Jednadba pravca Pravci u koordinatnom sustavu Danas emo

Jednadžba pravca Pravci u koordinatnom sustavu

Danas ćemo proučavati pravce u koordinatnom sustavu. Naučit ćemo što jednadžba pravca. Koristit ćemo ovu prezentaciju i popratne geogebrice. Dio primjera ćemo samo komentirati, a dio ćemo zapisivati u bilježnice. Koje treba zapisati, reći će nam ova sličica:

Sadržaj prezentacije: jednadžba pravca y = ax n crtanje pravca y = ax n koeficijent a n jednadžba pravca y = ax + b n crtanje pravca y = ax + b n koeficijenti a i b n crtanje pravca y=ax+b pomoću koeficijenata n pravci x = m i y = n n krivulje y = ax·x , y = a/x i sl. (ukratko) n Ukoliko vas ne zanima cijela prezentacija, kliknite na odgovarajući naslov. . .

Jednadžba pravca y = ax Povratak na sadržaj prezentacije

Primjer: Što je zajedničko ovim uređenim parovima - točkama: (1, 3) (2, 6) (4, 12) (10, 30) (8, 24). . . Svima je druga koordinata (ordinata) 3 puta veća od prve koordinate (apscise). Kako to možemo zapisati pomoću x i y ako su x i y njihove koordinate - (x, y)? y = 3 x Smjestimo te točke u koordinatni sustav i uočimo u kakvom su međusobnom položaju. Klikni ovdje za otvaranje odgovarajuće geogebrice. . .

Primjer: Dakle, sve točke (x, y) čije koordinate zadovoljavaju uvjet y = 3 x leže na istom pravcu. Stoga ćemo reći da je izraz y = 3 x jednadžba tog pravca. Jednadžbu pravca zapisujemo uz taj pravac. y= (1, 3) (2, 6) (4, 12) (10, 30) (8, 24). . . 3 x Što je zajedničko ovim uređenim parovima - točkama:

Primjer 1. : a) Napiši nekoliko točaka (x, y) čije koordinate zadovoljavaju y = 1. 5 x. b) Točke iz a-zadatka prikaži u koordinatnom sustavu. Što uočavaš? (link na pomoćnu geogebricu. . . ) Sve točke (x, y) čije koordinate zadovoljavaju uvjet y = 1. 5 x leže na istom pravcu. y= 1. 5 x Stoga ćemo reći da je izraz y = 1. 5 x jednadžba tog pravca. Jednadžbu pravca zapisujemo uz taj pravac.

Što misliš, hoće li sve točke (x, y) koje zadovoljavaju y = 7 x ležati na istom pravcu? A one koje zadovoljavaju: y = 2 x ili y = 0. 3 x ili y=x. . . ? link na pomoćnu geogebricu. . . A što ako je broj uz x negativan? Proučimo to kroz sljedeći primjer. . .

Primjer 2. : a) Napiši nekoliko točaka (x, y) čije koordinate zadovoljavaju y = -2 x. b) Točke iz a-zadatka prikaži u koordinatnom sustavu. Što uočavaš? (link na pomoćnu geogebricu. . . ) Sve točke (x, y) čije koordinate zadovoljavaju uvjet y = -2 x leže na istom pravcu. Stoga je izraz y = -2 x jednadžba tog pravca. y= -2 x

Što misliš, hoće li sve točke (x, y) koje zadovoljavaju y = -9 x ležati na istom pravcu? A one koje zadovoljavaju: y = -4 x ili y = -0. 8 x ili y = -2/5 x ili y = -x. . . ? link na pomoćnu geogebricu. . .

Evo još jednom nekoliko jednadžbi pravaca: y = 6 x y = -0. 7 x y = 2 x y = -x y=x. . . Što im je svima zajedničko? Sve su one oblika y = ax pri čemu je a neki racionalan broj.

Prošli primjeri nam pokazuju: Sve točke (x, y) čije koordinate zadovoljavaju y=ax (za neki konkretni broj a) leže na istom pravcu. Izraz y=ax nazivamo jednadžbom tog pravca. Npr. y = 3 x , y = -8 x , y = 0. 21 x , y = -x. . . su jednadžbe pravaca.

Crtanje pravca y = ax Povratak na sadržaj prezentacije

Zadatak 1. : U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac y = 2 x. (Prvo ga pokušajte nacrtati sami, Postupak: a zatim ćemo zajednički na ploču i u bilježnice. . . ) 1. Nađimo barem dvije točke (x, y) čije koordinate zadovoljavaju y=2 x. Npr. (1, 2), (2, 4) y= 2 x 2. Te dvije točke ucrtamo u koordinatni sustav te povučemo pravac kroz njih. 3. Uz pravac dopišemo njegovu jednadžbu. Opis postupka prepiši u bilježnicu. . .

Zadatak 2. : U istom koordinatnom sustavu nacrtaj pravce y = -4 x , y = 2. 5 x , y = -x , y = -1 5 x. Za x uzmemo x y=-4 x x 1 2 y=2. 5 x 2. 5 5 (1, 2. 5) (2, 5) y= -1 5 x x y -x 1 2 -1 -2 (1, -1) (2, -2) x y= = x y=-x y = -4 2. 5 x = y Pripadne y 1 2 bilo koja izračunamo. . . dva broja. . . -4 -8 (1, -4) (2, -8) preskoči postupak Za x uzmemo Pripadne y bilo koja izračunamo. . . dva x broja. . . 1 2 y=x 1 2 (1, 1) (2, 2) Za x uzmemo Pripadne y Za x uzmemo bilo koja Pripadne y izračunamo. . . bilo koja dva broja. . . izračunamo. . . dva broja. . . x 0 5 0 -1 y= -1 5 x Za x uzmemo (0, 0) (5, -1) Pripadne y bilo koja izračunamo. . . dva broja. . .

Koeficijent a Povratak na sadržaj prezentacije

Naučili smo da su izrazi oblika y=ax jednadžbe pravaca (pri čemu je a neki racionalan broj). Broj a je koeficijent te jednadžbe. Npr. u jednadžbi y=3 x koeficijent je broj 3 , u jednadžbi y=-7 x koeficijent je broj -7 , u jednadžbi y=0. 3 x koeficijent je broj 0. 3 , u jednadžbi y=x koeficijent je broj 1 (tu vrijedi y=1 x), a u jednadžbi y=-x koeficijent je broj -1 (tu vrijedi y=-1 x).

Uočimo kako taj koeficijent utječe na položaj pravca u koordinatnom sustavu. U idućoj geogebrici nacrtat ćemo prvo nekoliko pravaca s pozitivnim koeficijentom, počevši s manjim brojevima, pa prema većima, a zatim nekoliko pravaca s negativnim koeficijentom, opet od manjih prema većima. . . link na pomoćnu geogebricu. . . link 2. . .

Dakle, koeficijent a nam govori da li pravac, gledajući s lijeva na desno, raste ili pada i koliko brzo (strmo) raste ili pada. Stoga se on zove koeficijent smjera. Npr. u jednadžbi y=2 x koeficijent smjera je broj ___. 2 On nam govori da taj pravac ______ raste. U jednadžbi y=-4 x koeficijent smjera je broj ___. -4 On nam govori da taj pravac ______ pada. U jednadžbi y=-x koeficijent smjera je broj ___. -1 On nam govori da taj pravac ______ pada. Da li brže pada pravac y=-4 x ili y= -x ? (Koji je strmiji? ) Brže pada pravac y=-4 x.

U jednadžbi pravca y=ax koeficijent a naziva se koeficijent smjera (ili nagib). On nam govori da li pravac (gledajući s lijeva na desno) raste ili pada i koliko brzo (strmo) raste ili pada. x a = y 1. Ako je a > 0 , tada pravac raste. 2. Ako je a < 0 , tada pravac pada. a>0 y= ax a<0 U oba slučaja, što je a po apsolutnoj vrijednosti veći, to je pravac strmiji, tj. brže raste/pada. 3. Ako je a = 0 , tada pravac niti ne raste niti ne pada, vodoravan je. y=0 a=0

Da li pravci na slici rastu ili padaju? Rastu. Što iz toga možemo zaključiti - kakvi su njihovi koeficijenti smjera? Pozitivni. Tamno zeleni pravci _____ brže rastu (brže ili sporije? ) od svijetlo zelenih pravaca. Stoga su koeficijenti smjera tamno zelenih pravaca veći od koeficijenata _____ smjera svijetlo zelenih.

y= -2 x y = -0. 1 x Da li crveni i plavi pravac rastu ili padaju? Padaju. Što iz toga možemo zaključiti - kakvi su njihovi koeficijenti smjera? Negativni. Ako znamo da su njihove jednadžbe y=-2 x i y=-0. 1 x , koja je jednadžba od kojega?

Zadatak 1. : Za sljedeće pravce napiši da li rastu ili padaju i zašto (tj. kako si to zaključio): a) Pravac y=8 x raste jer mu je koeficijent smjera broj 8, a on je pozitivan. b) Pravac y=-11 x pada jer mu je koeficijent smjera broj -11, a on je negativan. y = -11 x y = 8 x y = x c) Pravac y=x raste jer mu je koeficijent smjera broj 1, a on je pozitivan. Sličicu ne precrtavaj!

Zadatak 4. : Da li sljedeći pravci rastu ili padaju? Koji od njih najbrže a koji najsporije raste/pada: a) y = 8 x , y = 11 x , y = 0. 5 x , y = 6. 95 x Ovi pravci rastu. Najbrže raste: y = 11 x Najsporije raste: y = 0. 5 x b) y = -5 x , y = -13 x , y = -100 x , y = -202. 4 x Ovi pravci padaju. Najbrže pada: y = -202. 4 x Najsporije pada: y = -x

Jednadžba pravca y = ax + b Povratak na sadržaj prezentacije

Primjer: Što je zajedničko ovim uređenim parovima - točkama? Izrazi to pomoću njihovih koordinata x i y. (1, 3) (2, 6) (4, 12) (-1, -3) (-3, -9). . . y = 3 x (1, 5) (2, 8) (4, 14) (-1, -1) (-3, -7). . . y = 3 x + 2 Kako su iz točaka u prvom stupcu nastale točke u drugom? Prve koordinate su samo prepisane, a druge su povećane za broj 2. Ako za koordinate točaka iz prvog stupca vrijedi y=3 x , što vrijedi za točke iz drugog? Prikažimo grafički nekoliko točaka za koje vrijedi y = 3 x+2. geogebrica

Primjer: Što je zajedničko ovim uređenim parovima - točkama? Izrazi to pomoću njihovih koordinata x i y. y = 3 x + 2 Dakle, sve točke (x, y) koje zadovoljavaju uvjet y = 3 x+2 leže na istom pravcu. Stoga je i izraz y = 3 x+2 jednadžba pravca. 3 x+ 2 y = 3 x (1, 5) (2, 8) (4, 14) (-1, -1) (-3, -7). . . y= (1, 3) (2, 6) (4, 12) (-1, -3) (-3, -9). . .

U sljedećoj geogebrici ukucajmo nekoliko izraza oblika y=ax+b. Dobivamo li uvijek pravce? geogebrica. . .

Sve točke (x, y) čije koordinate zadovoljavaju y=ax+b leže na istom pravcu. (a i b su neki racionalni brojevi) Stoga izraz y=ax+b nazivamo jednadžbom pravca. Npr. y=2 x-4 , y=-7 x+10 , y=x-3 , y=-x. . . su jednadžbe pravca. Pravci oblika y=ax spadaju u pravce y=ax+b (u njima je b=0).

Crtanje pravca y = ax + b Povratak na sadržaj prezentacije

Zadatak 1. : U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac y = 2 x-4. y= 2 x -4 (Prvo ga pokušajte nacrtati sami, Postupak: a zatim ćemo zajednički na ploču i u bilježnice. . . ) 1. Nađimo barem dvije točke (x, y) čije koordinate zadovoljavaju y=2 x-4. Npr. (1, -2), (2, 0) 2. Te dvije točke ucrtamo u koordinatni sustav te povučemo pravac kroz njih. 3. Uz pravac dopišemo njegovu jednadžbu.

Zadatak 2. : U istom koordinatnom sustavu nacrtaj pravce y = -5 x+4 , y = 6 x-5 , y = -2 x-1 , y = x+3 , y = -3 4 x-2. x y= Za x uzmemo Pripadne y 1 2 bilo koja izračunamo. . . dva broja. . . y=-5 x+4 -1 -6 (1, -1) (2, -6) -1 -2 x 0 1 y=6 x-5 -5 1 (0, -5) (1, 1) x+ 3 x = x -3 4 x- 2 +4 y = -5 x y = 6 x-5 y y= 1 2 4 5 y=x+3 (1, 4) (2, 5) preskoči postupak Za x uzmemo Pripadne y bilo koja izračunamo. . . dva x broja. . . 1 2 y=-2 x-1 -3 -5 (1, -3) (2, -5) Za x uzmemo Pripadne y Za x uzmemo bilo koja Pripadne y izračunamo. . . bilo koja dva broja. . . izračunamo. . . dva broja. . . x 0 4 -2 -5 y= -3 x-2 4 Za x uzmemo (0, -2) (4, -5) Pripadne y bilo koja izračunamo. . . dva broja. . .

Koeficijenti a i b Povratak na sadržaj prezentacije

Geogebrica 1. . . Geogebrica 2. . .

Nazivi i značenja koeficijenata a i b y=ax+b koeficijent smjera - govori nam da li pravac raste ili pada i koliko brzo odsječak na osi y - govori nam u kojoj točki pravac siječe os y, u točki (0, b) 1. Ako je a>0, pravac raste. 2. Ako je a<0, pravac pada. 3. Ako je a=0, pravac je vodoravan. Npr. Zadan je pravac y = 3 x - 2. Koeficijent smjera mu je 3 i on nam govori da taj pravac raste. Odsječak na osi y mu je -2 i on nam govori da taj pravac siječe os y u točki (0, -2).

3 x-2 y= Uočavaš li to i na ovoj slici? Npr. Zadan je pravac y = 3 x - 2. Koeficijent smjera mu je 3 i on nam govori da taj pravac raste. Odsječak na osi y mu je -2 i on nam govori da taj pravac siječe os y u točki (0, -2).

Zadatak 1. : Dopuni tablicu: jednadžba pravca 7 y = 7 x- 4 y = 7 x-4 koeficijent smjera Sličicu ne precrtavaj! odsječak na osi y -4 da li pravac raste ili pada raste u kojoj točki pravac siječe os y (0, -4)

Zadatak 1. : Dopuni tablicu: koeficijent smjera jednadžba pravca odsječak na osi y da li pravac raste ili pada u kojoj točki pravac siječe os y y = 7 x-4 7 -4 raste (0, -4) y = x+0. 6 1 0. 6 raste (0, 0. 6) y = 12 x 12 0 raste (0, 0) -1 0 pada (0, 0) y=-x y = 12 x y = x . 6 0 +

Zadatak 1. : Dopuni tablicu: koeficijent smjera jednadžba pravca odsječak na osi y da li pravac raste ili pada u kojoj točki pravac siječe os y y = 7 x-4 7 -4 raste (0, -4) y = x+0. 6 1 0. 6 raste (0, 0. 6) 0 raste (0, 0) -1 0 pada (0, 0) y = -7 x - 8 -7 9 -8 3 pada (0, -83 ) y = -x + 5 -1 5 pada (0, 5) y = -7 9 x 12 - 8 3 +5 -x y = 12 x y= y=-x 9 3

Zadatak: 2 x-4 y= y = 6 x 2 x- y = x+ 3 c) -3 x y= b) y= a) y = 5 x-1 2 y x-1 = x 1 U koordinatnom sustavu nalazi se nekoliko pravaca, a ispod su njihove jednadžbe. Kojem pravcu pripada koja jednadžba? y=x-2 y=x+3 y=x-1 y = 2 x - 1 y = 5 x - 1 y = 2 x - 4 y = -3 x y = 6 x

Zadatak: U koordinatnom sustavu nalazi se nekoliko pravaca, a ispod su njihove jednadžbe. Kojem pravcu pripada koja jednadžba? a) 2 Pravci na slici su paralelni. Jesmo li iz njihovih jednadžbi mogli zaključiti da su paralelni? Da, iz toga što imaju jednake koeficijente smjera! x- = y = x+ 3 U a-zadatku uočimo još jedan detalj: y Zapišimo u bilježnice: y=x-2 y=x+3 Paralelni pravci imaju jednake koeficijente smjera.

Zadatak 2. : Zaokruži paralelne pravce: = 6 -x 4 x 4 x+5 y=- -4 2 x y=- -2 x y= 2 x= y -x + 0. 3 y y= (Sličicu ne precrtavaj!) = y= 3 x-2 y 3 x-2 c) y = x - 2 y = 3 x - 2 y = -x - 6 y = -1 x + 0. 3 y= x-2 b) y = -4 x + 5 y = 4 x - 2 y = 3 x - 2 y = -4 x y=4 y= 3 x y = -4 3 x-6 a) y = 3 x - 4 y = 2 x - 4 y = 3 x - 6 y = -2 x

Crtanje pravca y = ax + b pomoću koefijenata Povratak na sadržaj prezentacije

Primjer: y= 3 2 x- 5 U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac y = 32 x - 5 , ali bez izračunavanja koordinata točaka tog pravca. Nađimo dvije točke tog pravca, ali bez računanja: 1. koeficijent b govori nam o točki na osi y, 2. iskoristimo točku koju smo upravo našli i koeficijent a! Koliki je nazivnik, toliko koraka idemo udesno, a koliki je brojnik, toliko koraka gore ili dolje: ako je brojnik pozitivan, idemo gore, a ako je negativan dolje! Kroz te točke povučemo pravac.

Primjer: y= 3 2 x- 5 U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac y = 32 x - 5 , ali bez izračunavanja koordinata točaka tog pravca. Pitanje: Kad smo radili korake (označene plavim strelicama), oni su bili dugi točno kolika je i jedinična dužina. Što ako radimo veće korake (veće nego što je jedinična dužina)? Hoćemo li dobiti isti pravac? Došli smo do točke na tom istom pravcu! Pokušajmo s još većim koracima!

Primjer: y= 3 2 x- 5 U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac y = 32 x - 5 , ali bez izračunavanja koordinata točaka tog pravca. Pitanje: Kad smo radili korake (označene plavim strelicama), oni su bili dugi točno kolika je i jedinična dužina. Što ako radimo veće korake (veće nego što je jedinična dužina)? Hoćemo li dobiti isti pravac? Došli smo do točke na tom istom pravcu! Pokušajmo s još većim koracima! Opet smo došli do točke na tom istom pravcu!

Primjer: U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac y = 32 x - 5 , ali bez izračunavanja koordinata točaka tog pravca. y= 3 2 x- 5 Dakle: Koliki god korak uzeli, dobivamo točke na istom pravcu! Stoga možemo uzeti korak koliki želimo. Međutim, pazi: koliki je korak u vodoravnom smjeru, toliki mora biti i u uspravnom!

Primjer: U koordinatnom sustavu nacrtaj pravac y = 32 x - 5 , ali bez izračunavanja koordinata točaka tog pravca. y= 3 2 x- 5 Zapamtimo! Nazivnik nam govori koliko koraka radimo udesno! (UVIJEK UDESNO!) Brojnik nam govori koliko koraka idemo gore ili dolje: ako je brojnik pozitivan, gore idemo _____, a ako je negativan, dolje idemo ______.

Zadatak: Koristeći koeficijente (bez izračunavanja koordinata točaka), u istom koordinatnom sustavu nacrtaj pravce y = -3 x– 2, 4 y = 52 x – 1 , y = 15 x , y = __ -2 x + 1 , y =11 x + 1. 5. y= -2 x +1 2 x-1 = -3 4 x -2 y= 5 y 5 . 1 + 1 Postupak: x Nađemo dvije točke tog pravca, = y ali bez računanja: 1. koeficijent b govori nam o točki na osi y, točki (0, b), 1 x y= 5 2. iskoristimo točku koju smo upravo našli i koeficijent a: Koliki je nazivnik, toliko koraka idemo udesno, a koliki je brojnik, toliko koraka gore ili dolje: ako je brojnik pozitivan, idemo gore, a ako je negativan dolje! Kroz te točke povučemo pravac.

Zadatak: Za sljedeće pravce otkrij koje su im jednadžbe. y= -3 5 x+ y= 2 -3 x+2 5

Zadatak: -3 5 x+ 2 y= y= 2 x 4 Za sljedeće pravce otkrij koje su im jednadžbe. y= 2 x-4 1 y = 2 x - 4

Zadatak: Za sljedeće pravce otkrij koje su im jednadžbe. -3 5 x+ y -x +4 Odmah reci sređeno rješenje… y= 2 = 2 x 4 y= 1 x-2 y= 3 y = x y = -x

Pravci x = m i y = n Povratak na sadržaj prezentacije

Primjer: Nacrtajmo pravce y = 3 i x = -2. (Prvo ih pokušajte nacrtati sami, Pravac y = 3 sadrži a zatim ćemo zajednički na ploču i u bilježnice. . . ) sve točke (x, y) koje zadovoljavaju uvjet y=3 , (1, 3), ( 2, 3), ( 4, 3), ( -3, 3), ( -12, 3), ( -1. 5, 3) y y=3 x = -2 x A prva pravac koordinata? y Dakle, y=3 siječe os __ y biti u ____ i okomit na može os __. (0, 3)ne O točki njoj ništa piše, pajeona bilo koji broj! Pravac x = -2 sadrži sve točke (x, y) koje zadovoljavaju uvjet x=-2 , (-2, 1), (-2 , 3), (-2 , 8), (-2 , -4), (-2, -11), (-2, 1. 6), (-2, -0. 7). . . A druga koordinata? Dakle, pravac x = -2 siječe os __ x x u. Otočki _____ i okomit je na os __. (-2, 0) njoj ništa ne piše, pa ona može biti bilo koji broj! Geogebrica. . .

Zadatak 1. : Nacrtaj pravce y = 4 , y = -3 , x = -6 , x = 5 , y = 2 x , y = -x + 5 , x = -2. x y=2 x y y=4 y=2 y x = -x +5 y= x=5 x = -2 x = -6 2 x y = -3 Za x uzmemo Pripadne y 1 2 bilo koja izračunamo. . . dva broja. . . 2 4 (1, 2) (2, 4) Za x uzmemo Pripadne y x 1 2 bilo koja izračunamo. . . dva broja. . . y=-x+5 4 3 (1, 4) (2, 3)

Još o pravcima y=n i x=m Preskoči. . . Povratak na sadržaj prezentacije

Spadaju li pravci y = 4 , y = -3 i sl. u pravce y = ax + b ? Da, spadaju. Npr. u pravcu y = 4 koeficijent smjera je 0 , a odsječak y = 0 x + 4 na osi y je 4. y=4 y = -3 I slika je u skladu s tim! Znamo da nam koeficijent smjera 0 govori da je pravac vodoravan! A što nam govori odsječak na osi y? Je li slika u skladu s tim? Nadalje, u pravcu y = -3 koeficijent smjera je 0 , a odsječak y = 0 x - 3 na osi y je -3. Je li slika u skladu s tim?

Spadaju li pravci x = 4 , x = -3 i sl. u pravce y = ax + b ? Ne, ne spadaju!!! Naime, oni uopće ne sadrže y , pa ne mogu niti počinjati s y =. . . Nadalje, uočimo sa slike: x = -3 x=4 U kojim točkama ti pravci sijeku os y? Uopće je ne sijeku! Dakle, nema odsječka na osi y! Da li pravci (gledano s lijeva na desno) rastu ili padaju? Nijedno od toga! Dakle, nema niti koeficijenta smjera!

Krivulje y = a x·x , y = a/x. . . Povratak na sadržaj prezentacije

Za izraze poput y = 4 x - 3 , y = -6 x , x = -8 , y=2. . . zaključili smo da su jednadžbe pravca. A što je s izrazima poput y = 4 x·x , y = 6/x i slično? Predstavljaju li i oni pravce? Geogebrica 1 Geogebrica 2

Dakle, izrazi poput y = 4 x·x , y = 6/x i sl. nisu jednadžbe pravaca, ali jesu jednadžbe nekih krivulja (parabola, hiperbola, kruga, elipse. . . ). Više o njima uči se u srednjoj školi, a sad smo ih samo spomenuli.

Time smo došli do kraja prezentacije. Nadam se da je bilo zanimljivo, korisno i jasno. Nastavljamo bez projektora. . .

Prezentaciju napravila: Antonija Horvatek Travanj 2009. Zadnja izmjena: lipanj 2015.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek Matematika na dlanu ahorvatek@yahoo. com http: //www. antonija-horvatek. from. hr/