ISTITUTO COMPRENSIVO G PASCOLI TRAMONTI ALGORITMO RADICE QUADRATA

ISTITUTO COMPRENSIVO “G. PASCOLI” TRAMONTI ALGORITMO RADICE QUADRATA Pagina 14 del libro di Aritmetica PROF. SSA ELVIRA CONTALDO MATEMATICA E SCIENZE CLASSE 2 B

ALGORITMO RADICE QUADRATA L’algoritmo permette di determinare con approssimazione la radice quadrata di un qualsiasi intero n, utilizzando solamente le quattro operazioni. Mostriamo in cosa consiste questo algoritmo direttamente con qualche esempio. Primo esempio: n = 13456 1. Per prima cosa, suddividiamo le cifre di n in gruppi composti da due cifre, a partire da destra: otteniamo 1. 34. 56 e, dato che le cifre di n sono 5, il gruppo delle due cifre più a sinistra sarà in realtà composto solo da una cifra. 2. Costruiamo uno schema contenente il nostro numero:

Alla fine, la parte in alto a destra dello schema conterrà il risultato dell’algoritmo, cioè l’approssimazione della radice quadrata di n. 3. Prendiamo il gruppo di due cifre più a sinistra, che in questo caso è solo 1. Cerchiamo il numero intero il cui quadrato si avvicina più possibile a 1: questo numero è chiaramente 1. Riportiamolo nello schema come risultato parziale:

4. Eleviamo 1 al quadrato, ottenendo 1. Riportiamolo sotto al gruppo di due cifre appena considerato, cioè 1, e sottraiamo: otteniamo il resto parziale 0 (che non scriviamo, ma rappresentiamo con una sbarra). A fianco al risultato abbassiamo il gruppo di due cifre successivo, e otteniamo quindi il numero 34:

5. Raddoppiamo il risultato parziale, ottenendo 2, e scriviamolo appena sotto alla riga orizzontale. Supponiamo ora di accostare una cifra a (cioè, un numero compreso tra 1 e 9) a destra di 2, in modo da ottenere un numero di due cifre la cui prima cifra è 2, e quindi rappresentabile come 20 + a. Vogliamo trovare la cifra a più grande possibile in modo che (20 + a)⋅a sia minore o uguale a 34. Scegliamo a=1: abbiamo 21 x 1 = 21 ≤ 34, quindi a=1 potrebbe andarci bene. Con a=2 abbiamo 22 x 2 =44>34, e quindi non va bene: di conseguenza a=1 è la nostra scelta. Scriviamo i calcoli che abbiamo fatto sotto alla linea orizzontale, e riportiamo la cifra a=1 nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale 11:

6. Riportiamo 21 sotto al 34 e facciamo la sottrazione, che dà come resto parziale 13. Come prima, scriviamo il risultato e a fianco riportiamo il gruppo di due cifre appena più a destra di quello considerato prima. Otteniamo quindi il numero 1356: 7. Raddoppiamo il risultato parziale 11, e scriviamo 22 sotto ai conti che abbiamo fatto prima. In maniera del tutto analoga a quanto fatto prima, cerchiamo la cifra b più grande possibile tale che (220+b)⋅b≤ 1356. Dopo alcuni tentativi, notiamo che b=6 è la scelta migliore possibile: infatti 226⋅6=1356. Scriviamo allora i calcoli sotto agli altri fatti prima, e la cifra b=6 nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale 116:

8. La sottrazione 1356− 1356 dà come resto parziale 0. Questo significa che l’algoritmo termina qui, dato che non vi sono altri gruppi di due cifre da abbassare. Quindi abbiamo appena scoperto che 13456 = 116^2 +0, ovvero che la radice quadrata di 13456=116. Secondo esempio: n = 354522 1. Suddividiamo le cifre di n in gruppi composti da due cifre, a partire da destra: otteniamo 35. 45. 22. 2. Costruiamo uno schema contenente il nostro numero:

3. Prendiamo il gruppo di due cifre più a sinistra, che in questo caso è 35. Cerchiamo il numero intero il cui quadrato si avvicina più possibile a 35: questo numero è 5, dato che 5^2 = 25 e 6^2 =36. Riportiamolo nello schema: 4. Eleviamo 5 al quadrato, ottenendo 25, e riportiamolo sotto a 35. Sottraiamo i due numeri, ottenendo il resto parziale 10; a fianco al risultato abbassiamo il gruppo di due cifre successivo. Otteniamo quindi il numero 1045:

5. Raddoppiamo il risultato parziale 5, ottenendo 10, e scriviamolo appena sotto alla riga orizzontale. Cerchiamo la cifra a più grande possibile tale che (100+b)⋅b≤ 1045. Questa cifra è a=9, perchè 109 ⋅9=981 ≤ 1045. Quindi a=9 è la nostra scelta. Scriviamo i calcoli che abbiamo fatto sotto alla linea orizzontale, e riportiamo la cifra a=9 nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale 59:

6. Riportiamo 981 sotto a 1045 e facciamo la sottrazione, che dà il resto parziale 64. Scriviamo il risultato e a fianco riportiamo il gruppo di due cifre appena più a destra di quello considerato prima. Otteniamo quindi il numero 6422: 7. Raddoppiamo il risultato parziale 59, ottenendo 118, che scriviamo sotto ai conti che abbiamo fatto prima. Cerchiamo la cifra b più grande possibile tale che (1180+b) x b≤ 6422 quindi b=5 è la scelta migliore possibile: infatti 1185⋅5=5925 mentre 1186⋅6=711 6. Scriviamo allora i calcoli sotto agli altri fatti prima, e la cifra b=5 nello spazio del risultato, ottenendo il risultato parziale 595:

8. La sottrazione 6422− 5925 dà come resto parziale 497; dato che non vi sono più gruppi di due cifre da abbassare, 497 è in realtà il resto finale. Questo significa che l’algoritmo è terminato, e 354522 = 595^2 +497: cioè, 595 è l’approssimazione intera della radice quadrata di 354522.