IV Infinitesimal Exhaustion Eudoxos von Knidos 408 355

IV Infinitesimal

Exhaustion Eudoxos von Knidos (408 - 355) Astronom und Mathematiker Mit 23 Jahren für zwei Monate Schüler Platons. Auch in Ägypten mit Platon zusammen. Später mit zahlreichen Schülern Aufenthalt in Athen in Platons Akademie. Aristophanes (445 - 385): Die Wolken, Vers 1005: In Akademos' heil'gem Olivenhain wirst du im Schatten lustwandeln, Lichtgrünes Schilflaub umkränzt dir das Haar, und zur Seite geht sittsam ein Freund dir, .

In Akademos' heil'gem Olivenhain wirst du im Schatten lustwandeln, Lichtgrünes Schilflaub umkränzt dir das Haar, und zur Seite geht sittsam ein Freund dir, Und es duftet vom Geißblatt und Feiertag und vom Silberlaube der Pappeln, Wenn sich selig im Frühlingsschimmer vermählt das Flüstern von Ulm' und Platane.

Exhaustion Eudoxos von Knidos (408 - 355) Astronom und Mathematiker Mit 23 Jahren für zwei Monate Schüler Platons. Auch in Ägypten mit Platon zusammen. Später mit zahlreichen Schülern Aufenthalt in Athen in Platons Akademie. Würfelverdopplung mit einer Bogenlinie (verlorengegangen) Delisches Problem

Krösus (590 - 541) Lydischer König Pythia

Exhaustion Eudoxos von Knidos (408 - 355) Astronom und Mathematiker Mit 23 Jahren für zwei Monate Schüler Platons. Auch in Ägypten mit Platon zusammen. Später mit zahlreichen Schülern Aufenthalt in Athen in Platons Akademie. Würfelverdopplung mit einer Bogenlinie (verlorengegangen) Himmelseinteilung in Sternbilder Proportionenlehre unter Einbeziehung des Irrationalen Volumen von Pyramide und Kegel mittels Exhaustion

Archimedes (287 - 212) Schneckenlinie: Drehung einer Geraden, auf der ein Punkt mit konstanter Geschwindigkeit läuft. Berührungslinie und Fläche mittels Exhaustion. VZyl = 2 pr 3 VSph = (4/3)pr 3 (Archimedes) VKon = (2/3)pr 3 (Demokrit, Eudoxos)

Kugeloberfläche = 4 * Großkreisfläche pr 2 Kugeloberfläche = 2/3 * Zylinderoberfläche (2*pr 2 + 2 pr*2 r) VZyl = 2 pr 3 VSph = (4/3)pr 3 (Archimedes) VKon = (2/3)pr 3 (Demokrit, Eudoxos)

Kugeloberfläche = 4 * Großkreisfläche pr 2 Kugeloberfläche = 2/3 * Zylinderoberfläche (2*pr 2 + 2 pr*2 r) Berechnung der Zahl p aus dem 96 -eck: 3 + 1/7 > p > 3 + 10/71 3, 1428. . . > 3, 1415. . . > 3, 1408. . .

Exhaustion x 2 Eudoxos (410 – 355) a 2 A = a 3/2 A a x Archimedes (287 – 121) A = A/4

Exhaustion Indivisiblen Analogie zur Untersumme der Integralrechnung. Die dort verwendeteten infinitesimalen Größen, die Differentiale "streben" gegen Null. Annahme von unendlich vielen diskreten Indivisiblen: "Atome" der Fläche oder des Volumens Das Kontinuum ist der "Fluxus" der Indivisiblen.

f(x) Bernhard Riemann (1826 – 1866) Henri Lebesgue (1875 – 1941) Obersumme x Untersumme x

Anfänge der Differentialrechnung Pierre de Fermat (1601 - 1665) Dichtete in Latein, Griechisch, Italienisch, Spanisch Studium der Rechte, vermutlich in Bordeaux leitender Richter in Toulouse Begründer modernen Zahlentheorie 1652 an Pest erkrankt, totgesagt, wieder genesen Grabsteininschrift (Castres): Starb im Alter von 57 Jahren Mathematisches Reihensummierung, Binomialkoeffizienten, Wahrscheinlichkeitstheorie, Vollständige Induktion, Extremwertaufgaben, Zahlentheorie: Primzahlen, vollkommene Zahlen Löste virtuos Aufgaben wie: Gibt es eine vollkommene Zahl zwischen 1020 und 1022 ?

Extremwertaufgaben (1629) B ist in zwei Teile zu zerlegen, welche das größte Produkt ergeben: A und B - A A + E und B - A - E A(B - A) = (A + E)(B - A - E) 0 = E(B - 2 A -E) 0 = B - 2 A - E (E 0) 0 = B - 2 A Im Ergebnis: [{F(A+E) - F(A)} / E]E=0 = 0 oder d. F(A)/d. A = 0 Erfindung der Differentialrechnung 35 Jahre vor Newton.

Infinitesimalrechnung (Calculus) Sir Isaac Newton (1642 - 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) Vater: Leibnütz, Notar und Professor der Moral, Familie aus Polen eingewandert in Druckschriften: Leibnuzius, Leibnitius, Unterschrift: Leibniz, selten Leibnitz Geschwür am Hinterkopf zwingt zur Perücke. Studium (mit 15 Jahren begonnen): Rechte, Philosophie, Logik, Mathematik (höchst elementar) in Leipzig und Jena 1664 Magister phil. 1665 Baccalaureus jur. 1667, Altdorf bei Nürnberg: Doktor beider Rechte sofort ergangenes Professurangebot abgelehnt.

Leonhard Euler (1707 - 1783) Dort auch p (eingeführt von Jones) verwandt. Unendlich, zunächst mit i oder dem liegenden S abgekürzt, später mit : Größe, zu der man durch ohne Ende angehäufte Zuwächse gelangt 2 , ( +1)/2, log

Institutiones calculi differentialis (1755) behandelt Rechnen mit endlichen Differenzen Dx. Differentialrechnung ist Spezialfall für unendlich kleines Dx = dx. arithmetische Gleichheit: a-b = 0 geometrische Gleichheit: a/b = 1 dx, dy sind arithmetisch gleich. dx = dy = 0, aber geometrisch meistens ungleich: dy/dx 1 a/dx 2 quantitas infinita infinities maior quam a/dx

Zenon von Elea (490 - 430) Das wahre Sein entzieht sich dem messenden Erfassen. Es gibt keine Bewegung: Der fliegende Pfeil Die halbe Strecke Achilles und die Schildkröte Es gibt kein Geräusch: Der Sack voll Hirse. 1) Es müssen notwendig gerade so viele Dinge sein, als eben wirklich sind, weder mehr noch weniger. Wenn aber so viele Dinge sind, als eben sind, dann sind sie der Zahl nach begrenzt. 2) Es gibt stets andere Dinge zwischen diesen Dingen und wieder andere zwischen jenen. Und damit sind die seienden Dinge der Zahl nach unbegrenzt. Raum, Vielheit und Teilbarkeit sind nicht widerspruchsfrei in Begriffe zu fassen.

Appendix

Solving 4 r 2/a by geometric algebra