Jak wygra 1 000 w Sapera Tomasz Bartnicki

Jak wygrać 1 000$ w Sapera ? Tomasz Bartnicki Uniwersytet Zielonogórski

Rok 1900, Paryż Musimy wiedzieć! Będziemy wiedzieć! David Hilbert (1862 -1943) 23 problemy

Rok 2000, Paryż Problemy milenijne, $1. 000 za każdy 1. Hipoteza Poincarego rozwiązana! (Grigorij Perelman) (8. problem Hilberta) 2. Hipoteza Riemanna 3. Równanie Naviera-Stokesa 4. Teoria Yanga-Millsa 5. Hipoteza Hodge’a Hipoteza kontra NP 6. 7. Hipoteza Bircha. P i Swinnertona-Dyera 7. Hipoteza P kontra NP

Historia problemu P kontra NP Maszyna Turinga (1936) Alan Turing (1912 -1954) 1971 - pierwsze(? ) precyzyjne sformułowanie hipotezy P/NP 1982 - Nagroda Turinga Stephen A. Cook

Klasa P (polynomial) Algorytm Problem Rozmiar danych: n TAK CPU Czas pracy: Rozwiązanie T(n) NIE Jeżeli dla problemu istnieje „szybki” algorytm rozwiązujący go, to mówimy, że problem należy do klasy P. Szybki: (wielomian)

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście Dwukolorowanie grafu

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście Dwukolorowanie grafu Cykl Eulera w grafie Leonard Euler (1707 -1783) 7 mostów w Królewcu

Przykłady problemów P Znajdowanie wzorca w tekście Dwukolorowanie grafu Cykl Eulera w grafie Sprawdzenie czy liczba jest pierwsza

Klasa NP (nonderministic-polynomial) Algorytm Problem Rozmiar danych: n TAK CPU Czas pracy: Potencjalne rozwiązanie T(n) Weryfikacja NIE Jeżeli dla problemu istnieje „szybki” algorytm weryfikujący rozwiązanie, to mówimy, że problem należy do klasy NP. P NP

Przykłady problemów NP Puzzle

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie

Przykłady problemów NP Puzzle Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie Problem pirata komputerowego

Sformułowanie problemu Fakt: P łatwa rozwiązywalność NP łatwa weryfikowalność Domniemanie: łatwa weryfikowalność Hipoteza: P łatwa rozwiązywalność NP Dowód…?

NP-zupełność Problem z klasy NP nazywamy NP-zupełnym, jeżeli każdy problem z NP redukuje się do niego w czasie wielomianowym. Problemy NP-zupełne, są najtrudniejsze w klasie NP. NP P NP-zupełne

NP-zupełność Problem z klasy NP nazywamy NP-zupełnym, jeżeli każdy problem z NP redukuje się do niego w czasie wielomianowym. Problemy NP-zupełne, są najtrudniejsze w klasie NP. P = NP-zupełne

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3 SAT)

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3 SAT) Problem kliki w grafie

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3 SAT) Problem kliki w grafie Dowód NP-zupełności:

Problemy NP-zupełne Pierwszy problem NP-zupełny (Stephen Cook, 1971) Spełnialność formuł logicznych (3 SAT) Problem kliki w grafie Trójkolorowanie grafu Cykl Hamiltona w grafie Problem pirata komputerowego …i kilkaset innych problemów

Saper jest trudny Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3.

Saper jest trudny Zadanie 2. Zadanie 1. Zadanie 4. Minesweeper Consistency Problem (MCP) Czy zadany układ początkowy z Sapera ma rozwiązanie? MCP jest problemem NP-zupełnym Minesweeper is NP-complete, Mathematical Intelligencer, (2000) Richard Kaye

NP-zupełność Sapera 3 SAT formuła logiczna wielomianowa redukcja obwód logiczny MCP konfiguracja Sapera wyjście wejście przewód logiczny 0 0 1 1

NP-zupełność Sapera 0 1 1 negacja - bramka NOT 1 1 koniunkcja – bramka AND alternatywa – bramka OR

Przykład

Zamiast rozstrzygnięcia Ankieta na temat P/NP (2002) 61 głosów: 22 głosy: 9 głosów: 4 głosy: 3 głosy: 1 głos: P NP Nie mam zdania P NP Niezależna od aksjomatów teorii mnogości Nie jest niezależna od aksjomatów arytmetyki Zależy od przyjętego modelu Kiedy zostanie rozstrzygnięta? 2050 rok (wartość środkowa z 79 odpowiedzi) William Gasarch

Zamiast zakończenia Dziękuję . . Kurt Godel (1906 -1978)