dada por: n=5 so = m=1 0 – 3 – 5 – 1 + j - 1 - j - (- 4) 4 n-m=4 j -5 -4 s 0 -3 -1’ 5 -1 0 -j = -1’ 5

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces 8) Puntos de confluencia y dispersión Son los puntos donde las ramas del L. R. entran o salen del eje real Coinciden con los máximos y mínimos relativos de K K= - s (s + 3) (s + 5) (s 2 + 2 s + 2) K= (s + 4) -1 (s + 4) 1 s (s + 3) (s + 5) (s 2 + 2 s + 2) d. K =0 ds s= 2 s 5 + 25 s 4 + 113 s 3 + 221 s 2 + 184 s + 60 = 0 -4’ 34 ± 0’ 668 j No puede ser -0’ 72 ± 0’ 37 j No puede ser -2’ 377 K = 6’ 93 j -5 -4 -3 -2’ 377 -1 0 -j

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces 9) Puntos de intersección del L. R. con el eje imaginario parte real = 0 s = jw 1+K. R(s). G(s) = 0 parte imaginaria = 0 Kyw (s + 4) 1 1+K =0 s (s + 3) (s + 5) (s 2 + 2 s + 2) s 5 + 10 s 4 + 33 s 3 + 46 s 2 + (30 + K)s + 4 K = 0 s = jw parte real = 0 w 5. j + 10. w 4 – 33. w 3. j – 46. w 2 + (30 + K). wj + 4 K = 0 parte imaginaria = 0 10. w 4 – 46. w 2 + 4 K = 0 w 5. j – 33. w 3. j + (30 + K). wj = 0 K = 10’ 63 y w = 1’ 13 rad/s

Jorge J. Feliu Batlle K =0 ’ 93 -2’ 37 qa 1 -1’ 5 -1 qa 3 0 qa 4 =∞ K K =∞ K =0 K -j -1’ 13 j =1 0’ 6 2 -3 qa 2 1’ 13 j j K -4 =6 K -5 K K =0 =∞ K =0 =1 0’ 6 2 K K =∞ =∞ Respuesta temporal: Lugar de las Raíces

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces Propiedades: Todos los puntos del L. R. cumplen que: La ganancia K que provoca la aparición de un punto del L. R. es: b 1 + b 2 + b 3 - (a 1 + a 2 + a 3 + a 4) = (2 q + 1)p P p 4 a 4 p 3 a 3 p 2 a 2 c 3 p 1 b 3 a 1 c 1 b 1 pudiendo ser q = 0, ± 1, ± 2, ± 3, … K= b 2 p 1 p 2 p 3 p 4 K c 1 c 2 c 3

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces Valor de K para cualquier punto del L. R. p 3 p 1 c 1 -5 -4 1’ 13 j j p 5 p 4 p 2 -1 -3 0 a -j a 1

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces Cálculo de K que da lugar a polos con parte real predeterminada a § Se calcula el polinomio característico en lazo cerrado: 1 + K. R(s). G(s) = 0 § Se le aplica una traslación de ejes: s 1 = s + a § s 1= jw y se igualan las partes real e imaginaria a cero

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces Cálculo de K que de lugar a polos con parte real predeterminada Ejemplo ¿Qué valores de K provocan la aparición de polos con parte real -3? s 5 + 10 s 4 + 33 s 3 + 46 s 2 + (30 + K)s + 4 K (obtenido anteriormente) s 1 = s + 3 (s 1 - 3)5 + 10(s 1 - 3)4 + 33(s 1 - 3)3 + 46(s 1 - 3)2 + (30 + K)(s 1 - 3) + 4 K = 0 operando s 1 - 5 s 1 + 3 s 1 + 19 s 1 - (30 - K)s 1 + K 5 4 3 2 s 1 = jw parte real = 0 w 5. j - 5. w 4 - 3. w 3. j - 19. w 2 - (30 - K). wj + K = 0 parte imaginaria = 0 -5. w 4 – 19. w 2 + K = 0 w 5. j – 3. w 3. j Ojo con los resultados de w - (30 - K). wj = 0 K = 32’ 2 y w = 1’ 127 rad/s

Jorge J. Feliu Batlle Respuesta temporal: Lugar de las Raíces K = 32’ 2 1’ 127 j 1’ 13 j j -5 -4 -3 -2’ 37 -1 0 -j -1’ 13 j -1’ 127 j K = 32’ 2