IV MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME MCU 2 1 Dfinition

IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU 2. 1. Définition : - La trajectoire du point du solide est un cercle (an =V 2/R= R. w 2= R. q’ 2) -Son accélération angulaire est nulle (w’=0) donc sa vitesse angulaire est constante au cours du temps (w = constante). 2. 2 Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement q 0 : la position angulaire initiale q : la position angulaire à l’instant t w = q’ = constante : la vitesse angulaire w’ = q’ ’ = 0 rd/s 2 : l’ accélération angulaire

2. 3. Équations du mouvement ou horaires: Formule utile : w’ = 0 w = constante q = w 0. t + q 0 w = 2 P. N / 60 Vitesse en tours/mn Vitesse en rd/s Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer w et q 0 par les valeurs trouvées. 2. 4. Graphes du mouvement: Graphe des abscisses angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des accélérations angulaires

V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : (M. C. U. V. ) 2. 1. Définition - La trajectoire du point du solide est un cercle (an=V 2/R= R. w 2= R. q’ 2) - L’ accélération totale du point est a= (an 2 + at 2)1/2 avec at=R. w’ =R. q’ ‘ - L’accélération angulaire du solide est constante (w’=constante). 2. 2 Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t 0 = 0 s : instant initial q 0 : la position angulaire initiale t : instant particulier du mouvement q : la position angulaire à l’instant t w 0 = q 0’ : la vitesse angulaire initiale w= q’ : la vitesse angulaire à l’instant t w’ = q’ ’ = constante : l’ accélération angulaire

2. 3. Équations du mouvement ou horaires: w’ = constante Formule utile : w = w’. t + w 0 w’ = w 2 – w 02 / [2( q – q 0 )] q = ½. w’. t 2 + w 0. t + q 0 Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer w’ , w 0 et q 0 par les valeurs trouvées. 2. 4. Graphes du mouvement: Graphe des abscisses angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des accélérations angulaires

Relation entre l’abscisse curviligne s et l’abscisse angulaire q : s=R. q (m) = (m). (rd) Exemple du périmètre du cercle : P = R. 2 P

Relation entre la vitesse linéaire V et la vitesse angulaire w = q’ : v=R. w =R. q’ (m/s) = (m). (rd/s) D’après Thalès : w =VN/ON = VP/OP = VM/OM

Relation entre l’accélération linéaire a et l’accélération angulaire w’=q’’ : at = R. w ’ = R. q ’’ an = R. w 2 = R. q ’ 2 (m/s 2) = (m). (rd/s 2) (m/s 2) = (m). (rd/s) 2 a D’après Pythagore : a = ( at 2 + an 2 ) 1/2

Exercice 1: touret à meuler 1. 1/ Calculez la vitesse de déplacement d'un point M situé à la périphérie de la meule. Sa vitesse de rotation est de 3000 tr/mn. formule littérale : Application numérique : VM = R. w = R. 2 P. N/60 VM = 0. 06 m. (2 P. 3000/60)rd/s VM = 18, 84 m/s

Exercice 1: touret à meuler 1. 2/ Calculez l'accélération de ce même point. formule littérale : a. M = (at 2 + an 2) 1/2= an =V 2/R Application numérique : a. M = 18, 842 / 0, 06 a. M = 5 916 m/s 2

Exercice 2: hélice d’avion (trajectoires) L‘extrémité de l’hélice d’un avion ne doit pas dépasser la vitesse de 340 m/s afin d’éviter sa détérioration 2. 1/ Tracer la trajectoire des points A et E appartenant à l'hélice 1 par rapport à l'avion 0. On donne OE=1, 2 m et OA=0, 6 m. T T E, 1/0 : cercle (O, OE) A, 1/0 : cercle (O, OA)

Exercice 2: hélice d’avion (vitesses) Données : OE=1, 20 m 2. 2/ Calculer la vitesse de l’hélice si VE, 1/0 =340 m/s. formule littérale : V E, 1/0 = R. w = OE. w 1/0 => w 1/0 = V A. N. : E, 1/0 / OE w 1/0 = 340 (m/s) / 1. 2 (m) = 283 rd/s 2. 3/ Tracer VE, 1/0. En déduire graphiquement V V A, 1/0. VE, 1/0 = 170 m/s VA, 1/0 Échelle des vitesses : 1 cm => 100 m/s

Exercice 2: hélice d’avion (accélération) 2. 4/ Calculer l'accélération du point E appartenant à l'hélice 1 dans son mouvement par rapport à l'avion 0, notée a (E, 1/0). Sa vitesse critique de 340 m/s est constante. formule littérale : a E, 1/0 = (at 2 + an 2) 1/2= an =V 2/R A. N. : a E, 1/0 = 3402 / 1, 2 = 96 333 m/s 2 a E, 1/0

Exercice 2: Arrêt de l’hélice d’avion La vitesse de cette hélice est de 283 rd/s. Lorsque le moteur est coupé, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2. 5/ Calculer le nombre de tours effectués pendant ces 3 s. Pour cela, écrire les équations horaires q(t), q’(t) et q’’(t).

Réponses : Résolution : L’hélice s’arrête => MCUV CI t=0 s t=3 s q 0=0 rd q= 426 rd q’=0 rd/s q’’ = - 94 rd/s 2 * q = ½. q’’. t 2 + q’ 0. t + q 0 = [- 47. 32 + 283. 3] = 426 rd Calcul du nombre de tours n : n = q / 2 P = 426/2 P =68 trs Équations du mouvement : q = - 47. t 2 + 283. t 0 = q’’. 3 + 283 q’’ = - 94 rd/s 2 CF q’ 0=283 rd/s * q’ = q’’. t + q’ 0 rd q’ = - 94. t + 283 rd/s q’’ = - 94 rd/s 2

Exercice 2: arrêt de l’hélice d’avion Lorsque le moteur entraînant l'hélice est arrêté, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2. 6/ Calculer a (E, 1/0) à l'instant t = 2 s.

Réponses : Équations horaires: 0<t<3 s formule littérale : q’’ = - 94 q’ = - 94. t + 283 a E, 1/0 = (an 2 + at 2)1/2 Application numérique : * an = R. q’ 2 Calcul de q’ à t=2 s : q = - 47. t 2 + 283. t q’ = - 94. 2 + 283 = 95 rd/s => an = R. q’ 2 = 1, 2. 952 = 10 830 m/s 2 * at = R. q’’ => at = 1, 2. -94 = -113 m/s 2 Donc a. E 1/0 = [ 10 8302 + (-113)2 ]1/2 a. E 1/0 = 10 830 m/s 2

Exercice 3 : transmission Soit la chaîne cinématique d’une transmission de puissance. Le moteur atteint sa vitesse de régime 3000 tr/min en 2 s. Le rapport de réduction des roues dentées 3 et 4 est de 1/4. Étude du démarrage à vide : 3. 1/ Déterminer les équations du mouvement et le nombre de tours effectués par l’arbre 2 pendant le démarrage.

Réponses : démarrage MCUV r = Ns/Ne => Ns = r. Ne Ns. = (1/4). 3000 =750 tr/mn CI CF t=0 s t=2 s q 0=0 rd q= q’ 0 =0 rd/s q’= 25 Prd/s q’’ = Calcul de la vitesse de l’arbre 2 : 25 P rd 12, 5 P rd/s 2 Équations du mouvement : q = 6, 25 P. t 2 rd w = q’= 12, 5 P. t rd/s w’= q’’= 12, 5 P rd/s 2 q’ s =(2 P/60). Ns = 25 P rd/s * q’ = q’’. t + q’ 0 25 P = q’’. 2 + 0 q’’ = 12, 5 P rd/s 2 * q = ½. q’’. t 2 + q’ 0. t + q 0 q = 6, 25 P. 22 q = 25 P rd Calcul du nombre de tours à t=2 s : n = q / 2 P = 25 P / 2 P n = 12. 5 tours

3. 2/ Déterminer la vitesse VI 2/0 et l’accélération AI 2/0 max. CI CF t=0 s q 0=0 rd q’ 0 =0 rd/s w’ =12, 5 t=2 s q=25 P rd q’=25 Prd/s P rd/s 2 Calcul de VI 2/0 maxi: Formule littérale : V = R. w A. N. : VI 2/0 = 0. 16 m. 25 Prd/s = 4 P m/s Calcul de a. I 2/0 maxi: Formule littérale : a =(at 2 + an 2)1/2 =[ (R w’)2+ (V 2/R)2 ]1/2 A. N. : a. I 2/0 = [(0, 16. 12, 5 P)2 + (16 P 2 / 0, 16)2]1/2 a. I 2/0 = [(2 P)2 + (100 P 2)2]1/2 = 987 m/s 2

Exercice 3 : Étude du freinage 3. 3/ l’arrêt s’effectue en 2, 5 tours. Le constructeur signale un arrêt sécurisé de la machine en moins de 1 s. Vérifier ses propos.

Réponses : freinage formule utile : MCUV * q’’ = [q’ 2 - q’ 02] / 2(q-q 0) CI t=0 s q 0=0 rd => q’’ = -(25 P)2 / 2. (5 P) CF q’’ = -62, 5 P rd/s 2 0, 4 s q=2, 5. (2 P)rd t= * q’ = q’’. t + q’ 0 =25 Prd/s q’=0 rd/s q’’ = -62, 5 P rd/s 2 0 = -62. 5 P. t +25 P t = -25 P /-62. 5 P Équations du mouvement : t = 0, 4 s < 1 s q = -31, 25 P. t 2 +25 P. t rd q’ = -62. 5 P. t +25 P rd/s q’’= -62, 5 P rd/s 2 CQFV

3. 4/ Tracer le graphe de vitesses q’ (rd/s) 25 p t (s) 0 2 9, 6 10

Exercice QCM 4: La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation q = 6. t 2 + 3 t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? q 10 tours q 45 tours q 63 tours

Exercice QCM 5: Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation q = 6. t 2 + 3 t, a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. q q q s = 10 m s = 6, 3 m s = 3, 15 m

Exercice QCM 6: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6. t 2 + 3 t. Quelle est son accélération angulaire ? q w’ = 12 rd/s 2 q w’ = 9 rd/s 2 q w’ = 6 rd/s 2

Exercice QCM 7: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6. t 2 + 3 t. Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? q q q w 0 = 3 w 0 = 6 w 0 = 12 rd/s

Exercice QCM 8: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6. t 2 + 3 t. Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ? q q q w = 6 t + 3 w = 3. (4 t + 1) w = 12 t + 1 rd/s

Exercice QCM 9: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s q q q w = 120 rd/s w = 7200 rd/s w = 10943 rd/s

Exercice QCM 10: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ? q q q w’ = 10 w’ = 30 w’ = 90 rd/s 2

Exercice QCM 11: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = -3 t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? q q q t = 12 s t = 3 s t = 1 s

Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = -3 t + 9 Quelle est l’équation définissant la position du solide ? du mouvement : q 0 = 0 rd q q = -3. t 2 + 9 t q = -6. t 2 + 9 t q = -1. 5. t 2 + 9 t

Exercice QCM 13: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12, 5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? q q q w’ = - 50 P rd/s 2 w’ = - 100 P rd/s 2 w’ = - 200 P rd/s 2

Corrigé Exercice QCM 4: La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation q = 6 t 2 + 3 t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? q = 6 t 2 + 3 t q = 6 x 32 + 3 x 3 = 63 rd n = q/2 P = 10 tours q 45 tours q 63 tours

Corrigé Exercice QCM 5: Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation q = 6 t 2 + 3 t , a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. s = R q s = 0, 05 m x 63 rd = 3, 15 m q q s = 10 m s = 6, 3 m s = 3, 15 m

Corrigé Exercice QCM 6: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6 t 2 + 3 t Quelle est son accélération angulaire ? q = ½ w’t 2 + w 0 t + q 0 q = 6 t 2 + 3 t w’ = 12 rd/s 2 q w’ = 9 rd/s 2 q w’ = 6 rd/s 2

Corrigé Exercice QCM 7: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6 t 2 + 3 t Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? q = ½ w’t 2 + w 0 t + q 0 q = 6 t 2 + 3 t q q w 0 = 3 w 0 = 6 w 0 = 12 rd/s

Corrigé Exercice QCM 8: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation : q = 6 t 2 + 3 t Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ? w = q ’ = 12 t + 3 = 3(4 t + 1) q q w = 6 t + 3 w = 3(4 t + 1) w = 12 t + 1 rd/s

Corrigé Exercice QCM 9: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s N = 1146 tours/minute w = 2 P N / 60 = 120 rd/s q q w = 120 rd/s w = 7200 rd/s w = 10943 rd/s

Corrigé Exercice QCM 10: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ? w = w’ t + w 0 150 = w’ 3 + 120 w’ = 30 / 3 q q w’ = 10 w’ = 30 w’ = 90 rd/s 2

Corrigé Exercice QCM 11: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = -3 t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? w = -3 t + 9 0 = -3 t + 9 t=-9/-3 =3 s q q t = 12 s t=3 s t = 1 s

Corrigé Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = - 3 t + 9 Quelle est l’équation définissant la position du solide ? commence On mesurer l’angle à début balayé au du mouvement : q 0 = 0 rd 2 Þ w’ = 3 rd/s w = - 3 t + 9 = w’ t + w 0 Þ w 0 = 9 rd/s q q q = -3. t 2 + 9 t q = -6. t 2 + 9 t q = -1. 5. t 2 + 9 t

Corrigé Exercice QCM 13: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12, 5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? Données : N=1500 tr/mn w = 2 P N / 60 = 50 P rd/s n=12, 5 tours q = 2 P. n = 25 P rd Formule littérale : w’ = (w 2 -w 02) / 2(q-q 0) Application num. : w’ = - (50 P)2 / 2(25 P) q q w’ = - 50 P rd/s 2 w’ = - 100 P rd/s 2 w’ = - 200 P rd/s 2