Jeux combinatoires et thorie des groupes Jeux Activits
Jeux combinatoires et théorie des groupes
Jeux: Activités intellectuelles ou gestuelles qui n’ont d’autre fin que l’amusement de la personne qui s’y livre. Combinatoires : Théorie : Qui étudient les différentes manières de combiner les éléments d’un ensemble. Ensemble organisé de principes, de règles, de lois scientifiques visant à décrire et à expliquer un ensemble de faits.
Groupe : Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une loi notée ~ Evariste Galois, 1811 -1832 ~ vérifie: • il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E : a~e = e~a =a e : élément neutre • pour a, b, c des éléments de E : (a~b)~c = a~(b~c) associativité • pour tout a de E, il existe un a’ tel que a~a’ = a’~a =e a’ inverse (ou symétrique ou opposé) de a Fondateur de la théorie des groupes.
Exemple: Ensemble Z des entiers relatifs {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} muni de l’addition, loi notée + • pour tout n de Z, x+n=n+x=n X=0: élément neutre • pour a, b, c des éléments de Z (a+b)+c=a+(b+c) associativité • pour tout n de Z, il existe un n’=-n tel que n+(-n)=(-n)+n=0 -n: opposé de n
Autre Exemple: 1 2 3 Ils font une course, imaginons Les ordres d’arrivée possibles.
Autre Exemple: 1 2 3
Autre Exemple: 1 2 3 1 3 2
Autre Exemple: 1 2 3 1 3 2 2 1 3
Autre Exemple: 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
Autre Exemple: 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 3 2 1 1
Autre Exemple: 1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 1 3 3 1 2
L’application de l’ensemble E={1, 2, 3} dans luimême définie par est une permutation. L’ensemble des permutations de E est un groupe, appelé groupe symétrique S 3
est l’élément neutre. La loi est la composition notée °. ° = = 1 a 1 2 a 3 3 a 2
Une partie de la recherche mathématique des deux derniers siècles a consisté à classer et étudier les groupes finis. … … Brauer Frobenius Burnside Schur Weyl Lie Étudier? • calculer nombre d’éléments • décrire ses sous-groupes • décrire ses représentations
Représentations irréductibles de Sn sont indexées par des partitions de n. n=4 (4) (3, 1) (2, 2) (2, 1, 1) (1, 1, 1, 1) Partitions de n : suites décroissantes d’entiers positifs dont la somme vaut n.
Diagramme de Young de forme la partition de 6: (3, 2, 1)
On remplit ce diagramme: tableau de Young < 4 3 4 1 1 1 Tableau de Young de forme (3, 2, 1), de remplissage (3, 0, 1, 2)
Appelons T l’ensemble des tableaux • de forme une partition de n • remplis sur par des nombres de 1 à n. Le tableau sans case est appelé le tableau vide et est noté Peut-on munir T d’une loi? Si oui, quelles propriétés a-t-elle?
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin A B C D E F K G J H O L I M N
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin A B C D E F K G I J M N H O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin A B C D E F I J K H M N O L G
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin A B C D E F G I J K H M N O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin A B C D E F G H I J K M N O L
Pour définir cette loi qu’on appelle la multiplication : Jeu de taquin A B C D E F G H I J K L M N O
n=9 5 6 4 4 6 1 2 2 4 3 1 2
5 6 4 4 6 1 2 2 3 4 1 2
On applique un jeu de taquin (i. e pousser toutes les cases noires vers l’extérieur) en utilisant les règles suivantes: a b c d e f g h • si b, c, e sont vides, rien à faire • sinon si b>e alors a b c d e f g h • sinon Convention : Case vide= case remplie par a b c d b e f g h
5 6 4 4 6 1 2 2 3 4 1 2
A quelle case appliquer le jeu de taquin? A des coins… Et quand il y a plusieurs coins? On en choisit un au hasard, le résultat sera toujours le même C’est un théorème dont la démonstration n’est pas évidente…
5 6 4 4 6 1 2 2 3 4 1 2
5 6 4 4 6 1 2 2 3 4 1 2
5 6 4 4 1 2 6 2 3 4 1 2
5 6 4 4 1 2 6 2 3 4 1 2
5 6 4 4 1 2 6 2 3 4 1 2
5 6 4 4 1 2 6 2 3 1 4 2
5 6 4 4 1 2 6 2 3 4 1 2
5 6 4 4 1 2 6 2 3 4 1 2
5 6 4 4 1 2 6 2 3 4 1 2
5 6 4 4 1 6 2 2 3 4 1 2
5 6 4 1 4 6 2 2 3 4 1 2
5 4 6 1 4 6 2 2 3 4 1 2
5 4 6 1 4 6 2 2 3 4 1 2
On continue et on obtient 5 6 4 4 2 3 6 1 1 2 2 3
L’ensemble T muni de est-il un groupe?
Groupe: Ensemble E (fini ou infini) d’objets muni d’une loi notée ~ ~ vérifie: • il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E a~e=e~a =a e: élément neutre • pour a, b, c des éléments de E (a~b)~c=a~(b~c) associativité • pour tout a de E, il existe un a’ tel que a~a’=a’~a=e a’: inverse de a
c a b = c c = a b
• Tableau vide est élément neutre. • est associative. • Mais il n’y a pas d’inverse! L’ensemble T muni de est un monoïde.
Peut-on faire des tableaux avec des cases doubles? Oui ! Ce sont des tableaux de dominos. < 3 2 3 1 1 2 1
On appelle D l’ensemble des tableaux de dominos. Quel rapport avec ce qui précède? ? ? ? ? Il existe une bijection entre et D = (T 1, T 2) , T 1 dans T, T 2 dans T
3 2 1 1 2 3 , 1 1 2 2 1 1 1 Forme du tableau de dominos = (4, 4, 3, 3)=2(4, 3) Mot associé au tableau de dominos: 1112312 1
2 2 1 1 2 3 , 1 1 1 Forme du tableau de dominos = ( 4, 4, 3, 3) Mot associé au tableau de dominos: 1112312 1 1
Elle sert à démontrer le théorème suivant: Théorème: Soient n un entier, p=(p 1, …pq) une partition de n, Vp une représentation irréductible de Sn V(p) * V(p) se décompose en somme de toutes les Véval(d) où d parcourt l’ensemble des tableaux de dominos de forme 2(2 p 1, … 2 pq) de mot de Yamanouchi et éval(d) est la partition dont la ième part est le nombre de i apparaissant dans le mot de d. Mot de Yamanouchi: tout segment initial contient un nombre de i supérieur ou égal au nombre de i+1 contenu dans le même sous mot. Exemple: 1121 oui éval(1121)=(3, 1) 21 non.
Peut-on faire des tableaux avec des cases doubles triples Oui ! Ce sont des tableaux de dominos 3 -rubans. Appelons R l’ensemble des tableaux de 3 - rubans Existe-t-il une bijection entre R et qui permette de décomposer le produit de 3 représentations (i. e analogue du théorème précédent) ? ? Question ouverte !!!!!
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