IUT de Toulon GEII 2me anne Cours de

IUT de Toulon GEII 2ème année Cours de Mathématiques Bruno ROSSETTO tél. 06 08 45 48 54 email: rossetto@univ-tln. fr site: http: //rossetto. univ-tln. fr IUT de Toulon B. Rossetto 1

Cours de Mathématiques o Sommaire du module MA 31 Analyse de Fourier, Mathématiques pour le signal discret Rappel – Transformée de Laplace Chap. 1 2 3 4 IUT de Toulon – – Transformation de Fourier Transformée en z Suites numériques Séries numériques, séries entières B. Rossetto 2

Cours de Mathématiques o Module MA 32 Séries de Fourier, Fonctions à plusieurs variables o Module MC M 2 (semestre 4) Algèbre linéaire et applications o Module MC M 3 (semestre 4) Probabilités et statistiques inférentielles IUT de Toulon B. Rossetto 3

Transformée de Laplace o Définition IUT de Toulon B. Rossetto 4

Transformée de Laplace o Exemples U(t) 1 0 t Echelon unité U(t)e-at, a> 0 1 0 t Exponentielle décroissante IUT de Toulon Note: la TL n’est pas définie pour tout p: la partie réelle de p doit être plus grande qu’une valeur, l’abscisse de convergence. B. Rossetto 5

Transformée de Laplace o Propriété de linéarité IUT de Toulon B. Rossetto 6

Transformée de Laplace o Propriété de linéarité Exercice. Retrouver les expressions des TL suivantes: IUT de Toulon B. Rossetto 7

Transformée de Laplace o Propriétés 1 t 0 T Impulsion R(t) t 0 Rampe IUT de Toulon B. Rossetto 8

Transformée de Laplace o Propriétés IUT de Toulon B. Rossetto 9

Transformée de Laplace o Convolution U(t) 1 U(t-t) 0 t IUT de Toulon B. Rossetto 10

Transformée de Laplace o Opérateurs Exercice. Un signal à support temporel borné [O, T] est périodisé avec une période T. Retrouver l’expression de sa TF (cf. le tableau) IUT de Toulon B. Rossetto 11

Transformée de Laplace o Systèmes linéaires stationnaires E(t) e(p) H(t) h(p) IUT de Toulon S(t) s(p) B. Rossetto 12

Transformée de Laplace o Systèmes linéaires stationnaires E(t) e(p) H(t) h(p) S(t)=(E(t)*H(t))t = s(p)=e(p). h(p) Dans l’espace temps Au niveau des TL Entrée E(t) e(p) SLS H(t) (rép. percussionnelle) h(p) (fonction de transfert) Sortie S(t)=E(t)*H(t) s(p)=e(p). h(p) IUT de Toulon B. Rossetto 13

Transformée de Laplace o Déconvolution 1. Décomposition en éléments simples de première espèce Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (p-a) 2 (resp. p - b) et on fait p = a (resp. p = b). On trouve : Pour calculer B, on multiplie l’équation par (p-a) et on fait tendre p vers l’infini. On trouve: B = - C. Les originaux des éléments simples peuvent alors être trouvés directement à partir des tables de TL usuelles. IUT de Toulon B. Rossetto 14

Transformée de Laplace o Déconvolution 2. Décomposition en éléments simples de deuxième espèce C’est le cas où le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce : IUT de Toulon B. Rossetto 15

Transformée de Laplace o Déconvolution Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire E(t)=U(t) H(t)= ? h(p)= ? S(t) On applique un échelon unité à l’entrée d’un système linéaire stationnaire inconnu. On mesure S(t) en sortie. Déterminer la réponse percussionnelle et la fonction de transfert du système. Exercices. Calculer les fonctions du temps qui ont pour TL les expressions suivantes: IUT de Toulon B. Rossetto 16

Transformée de Laplace o Calcul opérationnel Exercice. d(t) 1 0 t Distribution de Dirac d(t) H(t)= ? h(p)= ? IUT de Toulon B. Rossetto 17

Transformée de Laplace o Réponses Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire Réponse: H(t) est la dérivée de S(t) Exercices. Eléments de réponse: IUT de Toulon B. Rossetto 18