Jednostavni algebarski izrazi Uvod u rjeavanje jednadbi Ovaj
Jednostavni algebarski izrazi (Uvod u rješavanje jednadžbi)
Ovaj komplet PPT prezentacija (označenih brojevima od 0 do 8) namijenjen je svima onima koji žele naučiti kako se rješavaju jednadžbe (gradivo 6. razreda) ili ih možda već znaju rješavati, ali nisu sigurni u nekim detaljima pa ih žele utvrditi. Prezentacije su pisane jednostavnim jezikom i s namjerom da budu jasne što širem krugu čitatelja/korisnika. Trudila sam se u njima objasniti što više detalja koji sami po sebi "običnom čitatelju" nisu jasni i staviti naglasak na ono najosnovnije što je nužno shvatiti da bismo bili uspješni u svladavanju ovog gradiva. Iako mnogi postupci na prvi pogled izgledaju lagano, ne shvaćajte ih olako jer nakon prvih jednostavnijih primjera uvijek dolaze složeniji! A ako bilo koji tip zadataka ne svladate kako treba, imat ćete poteškoća sa slijedećim tipovima.
Ova prezentacija (označena brojem 0) još ne govori o jednadžbama! U njoj je riječ o algebarskim izrazima kakve moramo dobro poznavati ako želimo biti uspješni u rješavanju jednadžbi. Prezentacije od 1 do 7 postepeno uvode različite tipove jednadžbi - od onih najosnovnijih do vrlo složenih. Zadnja (8. ) prezentacija objašnjava kako se jednadžbe primjenjuju pri rješavanju tekstualnih (problemskih) zadataka. Nadam se da ćete uživati u objašnjenjima i primjerima, te sa zanimanjem i uspješno rješavati zadatke.
Nekoliko uputa o kretanju kroz prezentacije: Kroz prezentaciju prolazimo jednostavnim klikanjem mišem, pritiskanjem strelica na tipkovnici ili pritiskanjem razmaknice. Ako se želimo vratiti nekoliko koraka/efekata unazad (da bismo ponovo proučili nešto), trebamo koristiti strelicu prema gore ( ↑ ) ili prema lijevo ( ← ) na tipkovnici. (Probajte odmah!). Ako želite brzo proći kroz veći dio prezentacije (do određenog mjesta), dobar način je da stisnete razmaknicu na tipkovnici i držite je. . . Ako time odete predaleko, vratite se koristeći strelice prema gore ( ↑ ) ili prema lijevo ( ← ) na tipkovnici. (Probajte odmah!). Za izlazak iz prezentacije u bilo kojem trenutku, stisnite tipku Esc na tipkovnici. Ako se za vrijeme izvođenja prezentacije želite vratiti na početak prezentacije, stisnite tipku Home na tipkovnici. Nadam se da vam neće biti problem snaći se. Sretno! Pa krenimoooooo. . . .
Jednostavni algebarski izrazi
Algebarski izrazi su matematički izrazi u kojima se osim brojeva i računskih operacija pojavljuju i slova (koja zamjenjuju brojeve). Dopuštena je i upotreba zagrada. Za razliku od algebarskih, brojevni izrazi ne sadrže slova, već samo brojeve, računske operacije i zagrade. Primjer 1. Brojevni izrazi su: 2 -4: 7 (8 -4. 3 • 5): (-2)-(-5) 4. 6·[72: (-6 -6)] . . . Primjer 2. Algebarski izrazi su: 5 x - 2 x + 7 x (8 a - 4 a) : (-2) - (-5) + a 2 x - 3 y + x - y + . . . 1 8
Jednadžbe spadaju u algebarske izraze jer se i u njima pojavljuju slova (slova u jednadžbama nazivamo nepoznanice). Da bismo naučili rješavati jednadžbe, prvo se dobro upoznajmo s jednostavnijim algebarskim izrazima i njihovim sređivanjem. Za početak razjasnimo što znači zapis npr. 2 x. Kad između broja i slova ne piše simbol računske operacije, uvijek se podrazumijeva množenje, tj. simbol Dakle, ·. 2 x = 2·x. Ako nas zanima vrijednost tog izraza za x=7, onda u taj izraz umjesto x uvrstimo broj 7. Dakle, u tom slučaju je 2 x = 2· 7 = 14. Ako nas zanima vrijednost tog izraza za x=-4, onda u taj izraz umjesto x uvrstimo broj -4. Dakle, u tom slučaju je 2 x = 2·(-4) = -8.
Slično tome, i u izrazima ab, 4 xy, 6(2 -x), (a-b)(a+2 b). . . zamišljamo simbole množenja · . Dakle, ab = a·b , 4 xy = 4·x·y , 6(2 -x) = 6·(2 -x) , . . . (a-b)(a+2 b) = (a-b)·(a+2·b) Zapamtimo: Ako između broja i slova (npr. 2 x), između dvaju slova (npr. ab), između broja i zagrade, slova i zagrade ili dviju zagrada (vidi gornje primjere) nije zapisan simbol računske operacije, uvijek podrazumijevamo množenje, tj. simbol · . Kao što znamo, to ne vrijedi između dva broja. Npr. 24 je dvadeset četiri, a ne 2· 4 !
Kako jednostavnije možemo zapisati izraz 1 x ? Umjesto x uvrstimo različite vrijednosti, pa uočimo na što se svode tako dobiveni izrazi. Npr. za x = 5 imamo 1· 5 = 5 , za x = 7 imamo 1· 7 = 7 , za x = -6 imamo 1·(-6) = -6 , za x = -25 imamo. . . 1·(-25) = -25 Promatrajući gornje jednakosti, možeš li dopuniti: 1·x = x tj. 1 x = x Naravno, ako broj 1 pomnožimo s bilo kojim brojem, dobit ćemo upravo taj broj (s kojim smo množili).
Kako jednostavnije možemo zapisati izraz 1 x ? Umjesto x uvrstimo različite vrijednosti, pa uočimo na što se svode tako dobiveni izrazi. Npr. za x = 5 imamo 1· 5 = 5 , za x = 7 imamo 1· 7 = 7 , za x = -6 imamo 1·(-6) = -6 , za x = -25 imamo. . . 1·(-25) = -25 Promatrajući gornje jednakosti, možeš li dopuniti: 1·x = x tj. 1 x = x Ako u zadnju jednakost umjesto slova x stavimo riječ jabuka, dobivamo 1 jabuka = jabuka. Ta nam je jednakost jasna i iz svakodnevnog života! Naime, svejedno je hoću li reći Donesi mi jednu jabuku! ili Donesi mi jabuku! svi znaju da je to isto i da se pod "jabuka" podrazumijeva "jedna jabuka". Tako se i umjesto 1 x kraće može pisati samo x , 1 x = x.
Kako jednostavnije možemo zapisati izraz 1 x ? Umjesto x uvrstimo različite vrijednosti, pa uočimo na što se svode tako dobiveni izrazi. Npr. za x = 5 imamo 1· 5 = 5 , za x = 7 imamo 1· 7 = 7 , za x = -6 imamo 1·(-6) = -6 , za x = -25 imamo. . . 1·(-25) = -25 Promatrajući gornje jednakosti, možeš li dopuniti: 1·x = x tj. 1 x = x Zapišimo zadnju jednakost tako da u njoj zamijenimo lijevu i desnu stranu: x = 1 x Dakle, ako imamo slovo, ispred njega uvijek možemo zamisliti broj __ 1 (isto kao što je jabuka isto što i jedna jabuka, tj. jabuka = 1 jabuka , =1 ).
Kako jednostavnije možemo zapisati izraz -1 x ? Umjesto x uvrstimo različite vrijednosti, pa uočimo na što se svode tako dobiveni izrazi. Npr. za x = 9 imamo -1· 9 = -9 , za x = 3 imamo -1· 3 = -3 , za x = -4 imamo -1·(-4) = 4 , za x = -17 imamo. . . -1·(-17) = 17 Promatrajući gornje jednakosti, možeš li dopuniti: -1·x = -x tj. -1 x = -x Naravno, ako broj -1 pomnožimo s bilo kojim brojem, dobit ćemo upravo suprotan broj (od onoga s kojim smo množili).
Kako jednostavnije možemo zapisati izraz -1 x ? Umjesto x uvrstimo različite vrijednosti, pa uočimo na što se svode tako dobiveni izrazi. Npr. za x = 9 imamo -1· 9 = -9 , za x = 3 imamo -1· 3 = -3 , za x = -4 imamo -1·(-4) = 4 , za x = -17 imamo. . . -1·(-17) = 17 Promatrajući gornje jednakosti, možeš li dopuniti: -1·x = -x tj. -1 x = -x Zapišimo zadnju jednakost tako da u njoj zamijenimo lijevu i desnu stranu: -x = -1 x Ponekad u izrazima poput -x zbog lakšeg računa trebamo zamisliti broj -1 x. ispred x. Dakle, tada ćemo zamisliti da tu piše _____
Kako jednostavnije možemo zapisati izraz 0 x ? Umjesto x uvrstimo različite vrijednosti, pa uočimo na što se svode tako dobiveni izrazi. Npr. za x = 6 imamo 0· 6 = 0 , za x = 3 imamo 0· 3 = 0 , za x = -8 imamo 0·(-8) = 0 , za x = -53 imamo. . . 0·(-53) = 0 Promatrajući gornje jednakosti, možeš li dopuniti: 0·x = 0 0. Naravno, ako broj 0 pomnožimo s bilo kojim brojem, uvijek ćemo dobiti ___
Zapamtimo: 1 x = x -1 x = -x 0 x = 0 x = __ 1 x Koji broj možemo napisati na crtu, pa da vrijedi jednakost?
Zapamtimo: 1 x = x -1 x = -x 0 x = 0 x = 1 x -x = -1 __ x Koji broj ovdje možemo napisati na crtu, pa da vrijedi jednakost?
Zapamtimo: 1 x = x -1 x = -x 0 x = 0 x = 1 x -x = -1 x 0 = __ 0 x Koji broj ovdje možemo napisati?
Sređivanje algebarskih izraza
Ukoliko te zanima točno određeni tip zadatka s algebarskim izrazima, možeš koristiti donje linkove da kreneš baš na njih: • zbrajanje i oduzimanje jednostavnih algebarskih izraza i sređivanje rješenja • množenje i dijeljenje • kako se riješiti zagrada Ako želiš krenuti redom, klikni bilo gdje izvan gornjih linkova.
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 4 x + 2 x = 6 x Zamislimo da umjesto x piše jabuka: 4 jabuke + 2 jabuke = + 6 jabuka = Sad umjesto x stavimo aviončić: 4 aviončića + 2 aviončića = + 6 aviončića = A sad isto razmišljanje ponovimo sa x : 4 x x x + 2 x = x 6 x x x x
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 4 x + 2 x = 6 x Dakle, do rezultata jednostavno dolazimo tako da zbrojimo 4+2 , a x prepišemo. Ako te zanima strogo matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 4 x + 2 x = 6 x Dakle, do rezultata jednostavno dolazimo tako da zbrojimo 4+2 , a x prepišemo. Ako te zanima strogo matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka. b) 5 x - 3 x = 2 x Imamo 5 listića na kojima piše x i maknemo 3 listića , pa nam ostanu 2 listića na kojima piše x. x x x
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 4 x + 2 x = 6 x Dakle, do rezultata jednostavno dolazimo tako da zbrojimo 4+2 , a x prepišemo. Ako te zanima strogo matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka. b) 5 x - 3 x = 2 x Dakle, oduzmemo 5 -3 , a x prepišemo. Ako te zanima matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 4 x + 2 x = 6 x Dakle, do rezultata jednostavno dolazimo tako da zbrojimo 4+2 , a x prepišemo. Ako te zanima strogo matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka. b) 5 x - 3 x = 2 x Dakle, oduzmemo 5 -3 , a x prepišemo. Ako te zanima matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka. c) 5 y - 3 y = 2 y y y
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 4 x + 2 x = 6 x Dakle, do rezultata jednostavno dolazimo tako da zbrojimo 4+2 , a x prepišemo. Ako te zanima strogo matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka. b) 5 x - 3 x = 2 x Dakle, oduzmemo 5 -3 , a x prepišemo. Ako te zanima matematičko obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka. c) 5 y - 3 y = 2 y d) 8 a + 5 a = 13 a e) (Možeš li odmah reći rješenje? ) 14 c + 6 c - 9 c = 11 c
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): f) 3 x + 1 x = 4 x Kad god imamo samo x (bez ikojeg broja ispred njega), Sjeti se koji broj možemo dopisati ispred x! sjeti se da se ispred njega skriva broj 1 ! Sad x = to 1 xzbroji! Isto je i ako umjesto x stavimo riječ npr. brodić : 3 brodića + brodić = 4 brodića + = Dakle, i ovdje umjesto brodić zamišljamo 1 brodić.
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): f) 3 x + x = 4 x Kad god imamo samo x (bez ikojeg broja ispred njega), sjeti se da se ispred njega skriva broj 1 ! x = 1 x g) 7 b - b + 2 b = h) (Možeš li odmah reći rješenje? ) 12 n + n + n = 15 n i) 8 x - 7 x = 1 x 8 b = x Kad god u rješenju 1 xu , još trebamo se sjetiti obliku! da to Rješenje 1 x možedobijemo se napisati jednostavnijem možemo pojednostaviti, pa u rješenju pišemo samo x ! Možeš li još se sjetiti kako? j) k) 100 k - 99 k = k (Možeš li odmah reći rješenje? ) 18 n - 16 n = n
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): l) -2 x - 6 x = -8 x (Možeš li odmah reći rješenje? ) Dakle, izračunamo -2 -6 , a x prepišemo. m) -10 x + 6 x = -4 x n) -x - x = -3 x o) (Računali smo -1 -1 -1 i prepisali -a + 20 a = 19 a x. ) (Računali smo -1+20 i prepisali a. ) p) 20 b - 30 b = -10 b r) 6 x - 7 x = -1 x = -x Kad god u rješenju dobijemo -1 xu , još trebamo se sjetiti obliku! da to Rješenje -1 x može se napisati jednostavnijem možemoli još pojednostaviti, pa u rješenju pišemo samo -x ! Možeš se sjetiti kako? s) 3 c - 4 c = -c t) d - 2 d = -d
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): u) 3 x - 3 x = 0 Kad god u rješenju 0 xu , još trebamo se sjetiti obliku! da to Rješenje 0 x možedobijemo se napisati jednostavnijem možemoli još pojednostaviti, pa pišemo samo 0 ! Možeš se sjetiti kako? Ovdje se zapravo 3 x i -3 x poništavaju, pa to možemo i ovako zapisati: 3 x - 3 x = 0 v) 8 h - 8 h = 0 z) 5 a + 3 a - 5 a - 4 a = -a ž) -7 x - 6 x + 14 x - 7 x + x = 16 x - 20 x = -4 x Kod zbrajanja više brojeva možemo računati ili po redu ili prvo zbrojiti sve pozitivne, pa zbrojiti sve negativne brojeve, te na kraju izračunati dobiveno. Ovdje ćemo napraviti u skladu s drugim opisanim postupkom. Podvucimo pozitivne. . .
Primjer 1. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): u) 3 x - 3 x = 0 Kad god u rješenju dobijemo 0 x , trebamo se sjetiti da to možemo još pojednostaviti, pa pišemo samo 0 ! Ovdje se zapravo 3 x i -3 x poništavaju, pa to možemo i ovako zapisati: 3 x - 3 x = 0 v) 8 h - 8 h = 0 z) 5 a + 3 a - 5 a - 4 a = -a ž) -7 x - 6 x + 14 x - 7 x + x = 16 x - 20 x = -4 x x) -s + 5 s - 3 s = 5 s - 4 s = s y) 8 x - 17 x + 8 x + 17 x - 15 x = 16 x - 17 x = -x w) -39 c - 39 c + 78 c = 78 c - 78 c = 0
U vezi sređivanja algebarskih izraza preostali su nam još neki tipovi zadataka za razjasniti, no prije toga provjerimo jesi li sve dosad dobro razumio. Dakle, sad uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i samostalno ih riješi! Tek nakon toga kreni dalje s prezentacijom. U njoj će ti se prvo prikazati rješenja tih zadataka (da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio), a nakon toga krećemo na razjašnjavanje još nekih detalja. . . 1. ) Sredi sljedeće izraze: a) b) c) d) e) f) g) h) 5 x + 4 x 27 x - 19 x 8 a - a x-x-x -7 c + 12 c -12 d - 10 d 6 h -30 p + 22 p i) j) k) l) m) n) o) p) 5 x + 4 x - 6 x - 5 x + 7 x - 2 x 8 a - 2 a + 7 a - 8 a - 7 a - 3 a -66 f -f - f + 66 f b + 2 b + 3 b + b 8 c - 45 c - c + 45 c - 8 c 2 r - r n - 2 n -v - v - v Rješenja: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) 9 x 8 x 6 a -x 5 c -23 d 0 -8 p 3 x -5 a -2 f 8 b 0 r -n -4 v
Primjer 2. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 3 x + 2 y + 4 x + y = 7 x + 3 y Zamislimo da umjesto x piše vlakić, a umjesto y bus: 3 vlakića + 2 busa + 4 vlakića + bus = + + + 7 vlakića + 3 busa = Dakle, vlakiće zbrajamo sa vlakićima, a buseve sa busevima! Isto je sa x-evima i y-ima: 3 x x + 2 y + y y + + 4 x x + x x x y + = y = 7 x + 3 y x x x y x Dakle, x-eve zbrajamo sa x-evima , a y-e sa y-ima ! y y
Primjer 2. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 3 x + 2 y + 4 x + y = 7 x + 3 y b) 2 x + 7 + 3 x + 6 = 5 x + 13 Zamislimo da umjesto x piše cvijet: 2 cvijeta + 7 + 3 cvijeta + 6 = + 7 + + 6 = 5 cvjetova + 13 + 7 + 6 Dakle, cvjetove zbrajamo sa cvjetovima, a slobodne članove sa slobodnim članovima ! (Brojeve uz koje ne piše slovo nazivamo slobodnim članovima. ) Isto je sa x-evima: x-eve zbrajamo sa x-evima, a slobodne članove sa slobodnim članovima!
Primjer 2. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 3 x + 2 y + 4 x + y = 7 x + 3 y b) 2 x + 7 + 3 x + 6 = 5 x + 13 c) 6 a + b + 9 a + 7 b = d) 15 a + 8 b (Možeš li odmah reći rješenje? ) 5 c + 2 d + 9 + 3 c + 7 = 8 c + 2 d + 16 (Možeš li odmah reći rješenje? ) Ako bismo u gornjim izrazima osim pluseva imali i minuse, morali bismo paziti na predznake. Riješimo nakoliko takvih primjera. . .
Primjer 3. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 3 x + 2 y - 8 x - 6 y = -5 x - 4 y Podvucimo svedalje x-eveneuključujući i predznake. . . Dobiveni izraz možemo srediti. Time je ovaj zadatak gotov. Izračunajmo točno to što smo podvukli, dakle 3 x-8 x. To je. . . Sad podvucimo sve y-e uključujući i predznake. . . Izračunajmo točno to što smo podvukli, dakle +2 y-6 y. To je. . .
Primjer 3. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 3 x + 2 y - 8 x - 6 y = -5 x - 4 y b) -7 a - 9 + 6 a - 4 = -a - 13 c) -b + 8 + 2 b - 8 + 6 = b + 6
Provjerimo jesi li dobro razumio! Uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih! Tek nakon toga kreni dalje s prezentacijom. U njoj će ti se (nakon idućeg klika) prvo prikazati rješenja tih zadataka (da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio), a nakon toga krećemo na razjašnjavanje još nekih detalja. . . Rješenja: 1. ) Sredi sljedeće izraze: a) b) c) d) e) f) g) h) 8 a + 9 c + 14 a + 9 c 7 + 5 e + 12 + 1 + e 3 x + 2 a - 2 x - 3 a 6 c - 5 d + c + 5 d x-4 -x 8 h - x - 8 h + 2 x 1 - 9 r + 8 r + 1 -p - 12 f - p + 11 f - e + 2 e a) b) c) d) e) f) g) h) 22 a + 18 c 20 + 6 e ili 6 e + 20 x-a 7 c -4 0 2 - r ili -r + 2 -2 p - f + e
A sad množenje i dijeljenje. . .
Primjer 4. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 3 x • 4 = 12 x Jednostavno, pomnožimo 3 • 4 , a x prepišemo ! Ako te zanima obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.
Primjer 4. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 3 x • 4 = 12 x Jednostavno, pomnožimo 3 • 4 , a x prepišemo ! b) 8 a • (-6) = -48 a c) -9 b • (-7) = 63 b d) y • 4 = e) x • (-5) = -5 x f) -a • (-10) = 10 a g) -b • 2 = 4 y -2 b
Primjer 5. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 12 x : 4 = 3 x Jednostavno, podijelimo 12: 4 , a x prepišemo ! Ako te zanima obašnjenje za taj postupak, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.
Primjer 5. : Sredi sljedeće izraze (napiši ih u kraćem obliku): a) 12 x : 4 = 3 x Jednostavno, podijelimo 12: 4 , a x prepišemo ! b) 32 a : 4 = 8 a c) -54 b : 9 = -6 b d) -42 h : (-7) = 6 h e) 56 n : (-8) = -7 n f) 3 x : 3 = g) -6 d : 6 = -d h) -8 p : (-8) = p x
Evo opet zadataka za vježbu. . . Uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i samostalno ih riješi! Tek nakon toga kreni dalje s prezentacijom. U njoj će ti se prvo prikazati rješenja tih zadataka (da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio), a nakon toga krećemo na razjašnjavanje još nekih detalja. . . 1. ) Sredi sljedeće izraze: a) b) c) d) e) f) g) h) 4 x · 9 9 y · 8 -12 a · (-4) 5 b · (-8) -4 c · 7 x· 6 y· 8 z· 1 i) j) k) l) m) n) o) p) a · (-2) b · (-7) c · (-1) -x · 5 -y · 8 -a · (-4) -n · 20 -20 x · (-20) r) s) t) u) v) w) x) y) 81 b : 9 -54 y : (-6) -36 v : 4 -28 d : (-7) 29 x : (-29) 14 m : 14 21 c : (-3) 0 x : 10 Rješenja: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 36 x 72 y 48 a -40 b -28 c 6 x 8 y z -2 a -7 b -c -5 x m) n) o) p) r) s) t) u) v) w) x) y) -8 y 4 a -20 n 400 x 9 b 9 y -9 v 4 d -x m -7 c 0
A sada zagrade. . .
Ako u brojevnom izrazu imamo zagrade, tada prvo računamo upravo izraze u zagradama. Npr. 48 : ( 10 - 4 ) = = 48 : 6 = = 8 Prvo ćemo računati izraz u zagradi, pa ga podvucimo. No, krećemo od početka izraza - sve izvan zagrade redom prepisujemo. . . Ako je moguće, tako ćemo učiniti i u algebarskom izrazu. Npr. 8 · ( 10 a - 4 a ) = = 8 · 6 a = = 48 a Prvo ćemo računati izraz u zagradi, pa ga podvucimo. No, krećemo od početka izraza - sve izvan zagrade redom prepisujemo. . . Međutim, u nekim algebarskim izrazima takav postupak nije moguć. Npr. 8 · ( 10 a - 4 b ) Izraz u toj zagradi se ne može napisati u kraćem obliku. Ipak, i u ovom slučaju se možemo riješiti zagrade. Kako? Ako se izraz u zagradi ne može napisati u kraćem obliku, zagrade se možemo riješiti na nekoliko načina - ovisno o tome što piše ispred nje. Imamo 3 slučaja. . .
1. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak + , tada sve iz zagrade samo prepišemo. Pri tom se znak + koji je bio ispred zagrade ne prepisuje (on nam samo govori što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: a) Riješi se zagrada: + (-3 a - 7) = -3 a - 7 Kako je ispred zagrade znak +, sve iz zagrade samo prepišemo. Pritom znak + (koji je ispred zagrade) ne prepisujemo (kao ni zagrade). b) + (8 x - 6) = 8 x - 6 Ispred zagrade je opet +, pa samo prepišemo sve iz zagrade. . . c) + (-y + 4) = -y + 4 Ispred zagrade je opet +, pa samo prepišemo sve iz zagrade. . .
2. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak - , tada svim pribrojnicima iz zagrade mijenjamo predznake. Pri tom se znak - koji je bio ispred zagrade ne prepisuje (on nam samo govori što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: Riješi se zagrada: a) - ( -3 a - 7 ) = +3 a + 7 = 3 a + 7 Kako je ispred zagrade znak -, mijenjamo predznake u zagradi. Uočimo prvi pribrojnik u zagradi i njegov predznak. . . -3 a ima predznak -, a mi ga trebamo promijeniti. U što možemo promijeniti - ? Minus možemo promijeniti u plus ! Dakle, umjesto -3 a napisat ćemo +3 a. Sad uočimo sljedeći pribrojnik. . . -7 ima predznak -, a mi ga trebamo promijeniti u +, dakle pišemo +7. (Naravno, predznak + na početku rješenja nije potrebno pisati. . . ) Time je ovaj primjer riješen.
2. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak - , tada svim pribrojnicima iz zagrade mijenjamo predznake. Pri tom se znak - koji je bio ispred zagrade ne prepisuje (on nam samo govori što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: Riješi se zagrada: b) - ( -6 b + 4 ) = +6 b - 4 = 6 b - 4 Kako je ispred zagrade znak -, mijenjamo predznake u zagradi. Uočimo prvi pribrojnik u zagradi i njegov predznak. . . -6 b ima predznak -, a mi ga trebamo promijeniti u + , dakle pišemo +6 b. Sad uočimo sljedeći pribrojnik. . . +4 ima predznak +, a mi ga trebamo promijeniti u -, dakle pišemo. . . Naravno, predznak + na početku rješenja nije potrebno pisati. . . Time je ovaj primjer riješen.
2. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak - , tada svim pribrojnicima iz zagrade mijenjamo predznake. Pri tom se znak - koji je bio ispred zagrade ne prepisuje (on nam samo govori što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: Riješi se zagrada: c) - ( 3 x - 10 ) = -3 x + 10 Ispred zagrade je znak -, pa mijenjamo predznake u zagradi. Uočimo prvi pribrojnik u zagradi i njegov predznak. . . Pribrojniku 3 x ne piše predznak, pa se podrazumijeva predznak + ! Dakle, to je zapravo +3 x , a kako mu trebamo promijeniti predznak, promijenit ćemo + u -, dakle pišemo. . . Sad uočimo sljedeći pribrojnik. . . -10 ima predznak -, a mi ga trebamo promijeniti u +, dakle pišemo. . . Time je ovaj primjer riješen.
2. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak - , tada svim pribrojnicima iz zagrade mijenjamo predznake. Pri tom se znak - koji je bio ispred zagrade ne prepisuje (on nam samo govori što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: Riješi se zagrada: d) - ( 12 + c ) = -12 - c Ispred zagrade je znak -, pa mijenjamo predznake u zagradi. Uočimo prvi pribrojnik u zagradi i njegov predznak. . . Pribrojniku 12 podrazumijeva se predznak +. Nakon promjene predznaka imat ćemo broj. . . Sad uočimo sljedeći pribrojnik. . . +c ima predznak +, a mi ga trebamo promijeniti u -, dakle pišemo. . . Time je ovaj primjer riješen.
Prije nego što krenemo na 3. slučaj provjerimo jesi li dobro razumio. Uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih! Ako ti nešto ne bude jasno, vrati se na prethodne primjere. . . 1. ) Riješi se zagrada: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) + ( -5 x + 7 ) + ( -a - 11 ) + ( 4 b - 8 ) - ( 6 y - 4 ) - ( -12 c - 1 ) - ( -6 + x ) + ( 4 a - 5 b + 1 ) - ( -x + 2 y ) + ( -x + 2 y ) Rješenja: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) -5 x + 7 -a - 11 4 b - 8 -4 b + 8 -6 y + 4 12 c + 1 6 -x 4 a - 5 b + 1 -4 a + 5 b - 1 x - 2 y -x + 2 y
3. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak · , tada broj ispred zagrade množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Pri tom se broj ispred zagrade i znak · ne prepisuju (oni nam samo govore što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: a) Riješi se zagrada: 4 · ( 3 x - 7 ) = 12 x - 28 Kako je ispred zagrade znak ·, broj ispred zagrade tj. broj 4 množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Prvo pomnožimo 4 · 3 x , a to je. . . Sad pomnožimo 4 i sa drugim pribrojnikom, sa -7. Računamo 4 · (-7) , a to je. . . Dobiveni izraz 12 x - 28 se ne da dalje srediti, pa je time ovaj primjer riješen.
3. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak · , tada broj ispred zagrade množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Pri tom se broj ispred zagrade i znak · ne prepisuju (oni nam samo govore što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: b) Riješi se zagrada: 7 · ( -2 y + 9 ) = -14 y + 63 Ispred zagrade je znak ·, pa broj ispred zagrade tj. broj 7 množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Prvo pomnožimo 7 · (-2 y) , a to je. . . Sad pomnožimo 7 i sa drugim pribrojnikom. Računamo 7 · 9 , a to je. . . Time je i ovaj primjer riješen.
3. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak · , tada broj ispred zagrade množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Pri tom se broj ispred zagrade i znak · ne prepisuju (oni nam samo govore što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: c) Riješi se zagrada: -9 · ( -4 a + 8 ) = 36 a - 72 Ispred zagrade je znak ·, pa broj ispred zagrade tj. broj -9 množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Prvo pomnožimo -9 · (-4 a). To je. . . Sad množimo -9 · 8. To je. . . Time je i ovaj primjer riješen.
3. slučaj Ako se ispred zagrade nalazi znak · , tada broj ispred zagrade množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Pri tom se broj ispred zagrade i znak · ne prepisuju (oni nam samo govore što radimo sa sadržajem zagrade). Primjeri: d) Riješi se zagrada: -6 ( -8 - 7 z ) = 48 + 42 z Između broja -6 i zagrade ništa ne piše! Sjećaš li se što se podrazumijeva između njih? Podrazumijeva se množenje, tj. simbol · ! Stoga broj -6 množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. . . -6 · (-8) je. . . -6 · (-7 z) je. . . Time je ovaj primjer riješen.
Zapamtimo kako se rješavamo zagrada: 1. Ako je ispred zagrade znak + , tada sve iz zagrade samo prepišemo. 2. Ako je ispred zagrade znak - , tada svim pribrojnicima iz zagrade mijenjamo predznake. 3. Ako je ispred zagrade znak · , tada broj ispred zagrade množimo sa svakim pribrojnikom u zagradi. Pri tom se znakovi + , - i · (koji se nalaze ispred zagrade), ne prepisuju, oni nam samo govore što radimo sa sadržajem zagrade.
Napomena 1. : Ako se ispred zagrade nalazi : , tada se obično umjesto znaka dijeljenja piše razlomačka crta. Algebarske izraze i jednadžbe s razlomcima ćemo posebno razmatrati. Napomena 2. : Što misliš, kako ćemo se riješiti zagrade u ovom slučaju: ( -8 - 7 z ) · 4 = -32 - 28 z Vjerujem da pogađaš da ćemo broj iza zagrade tj. broj 4 pomnožiti sa svakim pribrojnikom u zagradi. Računamo -8 · 4. . . Računamo -7 z · 4. . . Time je ovaj primjer riješen.
Napomena 1. : Ako se ispred zagrade nalazi : , tada se obično umjesto znaka dijeljenja piše razlomačka crta. Algebarske izraze i jednadžbe s razlomcima ćemo posebno razmatrati. Napomena 2. : Što misliš, kako ćemo se riješiti zagrade u ovom slučaju: ( -8 - 7 z ) · 4 = -32 - 28 z Dakle: Ako se iza zagrade nalazi · , tada svakim pribrojnikom u zagradi. broj koji je iza zagrade množimo sa
I evo nas na kraju! Preostaje nam još samo uvježbati zadnje usvojeno gradivo i nakon toga možemo krenuti na jednadžbe. Sad uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih! Ako ti nešto ne bude jasno, vrati se na prethodne primjere. Sretno! 1. ) Riješi se zagrada: a) b) c) d) e) f) g) h) - ( -6 a + 3 ) + ( -6 a + 3 ) -7 · ( -6 a + 3 ) - ( 2 x - 1 ) 3 · ( -9 b + 8 ) -11 · ( 6 c - 9 ) 6 ( 3 y - 9 ) -9 ( 7 a - 8 ) i) j) k) l) m) n) o) p) -8 ( -4 b + 3 ) -3 ( -x - 2 ) - ( -z - 1 ) ( 4 x - 3 ) · 9 ( -a + 8 ) · (-7) ( -x - 8 y ) · 5 -9 ( 2 x - 3 y + 4 ) ( 4 a - 3 ) · (-12) Rješenja: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) 6 a - 3 -6 a + 3 42 a - 21 -2 x + 1 -27 b + 24 -66 c + 99 18 y - 54 -63 a + 72 32 b - 24 3 x + 6 z+1 36 x - 27 7 a - 56 -5 x - 40 y -18 x + 27 y - 36 -48 a + 36
Autorica prezentacije: Antonija Horvatek lipanj 2008.
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo. com http: //public. carnet. hr/~ahorvate
- Slides: 61