Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 1830 et sa

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 -1830) et sa célèbre transformée - Historique - Les points fondamentaux - Applications monodimensionnelles - signaux temporels - fonctions de transfert - radiodiffusion, transmissions - sons - Applications multidimensionnelles - images - propagation d’ondes interférométrie, holographie - imagerie médicale - Tomographie X - Imagerie RMN 1 J. Le Roux, leroux@polytech. unice. fr

1768 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille modeste, très doué 1793 Comité Révolutionnaire 1794 Ecole Normale, Ecole Centrale (Polytechnique) 1798 Campagne d ’Egypte avec Bonaparte, Monge (excellent organisateur) 1801 Retour à Polytechnique 1802 Nommé préfet de l’Isère (Champollion) 1804 -1807 commence (? ) à travailler sur la propagation de la chaleur mal reçu par la communauté scientifique (n’a pas cité le travail de Jean Baptiste Biot. . . ) 1810 Ouvrage : Description de l ’Egypte 1811 Prix (mitigé) pour son travail sur la propagation de la chaleur; le manuscrit n’est pas publié 1815 Préfet à Lyon, retour à Paris (évite Napoléon au retour de l’île d ’Elbe) 1817 Académie des sciences 1822 Secrétaire de l’Académie des sciences; Publication de la ‘théorie analytique de la chaleur’ 1830 (16 Mai ? ) Décès à Paris J. Dhombes, J. B. Robert, Fourier, créateur de la physique-mathématique Ed. Belin, 1998 home. nordnet. fr/~ajuhel/Fourier. html 2

Le problème étudié par J. B. Fourier • Résoudre une équation aux dérivées partielles : trouver v(x, y) satisfaisant et des conditions aux limites • L’idée : décomposer la fonction en une somme de sinusoïdes (série de Fourier) • Comment trouver les ? Orthogonalité entre fonctions 3

Mathématiques un dépaysement soudain JP Bourguignon et al. Fondation Cartier Paris Oct. 2011 4

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Les travaux qui s’en déduisent • Transformée de Fourier Laplace • Transformée Inverse • Extension aux signaux échantillonnés • 1965: Invention de la transformée de Fourier rapide Cooley, Tukey, IBM • Extension aux signaux multidimensionnels (images, 3 D, etc. . ) 6

LA propriété fondamentale Entrée Système linéaire invariant en temps Sortie Convolution Transformée de Fourier Une sinusoïde reste une sinusoïde de même fréquence, même si son amplitude et sa phase sont modifiées 7

Applications Signaux temporels (liste non exhaustive) • Equations différentielles et filtrage • Transmissions analogiques et numériques • Interprétation de l ’échantillonnage des signaux en vue du traitement numérique • Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole • Analyse en fréquence des sons, de la musique (cf. cochlée) MP 3= analyse de Fourier + filtrage numérique • Identification des caractéristiques d’un système linéaire par exemple suppression d ’échos, sismographie signaux biologiques déformés • Nouveaux procédés de radiodiffusion et télédiffusion numérique (OFDM) http: //www. eskimo. com/~miyaguch/mp 3 info. html 8

Filtrage, annulation d ’écho, etc. . . : déformation linéaire par un canal de transmission Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée différemment suivant la fréquence : trouver cette déformation et la compenser Atténuation Déphasage 2 0. 10 0. 09 0. 08 1 0. 07 0. 06 0 0. 05 0. 04 0. 03 -1 0. 02 0. 01 -2 -1. 57233 -2. 35696 -0. 00307 -0. 78770 1. 56620 0. 78157 Fréquence 3. 13546 2. 35083 -3. 14159 -1. 57233 -2. 35696 -0. 00307 -0. 78770 1. 56620 0. 78157 Fréquence 3. 13546 2. 35083 9

Modulation d ’amplitude = translation en fréquence exemple en communication numérique 1. 2 0. 8 0. 4 -0. 0 -0. 4 -0. 8 -1. 2 30 80 130 30 80 0. 4 5 5 -0. 0 2 -0. 4 2 -0. 8 -50 -1. 2 0 8 16 24 Bande de base 8 0. 4 130 1. 2 8 1. 2 0 50 -1. 2 100 0 32 8 16 24 32 -50 0 50 100 1. 2 8 8 0. 4 5 -0. 0 -0. 4 2 -0. 8 -1. 2 0 8 16 24 -50 32 modulation 0. 8 0 50 100 5 2 0 8 16 24 -50 32 0 50 100 1. 2 0. 8 Addition, transmission 8 0. 4 5 -0. 0 -0. 4 2 -0. 8 -1. 2 0 8 16 24 -50 32 1. 2 0 50 100 1. 2 0. 8 0. 4 5 -0. 0 démodulation 8 8 0. 8 5 -0. 0 2 -0. 4 -0. 8 -1. 2 -50 0 8 16 24 0 50 100 32 -50 -1. 2 0 1. 2 8 16 24 50 100 filtrage 8 0. 8 5 5 0. 4 -0. 0 -0. 4 0 32 1. 2 0. 8 0. 4 8 -0. 0 2 2 -0. 4 -0. 8 -1. 2 0 8 temps 16 24 32 -50 0 50 100 -50 -1. 2 fréquence 0 8 16 temps 24 32 0 50 100 fréquence 10

Interprétation de l’échantillonnage Echantillonner un signal au pas c’est périodiser sa transformée de Fourier 1 0. 5 0. 4 0. 3 0 0. 2 0. 1 -0. 0 -0. 1 -1 100 700 1300 1900 1 -0. 2 -256 -128 0 128 256 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0 0. 1 -0. 0 -0. 1 -0. 2 -1 100 700 1300 1900 Pour un échantillonnage correct, pas de composantes fréquentielles pour Reconstruire le signal , c’est éliminer les hautes fréquences par filtrage passe bas 11

Analyse de l ’amplitude des composantes d ’un signal vocal Signal temporel Représentation en fréquence 0. 5 harmoniques (composantes aux fréquences multiples de la fondamentale) -0. 07 0. 05 t -0. 5 0. 03 200 600 1000 Unité=125 ms 0. 01 0. 0 5. 2 10. 4 15. 6 20. 8 26. 0 31. 2 36. 4 41. 6 46. 8 52. 0 57. 2 62. 4 0. 5 0 Hz 4000 Hz 8000 Hz Fondamentale à 129 Hz -0. 0 -0. 5 t 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 Unité=125 ms 12

Données pour la reconnaissance de parole : mesure de l’énergie dans une vingtaine de bandes de fréquences (échelle mél) 0 20 000 Hz 13

Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à 12 demi-tons, les harmoniques sont elles aussi des notes de la gamme (à peu près) : la H 5 du fa est le la (H 3 du ré) : accord mineur ? accord majeur = harmoniques 3 et 5 (ré fa la) ré fa# la do 5 3 si la sol fa# fa mi ré do ré mi fa sol la si do do 14 http: //homepages. abdn. ac. uk/mth 192/pages/html/music. pdf

fréquence harmonique 8 notes jouées par un violon temps http: //en. wikipedia. org/wiki/File: Spectrogram_of_violin. png 15

Représentation de l ’intensité d ’un signal (gris ou couleur) en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme) Freq. (8 k. Hz) Temps (1 s) Freq. temps 16

Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons) fréquence temps 17

effet doppler : le mouvement modifie la fréquence observée cosmologie échographie doppler circulation sanguine Riess, Press & Kirshner (1996), Astrophysical Journal 473, 88 18

Quelques applications de la transformée de Fourier discrète Codage MP 3 Décomposition du signal en différentes bandes de fréquences (filtrage numérique et transformée de Fourier discrète) et prise en compte de phénomènes psycho-acoustiques: suppression ou codage moins fin des composantes fréquentielles moins utiles Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi Codes correcteurs d’erreurs de Reed Solomon (transmissions numériques, téléphone mobile, CD…) a : générateur d ’un corps de Galois (corps fini) 19

Principe du codage MP 3 Filtrage des signaux dans différentes bandes de fréquences T. Cos et codage Emission des données T. Cos et codage T. Fourier Sélection des canaux utiles (effet de masquage 1 er codage 20

Rôle fondamental de la fréquence en mécanique quantique Les relations de Planck-Einstein établissent un lien entre la fréquence d'une onde lumineuse plane, et l'énergie des photons associés à cette onde : h constante de Planck, fréquence de l'onde 21

Informatique Quantique : implémentation de transformées unitaires transformer une fonction de probabilité p(x) associée aux données x à traiter afin de faire apparaître une deuxième fonction de probabilité présentant des pics prononcés mettant en évidence la solution du problème |0> |u> H H U U Cryptographie, Casser le code RSA : algorithme de Shor Trouver les facteurs premiers d’un nombre Ramené à la recherche de la périodicité d’une fonction : Dans le domaine des fréquences Harmoniques d ’une fréquence fondamentale Mise en évidence de pics régulièrement espacés dans la transformée de Fourier (c ’est une transformée unitaire) 22

http: //www. phys. umontreal. ca/plasma/ftir/ La%20 spectroscopie%20 infrarouge%20%E 0%20 transform%E 9 e%20 de%20 Fourier. ppt#256 23 http: //www. nicolet. com/labsys/

Interférométrie et spectroscopie 24

http: //www. phys. umontreal. ca/plasma/ftir/ La%20 spectroscopie%20 infrarouge%20%E 0%20 transform%E 9 e%20 de%20 Fourier. ppt#256 25

http: //www. uleth. ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS. pdf D. A. Naylor et al « Mach-Zehnder Fourier transform spectrometer for astronomical spectroscopy at submillimeter wavelengths » . http: //www. uleth. ca/phy/naylor/documents/pdf/SPIE_Hawaii_MZFTS. pdf 26

Résultat de l ’analyse spectrale d ’un signal RMN (résonance magnétique nucléaire) pour une molécule d ’alcool éthylique 27

détection d’exo planètes par mesure de variation de la vitesse radiale d’une étoile (effet doppler : variation de longueur d’onde de la lumière en fonction de la vitesse) : recherche d’un signal périodique en présence d’un bruit de mesure très important 28 effet doppler, décalage vers le rouge, expansion de l’univers

Recherche de traces de vie extraterrestre corrélation de deux analyses spectrales mouvement périodique de planète Interférométrie et spectroscopie (effet doppler) 29

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Infrared spectroscopy for food quality analysis and control Par Da-Wen Sun 31

Fonctions multidimensionnelles (images) (Optique de Fourier) Traitement d’images Propagation d’ondes, interférométrie Tomographie par rayons x Imagerie par résonance magnétique nucléaire Cristallographie, analyse des structures moléculaires 32

sinusoïde bidimensionnelle caractérisée par sa direction et la période des oscillations dans cette direction 33

Traitement d ’antennes : Retrouver par un réseau de capteurs (antenne) la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques 34

Traitement d ’images par exemple franges de Fraunhofer, disque d ’airy Convolution de l ’image avec la transformée de Fourier de l ’ouverture du télescope Produit dans le domaine des fréquences Convolution dans le domaine spatial coupe 35

Quelques exemples de traitement (Amplification des hautes fréquences c ’est à dire des variations rapides) • Correction d’effet de flou, de bougé • Mise en évidence des contours • Codage d’images JPEG et MPEG (une variante de la transformée de Fourier, la transformée en cosinus) + élimination ou codage plus sommaire des hautes fréquences 36

Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le signal intéressant est dans les basses fréquences) 37

FILTRAGE PASSE BAS (FLOU) 38

FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS) 39

Transformée en cosinus et réduction de débit en transmission d ’images JPEG MPEG 40

Étude des équations aux dérivées partielles Chebyshev and Fourier Spectral Methods John P. Boyd University of Michigan Décomposition des fonctions étudiées sur une base, par exemple des sinusoïdes multidimensionnelles ; Trouver l’amplitude de chaque composante afin d’approcher au mieux la solution de l’équation 41

Electromagnétisme, optique ondulatoire l ’onde transmise ‘porte’ la transformée 2 D de la source (équations de Maxwell) (Analyse des appareils d ’optique p. ex. lentilles, optique de Fourier) Application en interférométrie et en holographie 42 (mécanique quantique)

Holographie = Enregistrement des interférences formalisation liée à celle de la transformée de Fourier (propagation des ondes lumineuses) 43

enregistrement des franges d’interférence éclairage de l’hologramme l’observateur, en regardant les franges voit « l’objet » 44 http: //fr. wikipedia. org/wiki/Holographie

Interférométrie en imagerie astronomique Antoine Labeyrie au plateau de Calern Télescopes de l ’ESO à La Silla au Chili Limitation du diamètre faire interférer les signaux provenant de deux télescopes distance = fréquence = w Mesure de l ’amplitude et de la phase des interférences F(w) Déplacement des télescopes: Modification de w Transformée de Fourier inverse f(x) Problème : turbulence atmosphérique 45

46 http: //fr. wikipedia. org/wiki/Very_Large_Telescope#Interf. C 3. A 9 rom. C 3. A 9 trie_optique

surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse Observatoire de Paris (LESIA) interféromètre IOTA (Arizona) http: //www. techno-science. net/? onglet=news&news=7401 47

Cristallographie Un motif de diffraction des rayons X par un cristal est une photographie du module de la transformée de Fourier de la distribution de la densité des électrons dans le cristal; on retrouve des informations sur la structure du cristal en effectuant une transformée inverse 48

Transformée de Fourier 49 http: //www. afmb. univ-mrs. fr/IMG/pdf/introduction-cristallo. pdf

élément pour l’étude de la structure des protéines 50

Tomographie Reconstruire un objet à deux dimensions à partir de ses projections 51

52 LES VUES SOUS DES ANGLES DIFFERENTS D’OBJETS TRANSLUCIDES PERMETTENT DE RECONSTRUIRE LEURS VOLUMES

Tomographie : formulation dans le domaine spatial Dans le domaine des fréquences Transformée de Fourier mono-dimensionnelle de On reconstruit F(u, v) à partir de pour différentes valeurs de Puis on effectue une transformée inverse 53

Tomographie 54

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Résonance magnétique nucléaire Champ magnétique: Faible aimantation du noyau Possibilité d’utiliser les phénomène de résonance A. Champ magnétique fixe B + champ tournant à la fréquence (Onde radiofréquence 20 à 50 MHz) B. Evolution libre, retour à l ’équilibre Décroissance exponentielle oscillante de l ’aimantation (~100 ms) mesurée par une antenne La fréquence des oscillations (quelques Hz) dépend de B 56

Imagerie par RMN Fréquence du retour à l’équilibre (exponentielle amortie) de l’ordre du Hz 1. 5 1. 0 B fort 0. 5 -0. 0 -0. 5 -1. 0 0. 0000 20. 0588 10. 0294 40. 1176 30. 0882 60. 1765 50. 1471 80. 2353 70. 2059 90. 2647 2. 0 B faible 1. 2 0. 4 -1. 2 -2. 0 0. 0000 20. 0588 10. 0294 40. 1176 30. 0882 60. 1765 50. 1471 80. 2353 70. 2059 90. 2647 On choisit B(x, y, z) fonction linaire de la position, variable d ’une mesure à l ’autre Le signal capté par une antenne est avec 57

Imagerie par RMN t fixé : une valeur de la transformée de Fourier tridimensionnelle (t varie: valeur suivant un axe : même formulation que la tomographie) Une image ou un volume complet : plusieurs mesures avec des directions de gradient différentes Quantité de molécules d’hydrogène dans le volume dxdydz B y x Variation linéaire du champ ‘fixe’ dans l’espace Reconstruction par transformée inverse (précision du mm) 58

Image rmn 59

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image irm de diffusion de molécules d’eau (le long des axones) 61

Conclusion • Vaste champ d ’application • Grâce au traitement numérique • Grâce à l ’invention de la transformée de Fourier rapide • Du point de vue mathématique • Importance des systèmes linéaires invariants et de leur effet sur les signaux sinusoïdaux • Orthogonalité des fonctions sinusoïdales • + la théorie des distributions (en particulier la distribution de Dirac) Copie des transparents: http: //www. essi. fr/~leroux/presentationfourier/presentationfourier. html 62