INTRODUO PROBABILIDADE Prof Elisson de Andrade Suponha que
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Prof. Elisson de Andrade
Suponha que você é um(a) investidor(a) e alguém lhe apresente a seguinte alternativa de investimento CENÁRIO Rentabilidade Otimista 25% Moderado 15% Pessimista -5% Você investiria seu dinheiro nesse projeto?
E agora, com informações adicionais: CENÁRIO Rentabilidade Probabilidade de ocorrência Otimista 25% 0, 1 Moderado 15% 0, 3 Pessimista -5% 0, 6 E agora, qual seria sua resposta?
Quando tomamos DECISÕES, frequentemente nos deparamos com INCERTEZAS 1. Quais são as chances de queda nas vendas se aumentarmos o preço? 2. Qual a probabilidade de uma nova tecnologia aumentar a produtividade? 3. Qual a probabilidade de certo projeto ser concluído no prazo 4. Qual a chance desse novo investimento ser lucrativo?
Probabilidade • Medida numérica da possibilidade de um evento ocorrer • Tal medida estará sempre entre: 0 e 1 • A somatória de todas as probabilidades deve dar 1 • Vemos isso no nosso exemplo: CENÁRIO Rentabilidade Probabilidade de ocorrência Otimista 25% 0, 1 Moderado 15% 0, 3 Pessimista -5% 0, 6
Experimentos • Processo que gera resultados como: EXPERIMENTO RESULTADOS EXPERIMENTAIS Jogar uma Moeda Cara, Coroa Selecionar uma Peça Defeituosa, Não Defeituosa Lançar um Dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jogar uma partida de futebol Ganhar, Perder, Empatar
Espaço Amostral (S) • São todos os possíveis resultados experimentais • Exemplos: • S = {Cara, Coroa} • S = {Defeituoso, Não defeituoso} • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • A questão é, para cada problema, como definimos o TAMANHO do espaço amostral?
REGRAS DE CONTAGEM
Regras de Contagem • Para atribuir probabilidades, é preciso que contemos os possíveis resultados amostrais • Suponha o seguinte problema: vamos jogar duas moedas simultaneamente, sendo os possíveis resultados Cara (C) e Coroa (K) • Quantos resultados experimentais são possíveis nesse caso? • S = {(C, C), (K, C), (C, K), (K, K)} ou seja, 4 resultados
Regras de Contagem • Continuando com o nosso caso, qual a probabilidade de dar duas Caras (C)? S = {(C, C), (K, C), (C, K), (K, K)} • Resposta: 1/4 • Qual a probabilidade de dar duas Coroas (K)? • Resposta: 1/4 • Qual a probabilidade de dar uma Cara e uma Coroa? • Resposta: 2/4 ou 1/2
Exercício • Ache as possíveis combinações para o arremesso de 3 moedas • Resp: S = {(C, C, C), (C, C, K), (C, K, C), (K, C, C), (K, K, C), (C, K, K), (K, C, K), (K, K, K)} 8 Possibilidades • Agora calcule para 4 moedas • S = {(C, C, C, C), (K, C, C, C), (C, K, C, C), (C, C, C, K), (K, K, C, C), (K, C, K, C), (K, C, C, K), (C, K, K, C), (C, K, C, K), (C, C, K, K), (K, K, K, C), (K, C, K, K), (K, K, C, K), (C, K, K, K), (K, K, K, K)} 16 possibilidades
Regras de Contagem • Porém, se jogamos 6 moedas simultaneamente, quantas combinações de C e K são possíveis? • Aí precisaremos de uma FÓRMULA para dar conta de fazer contagens, quando temos um experimento mais complexo
Experimento em Múltiplas Etapas • Se um experimento pode ser descrito como uma sequência de k etapas com n resultados possíveis, em cada etapa, a fórmula será: nk • Ou seja, ao jogar 6 moedas, o número de resultados desse experimento será: 26 = 64
Exemplos • Peça DEFEITUOSA ou NÃO DEFEITUOSA. Se pegarmos 10 peças, qual o espaço amostra? • Resposta: 210 = 1024 • Um time pode ganhar, perder ou empatar. Em 6 jogos, qual o número de combinações possíveis? • Resposta: 36 = 729 • Um dado jogado 3 vezes, qual o espaço amostra? • Resposta: 63 = 216
Exemplo • Uma empresa vai elaborar um projeto em 2 etapas • ETAPA 1: pode demorar 2, 3 ou 4 meses • ETAPA 2: pode demorar 6, 7 ou 8 meses • Quantas combinações de prazos finais teremos? • RESP: 32 = 9 • Vendo isso numa tabela. . .
Etapa 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Etapa 2 6 7 8 Prazo Total 8 9 10 11 12
Observação: e se cada etapa não tivesse o mesmo número de possibilidades?
K etapas, mas n diferente em cada etapa • Nesse caso, não podemos utilizar da fórmula: nk • Mas a solução é simples: • Se temos 4 etapas e duas possibilidades em cada etapa: • 2 x 2 x 2 = 24 • Se temos 4 etapas. Nas duas primeiras com 3 possibilidades e as duas últimas com 2 possibilidades: • 3 x 2 x 2 = 36 combinações
Exemplo • Uma empresa vai elaborar um projeto em 3 etapas • ETAPA 1: pode demorar 2, 3 ou 4 meses • ETAPA 2: pode demorar 7 ou 8 meses • ETAPA 3: pode demorar 4 ou 5 meses • Quantas combinações de prazos finais teremos? • RESP: 3 x 2 = 12 • Vendo isso numa tabela. . .
Etapa 1 2 2 3 3 4 4 Etapa 2 7 8 7 8 7 8 Etapa 3 4 5 5 4 Prazo total 13 15 14 14 14 16 15 15 15 17 16 16
Exercício • Uma empresa vai elaborar um projeto em 3 etapas • ETAPA 1: pode demorar 4 ou 5 meses • ETAPA 2: pode demorar 6 ou 7 meses • ETAPA 3: pode demorar 1 ou 2 meses • Calcule quantas combinações de prazo final teremos, construa a tabela
Etapa 1 4 4 5 5 Etapa 2 6 7 6 7 Etapa 3 2 1 1 2 Prazo total 12 12 11 13 13 13 12 14
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