Jada T Lepikult 2003 Jada miste Kui igale

Jada © T. Lepikult, 2003

Jada mõiste Kui igale naturaalarvule n on vastavusse seatud mingi arv, siis öeldakse, et on antud jada (arvjada). Arvu n nimetatakse seejuures jada indeksiks ja temale vastavusse seatud arvu jada liikmeks ehk elemendiks. Indeksile n vastavat jada liiget tähistatakse sümboliga an, bn jne. Jada ennast märgitakse sümboliga (an) või (a 1, a 2, . . . , an, . . . ). Mõnikord jäetakse ka sulud kirjutamata. Jada 2, 4, 8, 16, . . . korral a 1 = 2, a 2 = 4, an = 2 n.

Aritmeetiline jada Jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme vahe on konstantne, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Näited Jada 2, 12, 22, 32, . . . on aritmeetiline jada, sest a 2 - a 1 = a 3 – a 2 = an – an-1 = 10 Jada -1, 1, -2, 2. . . ei ole aritmeetiline jada, sest a 2 - a 1 = 1 -(-1) = 2, aga a 3 – a 2 = -2 - 1 = -3. Aritmeetilise jada korral nimetatakse arvu d = a 2 - a 1 = an -1 jada vaheks.

Aritmeetilise jada üldliikme valem Aritmeetilise ja n. liikme võime leida esimese liikme a 1 ja jada vahe d abil: an = a 1 + ( n – 1)d. Näide 1 Kui sportlane hüppas esimesel regulaarsete treeningute aastal kaugust 6, 30 m ja lisas igal aastal tulemusele 30 cm, siis 5. aastal saavutas ta tulemuseks: a 5 = 6, 3 + ( 5 – 1)· 0, 3 = 7, 5 m. Näide 2 Esimesel aastal oli sama sportlase 100 meetri tulemus 12, 0 sek. ja igal aastal kärpis ta sellest 0, 2 sekundit. 5. aastal saavutas ta tulemuseks: b 5 = 12, 0 + ( 5 – 1)·(-0, 2) = 11, 2 sek.

Aritmeetilise jada liikmete summa Aritmeetilise jada n liikme summa sn = a 1 + a 2 +. . . + an arvutamiseks kasutatakse summa valemeid: Näide Esimesel aastal pärast auto ostmist sõitis omanik 25000 km, igal järgneval aastal 3000 km rohkem kui eelneval. Milline oli auto läbisõit seitsme aasta pärast? Lahendus km

Näide Esimene jalgrattur alustas sõitu kell 9, läbis esimeses tunnis 18 km ja igas järgnevas tunnis 3 km vähem kui eelmises. Tunni aja pärast alustas samast kohast sõitu teine rattur, kes läbis esimeses tunnis 15 km ja igas järgnevas tunnis 3 km rohkem kui eelmises. Mis kell ja mitme kilomeetri kaugusel lähtekohast teine rattur esimesele järgi jõuab? Lahendus Kummagi ratturi tunniteekonnad kujutavad aritmeetilisi jadasid: esimesel ratturil on jada esimene liige a 1 = 18 ja jada vahe d 1 = -3, teisel ratturil b 1 = 15 ja jada vahe d 2 = 3. Kui kohtumishetkeks on esimene rattur sõitnud n tundi, siis teine n – 1 tundi, kuna ta alustas 1 tund hiljem.

Näide (järg) Esimene rattur läbis n tunniga seega km ja teine rattur n – 1 tunniga km Võrdsustame läbitud kilometraažid: Lihtsustades saame n suhtes ruutvõrrandi:

Näide (järg) Selle võrrandi lahenditeks saame millest esimene on võõrlahend (ajavahemik ei saa olla negatiivne). Seega kohtuvad ratturid 4 tundi pärast esimese starti ehk kell 13. 00. Läbinud on nad selleks hetkeks:

Geomeetriline jada Jada, milles iga liikme ja temale eelneva liikme jagatis on konstantne, nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Näited Jada 2; 0, 02, . . . on geomeetriline jada, sest a 2 /a 1 = a 3 / a 2 =. . . = an / an-1 = 0, 1 Geomeetrilise jada korral nimetatakse arvu jada teguriks.

Geomeetriline jada üldliikme valem Geomeetrilise jada üldliikme võime leida valemi abil Jada liikmete summa leidmiseks võime kasutada valemit Kui q < 1, siis

Ülesanne (geomeetriline jada) Kolm arvu, mille summa on 93, kujutavad geomeetrilise jada järjestikuseid liikmeid. Samad arvud võivad olla ka aritmeetilise jada esimeseks, teiseks ja seitsmendaks liikmeks. Leidke need arvud. H. Uudelepp, A. Lõhmus, “Eksaminandile matemaatika riigieksamist 2003”, lk 38, ül. 5.

Lahendus (1) Tähistame geomeetrilise jada liikmed nii: Geomeetrilise jada üldliikme valemi põhjal saame: ja Ülesande tingimuse põhjal ehk siis (1) Tulemuseks on võrrand kahe tundmatu (u 1 ja q) suhtes.

Lahendus (2) Kuna samad arvud sobivad ka aritmeetilise jada esimeseks, teiseks ja seitsmendaks liikmeks, siis saame veel seosed Teisest küljest, aritmeetilise jada omaduste põhjal: ja

Lahendus (3) Viimases võrrandis on korrutis võrdne nulliga, seega peab vähemalt üks teguritest olema null. Lahend on esialgse ülesande suhtes võõrlahend, kuna siis oleksid kõik geomeetrilise jada liikmed nullid ja kolme jada liikme summa ei saaks olla 93. Teist tegurit nulliga võrdsustades saame ruutvõrrandi geomeetrilise jada teguri q suhtes: mille lahendid on ja

Lahendus (4) Esimese lahendi korral saame võrrandist (1): millest leiame Need kolm liiget sobivad ka aritmeetilise jada liikmeteks, mille vahe d = 0. Teise lahendi, korral saame võrrandist (1): Siit saame ka geomeetrilise jada ülejäänud kaks liiget:

Lahendus (5) Nende kolme arvu summa on tõesti 93 ja nad sobivad ka aritmeetilise jada esimeseks, teiseks ja seitsmendaks liikmeks, kui jada vahe d = 12: Vastus: Kolm otsitavat arvu on kas 31, 31 või 3, 15, 75.