Istituzioni di Fisica Subnucleare A Bettini 2006 Capitolo

Istituzioni di Fisica Subnucleare A. Bettini 2006 Capitolo 1 Gli strumenti 1. Relatività, particelle, interazioni C. 1 A. Bettini 1

Trasformazioni di Lorentz 4 -vettore coordinate (ict , r) La sua norma (scalare) è l’intervallo 4 -vettore energia-momento (ic. E , p) La sua norma è uno scalare, la massa N. B. Il gruppo di Lorentz contiene una costante, positiva, indicata con c 2 Ha il significato fisico di quadrato della velocità di propagazione dell’informazione, quindi delle onde fondamentali (elettromagnetiche e gravitazionali) C. 1 A. Bettini 2

Richiami di relatività I processi fisici rilevanti per lo studio della fisica subnucleare avvengono ad energie confrontabili o maggiori, anche molto maggiori, delle energie di riposo delle particelle coinvolte Le particelle si muovono sia negli acceleratori sia negli apparti che le rivelano con velocità prossime a c La loro descrizione è quindi relativistica Due tipi di fenomeni 1. L’urto: nello stato iniziale ci sono due particelle, nello stato finale due o più 2. Il decadimento: una particella decade in due o più particelle 3. In entrambi i casi l’interazione avviene per un tempo brevissimo, rispetto a quelli misurabili 4. Le particelle nello stato iniziale e in quello finale sono quindi “libere”, non interagiscono tra loro 5. Situazione diversa. I protoni, i neutroni (in genere gli adroni) sono particelle composte. I quark sono particelle elementari legate negli adroni dall’interazione “forte”. 6. I quark non sono particelle libere. C. 1 A. Bettini 3

Massa, energia, quantità di moto La massa m di un corpo è un invariante relativistico, non dipende dalla velocità, è una caratteristica del corpo, come la carica La quantità di moto è Esistono particelle con massa nulla m = 0. Non esiste analogo non-relativistico • il fotone • non i neutrini (sono tre: ne, nm e nt). Si pensavano tali, ma si è trovato che hanno masse piccolissime, ma non nulle I corpi di massa nulla hanno velocità c in ogni riferimento e pc = E Se m≠ 0, la quantità di moto è anche L’equazione del moto è Per v 0, 1 quindi p mv la massa m è quella di Galileo-Newton Relazione tra massa, energia e q. d. m. per una particella libera C. 1 A. Bettini 4

La massa e l’energia L’energia in generale è somma quadratica dell’energia di massa e dell’energia di moto Per un corpo fermo, solo energia di massa (energia a riposo) E 0=mc 2 Per un corpo ultrarelativistico contributo dell’energia di massa è piccolo Se la massa è nulla (mai fermo) E = pc Attenzione! La “famosa equazione di Einstein” E=mc 2 non è corretta L’equazione corretta è E 0=mc 2 C. 1 A. Bettini 5

La legge del moto per una particella Equazione corretta Equazione errata La forza non è parallela all’accelerazione, ma ha anche un pezzo parallelo alla velocità L’accelerazione non è parallela alla forza, ma ha anche un pezzo parallelo alla velocità Casi particolari F v F = m 3 a F v F = m a ”massa longitudinale” = m 3 ”massa trasversale” = m Non si può definire in maniera non ambigua la massa come inerzia al moto Forza e accelerazione non sono in generale parallele C. 1 A. Bettini 6

La massa in meccanica quantistica La descrizione dei fenomeni connessi con la fisica subnucleare è quantistica. Notiamo qui che Massa è una proprietà degli stati stazionari = autostati della Hamiltoniana libera Analogia: la pulsazione è una proprietà delle sole onde monocromatiche. Non ha senso parlare di pulsazione di una funzione la cui dipendenza dal tempo non sia una funzione armonica Anche tra le particelle elementari esistono sistemi quantistici a due stati (K˚-≠K˚, B˚-≠B˚, ecc. ) e a tre stati (ne, nm, nt) che sono prodotti dall’interazione responsabile in stati non stazionari, per i quali non si può definire la massa (e la vita media). Le masse sono definite per gli stati stazionari, combinazioni lineari di quelli. C. 1 A. Bettini 7

Massa di un sistema di particelle Due casi: le particelle componenti possono essere 1. libere, cioè, le distanze tra loro sono abbastanza grandi da poterne trascurare le interazioni 2. interagenti, come i quark in un protone, i nucleoni in un nucleo, gli elettroni in un atomo, ecc. Particelle libere quantità di moto della i-esima energia della i-esima infatti è libera Massa del sistema L’energia e la quantità di moto di un sistema di particelle non interagenti è la somma delle loro energie e delle loro quantità di moto, rispettivamente La sua massa non è (in generale) la somma delle loro masse, ma dipende dalle direzioni relative delle q. d. m. C. 1 A. Bettini 8

La massa di un sistema di due fotoni 2 fotoni della stessa energia E stessa q. d. m. p=E/c E p=E/c Direzioni parallele e stesso verso Direzioni parallele e versi opposti E Etot =2 E, ptot = 2 E/c mtot=0 Etot =2 E, ptot = 0 p=E/c mtot= 2 E/c 2 0 < mtot< 2 E/c 2 Direzioni diverse La massa non è una misura della quantità di materia del corpo C. 1 A. Bettini 9

Unità di misura naturali. Prima semplificazione Per semplificare le formule conviene adottare il sistema di unità di misura “naturali” L’unità fondamentale è il tempo (come nel SI) L’unità di misura della lunghezza viene fissata in modo che c=1. È la distanza percorsa dalla luce in 1 s. [L] = [T] Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisiche Per esempio 1 Ge. V = 1. 6 x 10– 10 J C. 1 A. Bettini 10

La massa del sistema di due particelle libere La massa di un sistema di più particelle viene a volte chiamata “massa invariante”, ma l’aggettivo è inutile (e fuorviante, la massa è sempre invariante) Il quadrato della massa viene spesso indicato con s In un riferimento qualunque Due riferimenti importanti LABORATORIO: una ferma = bersaglio una in volo = proiettile (nel fascio) CENTRO DI MASSA: il sistema di riposo in cui P = 0 massa (invariante) del sistema = √s = Ec. m. C. 1 A. Bettini 11

Sistema di particelle interagenti Energia e quantità di moto del sistema non sono semplicemente le somme delle energie e q. d. m. dei suoi componenti Ci sono anche energia e quantità di moto dei campi con cui interagiscono La situazione può essere molto complessa Ma ci sono casi importanti nei quali possiamo semplificare Una particella che si muove in un campo stazionario, cioè in un potenziale dato Esempio: un elettrone (carica qe) nelle vicinanze (distanza r) di un nucleo (carica Zqe) MN >> me quindi il nucleo sta fermo. Il moto dell’elettrone non lo disturba. Mettiamo l’origine del riferimento nel nucleo fermo L’elettrone si muove nel potenziale stazionario La velocità dell’elettrone v<<c, quindi Nell’atomo gli elettroni rimangono tali (ad es. non trovano positroni con cui annichilarsi), l’energia di massa è una costante. Quindi l’energia è come nel caso classico C. 1 A. Bettini 12

Sistema di particelle interagenti N. B. Il concetto di potenziale non è relativistico. Supponiamo che “l’atomo” sia composto da un e– e da un e+. Non c’è un centro di forza che stia fermo. Il sistema è composto dall’elettrone, dal positrone e dal campo e. m. da essi generato e nel quale si muovono, se la descrizione fosse quella della fisica classica. Inoltre ci sono processi quantistici: i due possono annichilarsi e+e– ; rimane solo il campo Un fotone del campo può di nuovo produrre una coppia e+e– [Perché questi processi avvengano deve essere presente un altro corpo, vedi poi] Criterio (2 equivalenti) Si può usare il concetto di potenziale se le energie in gioco sono << masse se le velocità << c OK negli atomi e nei nuclei Non OK nei nucleoni C. 1 A. Bettini 13

Esempio. L’urto macroscopicamente anelastico Consideriamo due corpi con la stessa massa m e con la medesima velocità che siano diretti inizialmente l’uno contro l’altro (due palline di cera ad esempio). I due corpi si urtano e rimangono appiccicati, formando un corpo di massa M L’energia cinetica finale è nulla ma l’energia totale è rimasta invariata. È aumentata di altrettanto l’energia a riposo. La conservazione dell’energia in questo caso è La massa del corpo composto è M > 2 m, ma di poco Esempio. Prendiamo velocità alta rispetto alle ordinarie =300 m/s. Rispetto a c però è piccola, = /c = 10– 6. Sviluppando in serie La differenza è così piccola da non essere misurabile direttamente. L’aumento di energia di massa, macroscopicamente appare come aumento di temperatura (cioè di energia cinetica delle molecole) C. 1 A. Bettini 14

Esempio. L’atomo di idrogeno è costituito da un elettrone ed un protone Il lavoro necessario per separarli, cioè l’energia di legame è DE = 13. 6 e. V In corrispondenza la massa dell’idrogeno m. H è minore della somma delle masse del protone mp e dell’elettrone me La differenza relativa di massa, il rapporto tra differenza di massa e massa dell’idrogeno, è una piccolissima frazione come si vede. Il che giustifica l’approssimazione non relativistica C. 1 A. Bettini 15

Esempio. La fissione e la fusione nucleari I nuclei più massicci, come l’Uranio, tendono ad essere instabili; possono spontaneamente o forzandoli dall’esterno (facendo loro assorbire un neutrone) spaccarsi in due. M = massa del nucleo originario m 1 e m 2 = masse dei frammenti. Risulta che: m 1 + m 2 < M Conservazione dell’energia (un. nat. ) La somma delle energie cinetiche dei frammenti è l’”energia nucleare” utilizzata nelle centrali a fissione Viceversa, il nucleo di He è molto stabile, la sua massa è minore della somma delle masse dei nucleoni (2 p e 2 n) costituenti L’energia del sole I difetti di massa nucleari sono enormi rispetto a quelli atomici o molecolari. La forza forte è infatti molto maggiore di quella elettromagnetica Ma ancora l’approssimazione non relativistica funziona Non così per gli adroni C. 1 A. Bettini 16

Esercizio. Avviene o no? Nel vuoto possono avvenire i seguenti processi? Sia E l’energia del gamma, Ef, pf energia e q. d. m. dell’elettrone finale s= (E +me)2 – p 2= 2 me. E ���� = Ef 2 – pf 2 = me 2 2 me. E = 0 NO E 1 e p 1 energia e momento di e+, E 2 e p 2 energia e momento di e– s = 0=(E 1+ E 2)2–(p 1+ p 2)2 = 2 me 2+2(E 1 E 2 – p 1 p 2 cos )>2 me 2>0 È l’inversa delle precedente. NO NO NB. In tutti i casi il problema nasce dall’impossibilità di soddisfare contemporaneamente la conservazione dell’energia e quella del momento e+ Le reazioni avvengono in natura nel campo Coulombiano di un nucleo; questo rincula, garantendo la conservazione del momento C. 1 A. Bettini e– p 17

Unità di misura naturali h =6. 58 x 10– 22 Me. V s c = 3 x 1023 fm/s hc = 197 Me. V fm (Ge. V am) Poniamo (già visto) c = 1, ridefinendo l’unità di misura delle lunghezze L’unità di misura del tempo = il secondo Unità di misura delle lunghezze = distanza percorsa dalla luce in un secondo [L] = [T] Massa, energia, quantità di moto hanno le stesse dimensioni fisiche Poniamo h =1, ridefinendo l’unità di misura della massa Per le conversioni Dimensioni dell’energia [E]=[L– 1]=[T– 1] 1 Me. V = 1. 53 1021 s– 1 NB. In UN h=2π 1 Me. V– 1 = 197 fm 1 s = 3 1023 fm 1 s– 1= 6. 5 10 -16 e. V 1 m = 5. 07 104 e. V– 1 1 m– 1 = 1. 97 10– 7 e. V– 1 Si può ridefinire anche l’unità di misura della carica elettrica. Unità Heaviside-Lorentz e 0= m 0= 1 Alcuni autori (letteratura passata e non solo) 4πe 0=1 C. 1 A. Bettini Carica elementare al quadrato 18

Energia e tempo Il simbolo m può significare • La massa m • L’energia di riposo mc 2 • L’inverso della lunghezza Compton h/mc • L’inverso del tempo impiegato dalla luce a percorrere la lunghezza Compton h/mc 2 Lunghezza d’onda Compton del π (m=140 Me. V) Tempo impiegato a percorrerla a velocità c C. 1 A. Bettini 19

Frequenza angolare ed energia In UN il simbolo w può significare o una frequenza angolare o un’energia hw Trasformata di Fourier F(w) ( <<w) La misura della larghezza di risonanza fornisce la vita media della stessa Esempio: la r, un mesone che decade tramite interazione forte in 2π, ha larghezza 150 Me. V Tempo caratteristico dei processi forti C. 1 A. Bettini 20

Decadimenti e Urti Fisica teorica insegna a calcolare l’elemento di matrice della hamiltoniana d’interazione tra lo stato iniziale e quello finale. L’elemento di matrice è l’ampiezza di probabilità di transizione nello stato finale considerato. Due tipi di processi 1 urti. Ad esempio a + b c + d : lo stato finale può essere definito, ad esempio o con c e d prodotti in qualsiasi direzione e con qualsiasi polarizzazione, o con a in un certo angolo solido, o con b con una certa polarizzazione, ecc. A seconda del caso si deve integrare sulle variabili che non si osservano. La quantità da calcolare è la sezione d’urto relativa allo stato finale misurato 2 decadimenti Ad esempio a b + c + d : di nuovo lo stato finale può essere definito in maniera più o meno dettagliata a seconda di cosa si misura. La quantità da calcolare è la velocità di decadimento nello stato finale misurato. Se si somma su tutte le configurazioni possibili si ottiene la larghezza parziale di a nel canale b c d: Gbcd. La somma su tutti i possibili canali di decadimento fornisce la larghezza totale di a G=1/t Si chiama rapporto di ramificazione in b c d il rapporto Rbcd= Gbcd/ G In entrambi i casi si calcola il numero di interazioni (urti o decadimenti) per unità di tempo, normalizzato ad una particella del bersaglio e una del fascio, oppure ad una che decade C. 1 A. Bettini 21

Sezione d’urto Bersaglio fisso. Un fascio di particelle urta contro un pezzo di materia composto da bersagli elementari (nuclei, o elettroni, o quark nei nuclei) Ff = flusso incidente = numero di particelle nel fascio per unità di tempo e unità di sezione normale Ri = numero di interazioni per unità di tempo W= numero di interazioni per unità di tempo per particella bersaglio Nb = numero totale di centri diffusori (s’intende illuminati dal fascio) La sezione d’urto è per definizione Ci sono NA nucleoni per grammo Ci sono A nucleoni per nucleo 1 barn = 10– 28 m 2 (sezione geometrica nucleo A 100) In fisica subnucleare mb, µb, pb, fb dei quali circa 1/2 protoni e 1/2 (o un po’ di più) neutroni C. 1 A. Bettini 1 Ge. V– 2 = 388 µb 1 mb = 2. 5 Ge. V– 1 22

Luminosità L=numero di eventi per unità di tempo e unità di sezione d’urto [L]=[m– 2 s– 1], ma spesso [cm– 2 s– 1] S= sezione utile del fascio Nf numero particelle del fascio al secondo nb densità numerica di particelle bersaglio [m– 3] r densità del bersaglio [kg/m 3] l=lunghezza del bersaglio Nb=nb S l Fascio con I=1013 particelle/s Bersaglio H 2 liquido: r=60 kg m– 3, l=10 cm C. 1 A. Bettini Att errore su dispense Ni per Nf 23

Spazio delle fasi, larghezze e sezioni d’urto Regola d’oro di Fermi W= tasso di reazioni per particella bersaglio E= energia totale del sistema r(E) = volume di spazio delle fasi Due modi di scrivere il volume dello spazio delle fasi (SF) e quindi Mfi 1. non relativistico: la probabilità che la particella i abbia la posizione ri è |y (ri)|2. Essa viene normalizzata uguagliando ad 1 il suo integrale su d. V è scalare in 3 dimensioni ma non in 4, quindi non è Lorentz-invariante. Fattore di Lorentz per il cambio di riferimento r r’ = l’elemento di volume cambia d. V’= d. V La densità di probabilità |y (ri)|2 non è invariante, ma |y (ri)|2 |y ‘(ri)|2= |y (ri)|2/ SF=per ogni particella i un fattore d 3 pi. Il tasso di interazioni W è indipendente dal riferimento, quindi M non è invariante 2. relativistico: Le energie: E E’= E Definire densità di probabilità |(2 E)1/2 y (ri)|2 (2 per convenzione), che è invariante. Si dimostra che, per n corpi nello stato finale C. 1 A. Bettini 24

Sezioni d’urto Sezione d’urto. È normalizzata ad una singola particella incidente dividere per flusso incidente Nel riferimento del lab le particelle bersaglio b sono ferme, le particelle del fascio a si muovono con velocità ba. Il flusso è il numero di particelle (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza ba e base unitaria In un riferimento in cui anche le particelle b si muovono con velocità bb il flusso di queste è il loro numero (normalizzato a 1) in un cilindro di altezza bb e base unitaria. Il flusso complessivo è 1 in un cilindro di altezza ba– bb = differenza delle velocità La sezione d’urto se le energie sono Ea e le velocità ba e bb è N. B. ba– bb è la differenza delle velocità non la velocità relativa (come spesso scritto) C. 1 A. Bettini 25

Larghezze Decadimento. Nello stato iniziale c’è una particella di energia E. La probabilità di transizione allo stato finale f per unità di tempo è Velocità di decadimento (larghezze) e sezioni d’urto si misurano L’elemento di matrice si calcola sulla base della teoria (modello standard o altra) Il confronto testa la teoria C. 1 A. Bettini 26

Esempio. Spazio fasi per due corpi Consideriamo uno stato finale di un decadimento o di un urto di due corpi c e d. Conviene calcolare nel sistema del cm. Le energie: Ec, Ed, e in totale E= Ec+ Ed I momenti: pc=–pd=pf Sia per i decadimenti sia per le sezioni d’urto c’è da calcolare Integrando su pd Usando la rimanente d e rimandando l’integrazione sugli angoli, dai quali in genere dipende l’elemento di matrice C. 1 A. Bettini 27

Larghezza (parziale) e sezione d’urto Velocità di decadimento di una particella a di massa m in c + d (nel cm) Sezione d’urto per il processo a + b c + d (nel cm) Le energie: Ea, Eb, e in totale E= Ea+ Eb I momenti: pa=–pb=pi In genere particelle del fascio e del bersaglio non sono polarizzate. Bisogna sommare sui diversi stati di spin finali e mediare su quelli iniziali Dove C. 1 A. Bettini 28

Fermioni e bosoni Due tipi di particelle Le particelle di un certo tipo, ad esempio gli elettroni, sono tra loro indistinguibili in linea di principio Lo stato di una particella è definito dai valori di un insieme di osservabili {P} (ad es. : {momento, terza componete dello spin, carica, . . }) Sistema di due particelle identiche. Stato definito dai due insiemi di valori, diciamo, {P 1 }, {P 2 } Le particelle sono indistinguibili, quindi |y({P 2 }, {P 1 })|2 = |y({P 1 }, {P 2 })|2 Due casi Segue il principio di esclusione di Pauli: due fermioni identici non possono trovarsi nel medesimo stato quantico (cioè avere gli stessi autovalori per tutti gli osservabili che definiscono lo stato) C. 1 A. Bettini 29

Le particelle Materia ordinaria = nuclei+elettroni. Nuclei = protoni+neutroni (= nucleoni) Elettroni, protoni, neutroni hanno spin = 1/2 Barioni: fermioni (spin=1/2, 3/2, . . ) , includono nucleoni; tutti instabili (tranne p). Composti di tre quark Mesoni π+, π–, π˚ mediatori delle forze nucleari (Yukawa 1935, Occhialini e Powell 1949) Mesoni includono i pioni ma ce ne sono molti diversi. Composti di un quark+un antiquark Adroni: particelle con interazioni forti= barioni + mesoni Quark. Mai liberi. Spin = 1/2. Tre “famiglie” con la stessa struttura: un quark tipo “up”, carica 2/3 e un quark tipo down, carica — 1/3: up (u), down (d) charm (c), strano (s) top (t), beauty (b) Leptoni. Spin = 1/2. Tre “famiglie con la stessa struttura: un quark tipo elettrone, carica – 1 e neutrino, carica 0 elettrone (e), neutrino-e (ne) muone (µ), neutrino-µ (nµ) tau (t), neutrino- t (nt) Attenzione. La materia ordinaria costituisce, sembra, solo poco più del 10% della materia e il 4% della Materia+energia dell’universo. Cosa è il resto? C. 1 A. Bettini 30

Le interazioni fondamentali sono Interaz 1. Gravitazionale Debole 2. Debole E. M. + – • di “corrente carica”, mediata da W e W Forte • di “corrente neutra”, mediata da Z 0 3. Elettromagnetica, mediata dal fotone, 4. Forte. Si esercita tra quark, è la forza di “colore”, mediata dai gluoni, all’interno degli adroni • le forze forti tra adroni non sono fondamentali, ma le “code” della forza di colore Mediatore M (Ge. V) JP W±, Z 0 91. 2, 80. 4 1– 0 1– g 0 1– I mediatori neutri sono antiparticelle di se stessi W+e W– sono uno antiparticella dell’altro Le interazioni sono elencate in ordine di intensità crescente alle energie di laboratorio Il Modello Standard è la teoria quantistica di tutte le forze, tranne la gravitazione. Di questa abbiamo solo teorie macroscopiche, la Relatività Generale (e altre) La forza gravitazionale è debolissima e non osservabile a livello microscopico e alla scala delle energie di laboratorio Non ne discuteremo in questo corso, a parte un’osservazione C. 1 A. Bettini 31

L’interazione gravitazionale Esemp. : le forze elettrostatica e gravitazionale tra un protone ed un elettrone fermi alla distanza r La costante di Newton GN (gravitazione), la velocità della luce c (relatività) e la costante di Planck h (meccanica quantistica) si combinano in espressioni (correlate) che hanno le dimensioni della massa e della distanza, la massa e la lunghezza di Planck sono le scale, energie enormi o distanze minuscole alle quali, presumiamo, gli effetti quantistici della gravitazione dovrebbero manifestarsi nell’impossibilità, ora e sempre, di costruire acceleratori di tanta energia, dobbiamo cercare nei fenomeni cosmici qualche indicazione sulla teoria della gravità cui ubbidisce la natura C. 1 A. Bettini 32