Introduction Notations tensorielles Cinmatique Equilibre Thermodynamique Lois de

Introduction Notations tensorielles Cinématique Equilibre Thermodynamique Lois de bilan Loi de comportement Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS Initiation à la MMC, F. Golay 1/27

Notion de milieu continu Fluide: « qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément » Solide: « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou » Liquide: « tout corps qui coule ou tend à couler » Petit Robert Milieu continu: « milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu’il occupe » J. Coirier Initiation à la MMC, F. Golay 2/27

Notations: Notation indicielle Vecteur & convention de sommation Tenseur d’ordre 2 & Produit tensoriel Produit contracté Produit doublement contracté Dérivation gradient divergence Initiation à la MMC, F. Golay 3/27

Notations: Exemple Initiation à la MMC, F. Golay 4/27

Cinématique: • Notion de configuration, Euler /Lagrange • Application linéaire tangente • Notion de déformation • Tenseur des déformations • Hypothèse des petites perturbations • Dérivation Initiation à la MMC, F. Golay 5/27

Notion de configuration Cinématique: W(t) M 0 M O W 0 Configuration de référence à l’instant t 0 Configuration actuelle à l’instant t X , t: Variables de Lagrange (en général mécanique du solide) x , t: Variables d’Euler (en général mécanique des fluides) Dérivée particulaire Application: Accélération Initiation à la MMC, F. Golay 6/27

Application linéaire tangente Cinématique: W 0 O W(t) Configuration de référence Configuration actuelle à l’instant t 0 à l’instant t Transport d’un élément de volume W 0 O W(t) d. V 0 Transport d’un élément de surface W 0 O d. S 0 W(t) d. S Initiation à la MMC, F. Golay 7/27

Cinématique: Notion de déformation Initiation à la MMC, F. Golay 8/27

Tenseur des déformations Cinématique: W 0 O W(t) Configuration de référence Configuration actuelle à l’instant t 0 à l’instant t ö 1æ T e = ç F F - 1÷ 2è ø O O Initiation à la MMC, F. Golay 9/27

Cinématique: Hypothèse des petites perturbations e HPP = ( 1 T Ñ u + Ñu 2 ) Initiation à la MMC, F. Golay 10/27

Cinématique: Application: Conservation de la masse !! Dérivées ì dr ï dt + rdiv v = 0 ï ou í ¶ r ï + ï ¶t div(r v ) = 0 î d d(**) rd. V òòòW ( t ) (**)rd. V = òòòW ( t ) dt dt Initiation à la MMC, F. Golay 11/27

Cinématique: Exemple Initiation à la MMC, F. Golay 12/27

Équilibre: • Notion Contrainte • Principe fondamental Initiation à la MMC, F. Golay 13/27

Équilibre: Notion de contrainte Efforts extérieurs d. F Efforts intérieurs M ds Photo extraite de Le Rugby P. VILLEPREUX Cours de J. Salençon Polytechnique ( ) s x, t Tenseur des contraintes de Cauchy Initiation à la MMC, F. Golay 14/27

Équilibre: Principe Fondamental de la dynamique O Torseur dynamique = Torseur des action extérieures Forme locale de l’équation d’équilibre Initiation à la MMC, F. Golay 15/27

Thermodynamique: • Premier principe • Équation de la chaleur Initiation à la MMC, F. Golay 16/27

Thermodynamique: Premier principe: conservation de l’énergie Énergie interne Énergie cinétique Puissance des efforts extérieurs Taux de chaleur reçu Forme locale du premier principe Initiation à la MMC, F. Golay 17/27

Thermodynamique: Équation de la chaleur Initiation à la MMC, F. Golay 18/27

Lois de bilan: Lois de Bilan en M. M. C. Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement Conservation du moment cinétique Conservation de l’énergie + Lois de Comportement Initiation à la MMC, F. Golay 19/27

Élasticité: • Essai de traction • Expérience • Loi de comportement élastique linéaire • Le problème d’élasticité Initiation à la MMC, F. Golay 20/27

Essai de traction Élasticité: Essai de traction Initiation à la MMC, F. Golay 21/27

Expérience Élasticité: Plasticité irréversible F Élasticité réversible S L DL Déformation permanente Initiation à la MMC, F. Golay 22/27 DL

Élasticité: Élasticité linéaire Loi générale Élasticité isotrope l, m coefficients de Lamé n coefficients de Poisson, E module d’Young Thermoélasticité isotrope a coefficients de dilatation thermique Application à l’essai de traction Élasticité orthotrope Initiation à la MMC, F. Golay 23/27

Élasticité: Le problème d’élasticité O Formulation en déplacement: Équation de Navier Formulation en contrainte: Équation de Michel Initiation à la MMC, F. Golay 24/27

Élasticité: Exemple Initiation à la MMC, F. Golay 25/27

Élasticité: Exemple: résolution Problème thermique Problème mécanique Initiation à la MMC, F. Golay 26/27

Mécanique des fluides: Fluide newtonien Fluide viscoplastique Fluide newtonien Fluide à seuil t Fluide fluidifiant Newton Fluide épaississant Initiation à la MMC, F. Golay 27/27