Jak gra eby wygra Kilka sw o grach

Jak grać żeby wygrać? Kilka słów o grach kombinatorycznych Rafał Górak

Gry kombinatoryczne Gry bezstronne (impartial games) Gry stronnicze (partizan games) Rodzaje gier kombinatorycznych

Wythoff Nim http: //www. cut-theknot. org/pythagoras/withoff. shtml Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

Rodzaje pozycji w grach bezstronnych P – pozycja pożądana, czyli taka do której chcę się ruszyć (ale nie chcę wykonywać ruchu z pozycji P) N – pozycja niepożądana, czyli taka do której nie chcę się ruszyć (ale chcę wykonywać ruch z pozycji N) Pozycje P i N

N N N N P N N N N N N P N N N N N P N N N N Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

Rodzaje pozycji w grach bezstronnych P – pozycja z której każdy ruch prowadzi do pozycji N lub z pozycji tej nie można wykonać ruchu N – z której istnieje ruch do pozycji P Pozycje P i N

P P Bartek nie może wykonać ruchu przegrywa P Zaczyna Alicja P P Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

Alicja i Bartek grają w odejmowanie. Zaczynają od 100, po czym na przemian odejmują liczbę naturalną nie większą od 5. Wygrywa gracz, który jako pierwszy otrzyma w wyniku 0. Zaczyna Alicja. Czy tym razem też może wygrać? Pozycje P i N

Teraz Bartek nie może Bartek wykonać ruchu przegrywa Alicja wykonuje ruch jako pierwsza Teraz Alicja Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

Który z graczy wygra? Drugi – kopiując ruchy przeciwnika względem osi symetrii Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

Który z graczy wygra? Drugi – kopiując ruchy przeciwnika Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

P P P P Teraz też wygrywa gracz Gracz drugi zawsze wykonuje ruchdrugi! do pozycji P + P Pozycje P i N na przykładzie Wythoff Nim

Suma gier + Suma gier na przykładzie Wythoff Nim

Kto wygrywa sumę gier? P gracz II) +P+P=P (czyli P Suma gier na przykładzie Wythoff Nim

Kto wygrywa sumę gier? N gracz I) + N+P=N (czyli. P Suma gier na przykładzie Wythoff Nim

Kto wygrywa sumę gier? N gracz II) +N+N=P(czyli N Suma gier na przykładzie Wythoff Nim

Kto wygrywa sumę gier? N gracz I) +N+N=N(czyli. N Suma gier na przykładzie Wythoff Nim

N+N=? Suma gier na przykładzie Wythoff Nim

Gra Nim N + + 8 N= N + 6 7 Gra Nim

Twierdzenie (Bouton 1901) (m, n, k) jest P pozycją w grze Nim m n k=0 Gra Nim

Gra Nim + 8 + 6 7= ? Gra Nim

8 1 4 2 8 =1 0 0 0 6= 110 7= 111 1 0 0=1+ 8=9 1 Dodawanie nim

Jaki jest ruch wygrywający (czyli do pozycji P)? (m, n, k) jest P pozycją w grze Nim + m n k=0 8 + 6 Wygrywa gracz I (pozycja N) 7= 9 Gra Nim

8 1 4 2 0001 1==1 8 0 6= 110 7= 111 0 100 0 1 + 8 1 + 6 Ruch wygrywający

Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy + 9 + 6 7 Gra w odejmowanie

Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy g( ) g(9) )+ g( g(6) ) + g( = g(7) ? Gra w odejmowanie

Jak obliczamy wartość nim pozycji? g( )= mex{ g( ), g( )} g(9) = mex{ g(8), g(7), g(6) } Funkcja Sprague-Grundy’ego

g(x) = 0 x jest P pozycją Funkcja Sprague-Grundy’ego

Twierdzenie Sprague. Grundy’ego o sumie gier g(G+H) = g(G) g(H) Twierdzenia Sprague-Grundy’ego

Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy g( + + ) g( ? )= g(9 + 6 + 7) = g(7) ) g(9) g(6) Gra w odejmowanie g(

Jak w Nim ale możemy zdjąć co najwyżej 3 elementy g( ) g(9) 3+2+1=0 g(6) g(7) = Gra w odejmowanie

2 1 g(8)= 0=0 0 g(6)= 2=1 0 g(7)= 3=1 1 01 + 8 + 6 Ruch wygrywający

2 1 g(8)= 0=0 0 g(6)= 2=1 0 ? =2=1 0 00 + 8 + 6 Ruch wygrywający

g( 4 )=0 g( 6 )=2 g( 5 )=1 Ruch wygrywający

Sumy gier w GO

Rodzaje gier kombinatorycznych

http: //playgo. to/iwtg/en/ http: //go. art. pl/