Introduzione alla fisica Grandezze fisiche Misura ed errori

Introduzione alla fisica • Grandezze fisiche Misura ed errori di misura. Unità di misura • Rappresentazione grafica di relazioni tra grandezze fisiche • Vettori ed operazioni coi vettori

La fisica come scienza sperimentale Studio di un fenomeno OSSERVAZIONI SPERIMENTALI IPOTESI MISURA DI GRANDEZZE FISICHE VERIFICA LEGGI FISICHE Relazioni matematiche tra grandezze fisiche In fisica si usa un linguaggio matematico !!!

Elementi di matematica utilizzati in questo corso • Frazioni • Proprietà delle potenze • Potenze di dieci e notazione scientifica • Manipolazione, semplificazione di espressioni algebriche • Soluzione di equazioni di primo grado • Proporzioni • Conversioni tra unità di misura • Percentuali • Funzioni e loro rappresentazione grafica • Angoli, elementi di trigonometria • Elementi di geometria • Operazioni coi vettori

Grandezze fisiche Definizione operativa di una grandezza fisica: Una grandezza fisica è definita quantitativamente attraverso un metodo operativo di misura, che permetta il confronto tra la grandezza in esame e una grandezza omogenea di riferimento (campione) Espressione di una grandezza fisica: Numero + unità di misura Rapporto tra la grandezza e il campione di riferimento Misura diretta: Confronto diretto con il campione (es. misura di lunghezza con un metro graduato) Misura indiretta: Misura di una grandezza legata a quella da misurare attraverso una relazione nota (es. misura di tempo con una clessidra)

Grandezze fisiche fondamentali e unità di misura Tutte le grandezze fisiche possono essere espresse in funzione di un insieme limitato di grandezze fondamentali Un sistema di unità di misura definisce le grandezze fisiche fondamentali e i corrispondenti campioni unitari (unità di misura) Sistema Internazionale (S. I. ) Grandezza fisica Lunghezza Tempo Massa Intensità di corrente Temperatura assoluta Unità di misura [L] [t] [M] [i] [T] metro secondo chilogrammo ampere grado Kelvin (m) (s) (kg) (A) (K)

Grandezze fisiche derivate Le rimanenti grandezze fisiche sono derivate a partire dalle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche Alcuni esempi: Superficie (lunghezza)2 Volume (lunghezza)3 Velocità (lunghezza/tempo) Accelerazione (velocità/tempo) Forza (massa*accelerazione) Densità (massa/volume) Pressione (forza/superficie). . . [L]2 m 2 [L]3 m 3 [L][t]-1 m·s-1 [L][t]-2 m·s-2 [M][L][t]-2 kg·m·s-2 [M][L]-3 kg·m-3 [M][L]-1[t]-2 kg·m-2·s-2

Errori di misura La misura di una grandezza fisica è sempre affetta da errore Errore: stima di quanto la grandezza misurata si discosta dal valore “vero” Limiti strumentali: Uno strumento permette la misura della grandezza con un’incertezza legata alla sua sensibilità Errori casuali (statistici): Strumenti di alta sensibilità forniscono risultati differenti su misure ripetute, a causa di perturbazioni ed effetti accidentali di cui l’osservatore non può tenere conto. Errori casuali avvengono sia in eccesso sia in difetto rispetto al valore vero Errori sistematici: Avvengono sempre o in eccesso o in difetto rispetto al valore vero. Sono causati da errori di misura, da strumenti mal tarati, dall’uso di modelli errati o da perturbazioni importanti di cui non si è tenuto conto

Istogramma delle frequenze per la rappresentazione di misure ripetute l 1, l 2, l 3, l 4, . . . Numero di misure Esempio: Misura di una lunghezza l 1 2, 15 cm l 11 2, 15 cm l 2 2, 14 cm l 12 2, 16 cm l 3 2, 16 cm l 13 2, 14 cm l 4 2, 12 cm l 14 2, 15 cm l 5 2, 14 cm l 15 2, 15 cm l 6 2, 15 cm l 16 2, 16 cm l 7 2, 13 cm l 17 2, 14 cm l 8 2, 15 cm l 18 2, 15 cm 6 5 4 3 2 1 l 9 2, 17 cm l 19 2, 13 cm 0 l 10 2, 14 cm l 20 2, 14 cm 7 2, 12 2, 13 2, 14 2, 15 2, 16 2, 17 2, 18 cm

Valore medio e deviazione standard Valor medio: Numero di misure Scarto quadratico medio (deviazione standard): l 7 6 5 4 3 2 1 Nel nostro esempio: l = 2, 146 cm = 0, 012 cm l+ l- Approssimando: l = l ± = (2, 15 ± 0, 01) cm 0 2, 12 2, 13 2, 14 2, 15 2, 16 2, 17 2, 18 cm

Distribuzione gaussiana L’istogramma di frequenze di un numero elevato di misure ripetute affette solo da errori casuali segue una curva tipica a campana (distribuzione gaussiana) (~68% dell’area sotto la curva) (~95%) l-3 l-2 l- l l+ l+2 (~99%) l+3 Distribuzione stretta piccola errore piccolo Distribuzione larga grande errore grande

Errore percentuale Data una misura espressa nella forma: Errore percentuale: (adimenzionale!) Esempi: m = 1 kg ± 10 g = (1 ± 0, 01) kg m = 100 kg ± 100 g = (100 ± 0, 1) kg Nota: In mancanza di errore questo si intende sull’ultima cifra significativa! l = 6, 8 m l = (6, 8± 0, 1) m l = 6, 80 m l = (6, 80± 0, 01) m

Notazione scientifica In notazione scientifica un numero si esprime come prodotto di una cifra compresa tra 0, 1 e 10 x una potenza di 10 5, 738 · 103 Esempi: 800 = 8· 102 4765 = 4, 765· 103 0, 00097 = 9, 7· 10 -4 l = 345000 m = 3, 45· 100000 m = 3, 45· 105 m l = 0, 00038 m = 3, 8· 0, 0001 m = 3, 8· 10 -4 m La notazione scientifica è utile per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli Es. : Massa della Terra = 5. 980. 000 kg = 5, 98· 1024 kg Massa di un elettrone = 0, 0000000000000009109 kg = 9, 11· 10 -31 kg

Multipli e sottomultipli di una unità di misura possono essere espressi usando prefissi: Prefisso Simbolo Fattore di moltiplicazione tera T 1012 deci d 10 -1 giga G 109 centi c 10 -2 mega M 106 milli m 10 -3 kilo k 103 micro 10 -6 etto h 102 nano n 10 -9 deca da 101 pico p 10 -12 Es: 1 m 1 km = 103 m 1 Mm = 106 m 1 Gm = 109 m 1 dm = 10 -1 m 1 cm = 10 -2 m 1 mm = 10 -3 m 1 m = 10 -6 m 1 nm = 10 -9 m 1 pm = 10 -12 m (1 mm = 1/1000 m = 1/103 m = 10 -3 m)

Equivalenze tra unità di misura Occorre conoscere il fattore di conversione tra le diverse unità di misura Es. Velocità km/h m/s 1 km/h = 1000 m / 3600 s = 0, 28 m/s km/h 1 m/s = 0, 001 km / (1/3600) h = 3, 6 km/h n km/h = n · 0, 28 m/s n m/s = n · 3, 6 km/h Velocità di un atleta dei 100 m: di un’automobile: della luce: 10 m/s = 10 · 3. 6 km/h = 36 km/h 120 km/h = 120 · 0, 28 m/s = 33, 6 m/s 300000 km/s = 3 · 108 · 3, 6 km/h = 1, 08 · 109 km/h Ovviamente il fattore di conversione inverso è l’inverso del fattore di conversione! Es. 0, 28 = 1 / 3, 6

Equivalenze - Conversioni Es. 1 A mm 2 A = (3 mm)2 = 32 mm 2 = 9 (10 -3 m)2 = 9· 10 -6 m 2 3 mm Es. 2 litro m 3 sapendo che 1 litro = 1 dm 3 6, 57 l = 6, 57 dm 3 = 6, 57 (10 -1 m)3 = 6, 57· 10 -3 m 3 Es. 3 1 h 33’ 20’’ s 1 h = 60’ · 60 s = 3600 s 33’= 33’· 60 s = 1980 s 20’’ = 20 s 1 h 33’ 20’’ = = (3600+1980+20) s = = 5600 s

Angoli - Conversioni s R Unità di misura: • gradi, minuti, secondi 1 o=60' 1'=60'' Es: 35 o 41'12'' • radianti Angolo giro R=1 arco rad Angolo giro Es. : angolo retto Arco: se R=1 = 360 o = 2 R/R = 2 rad 360 o 2 270 o 3/2 piatto 180 o retto 90 o /2 60 o /3 45 o /4 30 o /6

Funzioni e loro rappresentazione grafica Una funzione è una relazione tra due variabili x e y: y=f(x) Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x. Una funzione analitica può essere rappresentata in modo grafico con una curva su un sistema di assi cartesiani nel piano (x, y) y ordinate 4 3 Es. : y=x 2 y = 2 x 1 ascisse O 1 2 3 x

Esempi di funzioni in fisica Retta 1 o grado Iperbole à proporz. diretta proporz. inversa y raddoppia al raddoppiare di x s = v • t = c • T F = m • a V = R • I y si dimezza PV=k f = c s P=k/V = c/f P Retta t Iperbole V

Esempi di funzioni in fisica Parabola 2 o grado à proporz. dir. quadr. y quadruplica Fraz. quadr. proporz. inv. quadr. al raddoppiare di x y si riduce a un quarto s = ½ a t 2 Fg = G • m 1 m 2/r 2 E k = ½ m v 2 Fe = s K • q 1 q 2/r 2 F Parabola t proporz. inv. quadr r

Funzioni dipendenti dal tempo Vasta classe di fenomeni della Fisica (e della vita quotidiana) Le leggi fisiche in cui il tempo appare come variabile indipendente sono dette Leggi Orarie Tempo (t) = variabile indipendente Alcuni esempi: • Moti: • Oscillazioni: • Decadimenti: s=s(t), v=v(t), a=a(t) s(t) = A cos( t) n(t) = n 0 e- t

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari: caratterizzate da un numero Es: tempo, temperatura, massa Grandezze vettoriali: caratterizzate da un modulo, una direzione e un verso. Es: spostamento, velocità, accelerazione direzione verso modulo del vettore v: v = |v| Es: |v| = 100 m/s ® v punto di applicazione Vettori uguali Vettori opposti

Somma e differenza di vettori y v 1 y ® v 1 ® v 3 y o Somma di vettori v 1 x a v 2 x v 2 y Differenza di vettori v 3 = v 1 + v 2 v 3 x = v 1 x + v 2 x v 3 y = v 1 y + v 2 y v 3 x ® v 2 v 3 = v 1 - v 2 v 3 x = v 1 x - v 2 x v 3 y = v 1 y - v 2 y

Componenti di un vettore Nel piano cartesiano bidimensionale (x, y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali vx e vy vx = |v| cos a vy = |v| sen a vx 2 + vy 2 = = v 2 cos 2 + v 2 sen 2 = = v 2 (cos 2 +sen 2 ) = v 2 y o vy ® v a vx x

Trigonometria di base 1 y cos sen 0 o 1 0 -1 O R= 1 sen 30 o = /6 cos 45 o = /4 1 x -1 C A 1/2 60 o = /3 1/2 90 o = /2 0 1 180 o = -1 0 270 o = 3 /2 0 -1 sen 2 +cos 2 =1 AC = CB·sen AB = CB·cos B AC 2+AB 2=CB 2(sen 2 +cos 2 )=CB 2 AC = AB·tg

Prodotto scalare a • b = |a||b|cos = |a|b' b b' Es. : b' = |b|cos : componente di b lungo a a = 0 o ® b a b = ab cos f = ab ® a = 90° = 180° ® a ® ® ® b ® a ® b ® ® a b = ab cos = 0 ® ® a b = ab cos = – ab

Prodotto vettoriale c=a b c b b b'' a b" a Direzione di c: ortogonale ad a e b Modulo di c : |c| = |a||b|sen = |a|b” b” b’’: componente di b ortogonale ad a Verso di c: verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b