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J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval

ÍNDICE ECUACIÓN DE ONDAS EN MEDIOS DIELÉCTRICOS NO HOMOGÉNEOS ECUACIÓN DE LAS TRAYECTORIAS PRINCIPIO DE FERMAT REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN LA ESFERA EN ZONA PARAXIAL SUCESIÓN DE SUPERFICIES ESFÉRICAS ECUACIONES DE CORRESPONDENCIA J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval

ECUACIÓN DE ONDAS EN MEDIOS DIELÉCTRICOS NO HOMOGÉNEOS J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 3/29

ECUACIÓN DE ONDAS EN MEDIOS DIELÉCTRICOS NO HOMOGÉNEOS Medio lineal, no homogéneo e isótropo J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 4/29

ECUACIÓN DE LAS TRAYECTORIAS Despreciando el último término (bastará con que w sea alta de modo que F varíe en distancias pequeñas comparadas con n): Ecuación de la eikonal Para hallar la solución de esta ecuación se ensayan soluciones monocromáticas de la forma: donde la amplitud se desarrolla en serie asintótica respecto de k 0 = 2 p/l 0 = w/c. J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 5/29

ECUACIÓN DE LAS TRAYECTORIAS En este desarrollo se obtiene: Una buena aproximación se obtiene sólo con el término: Para n=cte, se tiene: J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 6/29

ECUACIÓN DE LAS TRAYECTORIAS Cálculo del versor de s El versor se puede poner como el versor tangente a una curva , siendo el parámetro s la distancia recorrida sobre la curva. J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 7/29

ECUACIÓN DE LAS TRAYECTORIAS La solución es un continuo de rayos perpendiculares a las superficies de igual fase. De modo análogo para el resto de componentes del gradiente de n, se tiene: Si n no depende de : y el continuo de rayos son todas las rectas del espacio. J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 8/29

ECUACIÓN DE LAS TRAYECTORIAS Para n=n(z), nsinq es cte a lo largo del rayo: J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 9/29

ECUACIÓN DE LAS TRAYECTORIAS El carácter irrotacional del gradiente permite recuperar la ley de Snell de la refracción: L J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 10/29

PRINCIPIO DE FERMAT De la expresión se deduce el principio de Fermat: Dados y dos puntos, la curva del rayo que los une es tal que hace extremo (en general, mínimo) el tiempo de propagación de fase: También hace extremo el camino óptico: J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 11/29

PRINCIPIO DE FERMAT Demostración: J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 12/29

PRINCIPIO DE FERMAT Integramos por partes en las coordenadas x, y y z. Por ejemplo en x: Como A y B son fijos (todas las trayectorias pasan por ellos), el diferencial , y el primer sumando de la ecuación previa es cero. Por tanto: Una trayectoria física real se tendrá entonces cuando: J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 13/29

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN Camino óptico R B P Fermat A Normal a la superficie en I J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 14/29

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN Ley de la reflexión: El rayo incidente, el refractado y la normal están en un mismo plano (plano de incidencia) J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 15/29

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN Ley de Snell de la refracción: Vector tangente en I J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 16/29

LA ESFERA EN ZONA PARAXIAL b ni s<0 ai b h ai O P b Q nt > ni at R s’ n t Imagen de O at O’ Por el Principio de Fermat se puede obtener la ley de Snell: J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 17/29

LA ESFERA EN ZONA PARAXIAL b ni s<0 ai b h ai O P b Q J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval nt > ni at R s’ n t Imagen de O at O’ 18/29

LA ESFERA EN ZONA PARAXIAL b ni P ai s<0 b h ai O Rayos paraxiales: P próximo a Q sin x ≈ tan x ≈ x b nt > ni at R Q s’ n t Imagen de O at O’ Ley de Snell: Invariante de Abbe J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 19/29

LA ESFERA EN ZONA PARAXIAL f = distancia focal relativa al índice de refracción ni f’ = distancia focal relativa al índice de refracción nt J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 20/29

LA ESFERA EN ZONA PARAXIAL Para s’<0, se habla de imagen virtual (O’ a la izquierda de Q) J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 21/29

LA ESFERA EN ZONA PARAXIAL Criterio de Signos: Norma DIN (Deutsche Industrie Normen) Los rayos inciden de izquierda a derecha. Las distancias son positivas por la derecha y por encima del centro del sistema óptico (vértice). Los ángulos de incidencia y refracción del rayo con la normal son positivos si para hacer coincidir dicho rayo con la normal se debe girar en sentido horario. Los ángulos de una línea con el eje óptico son positivos si para hacer coincidir dicha línea con la normal se debe girar en sentido antihorario. J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 22/29

SUCESIÓN DE SUPERFICIES ESFÉRICAS P n 1 h 1 n 2 O s 1<0 R 2 d 1 h 2 R 1 s’ 1 n 3 s’ n at Rayos paraxiales t O’ s 2 s’ 2 Ecuación de Paso J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 23/29

SUCESIÓN DE SUPERFICIES ESFÉRICAS P n 1 h 1 n 2 O s 1<0 R 2 d 1 h 2 R 1 s’ 1 J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval n 3 s’ n at Rayos paraxiales t O’ s 2 s’ 2 24/29

SUCESIÓN DE SUPERFICIES ESFÉRICAS P n 1 h 1 n 2 O s 1<0 R 2 d 1 h 2 R 1 s’ 1 Por tanto: J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval f’>0 lente convexa f’<0 lente cóncava n 3 s’ n at t O’ s 2 s’ 2 Por la definición de foco Para sistemas con índices extremos iguales: f = -f’ 25/29

SUCESIÓN DE SUPERFICIES ESFÉRICAS La refracción, basada en la ley de Snell, depende de la orientación de los rayos en la superficie de la lente y no de su trayectoria fuera de esa interfase: LENTE DE FRESNEL Vaciado de una lente haciéndola más ligera manteniendo invariantes superficies y por tanto sus propiedades ópticas J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 26/29

ECUACIONES DE CORRESPONDENCIA Lente convergente e imagen real invertida s<0 P Vértice y O’ V O f<0 y’<0 f’ P’ Aumento lateral Ecuación de correspondencia de Newton J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 27/29

ECUACIONES DE CORRESPONDENCIA Lente divergente e imagen virtual directa Físicamente no se forma imagen s<0 P y O P’ O’ y’ s’<0 f’<0 V f Aumento lateral Ecuación de correspondencia de Newton J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 28/29

ECUACIONES DE CORRESPONDENCIA En ambos casos, la imagen de OP es realmente O’P’, ya que las ecuaciones de correspondencia coinciden con las de sucesión de superficies. J. C. Jiménez Sáez S. Ramírez de la Piscina Millán U. D. Física II Departamento de Física Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval 29/29