Introduction la Thorie des situations Les situations mathmatiques

Introduction à la Théorie des situations Les situations mathématiques à usage didactique: TSM Les situations didactiques en mathématiques TSDM But : Assurer la consistance logique et expérimentale de l’ingénierie didactique: ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 1

Les situations mathématiques à usage didactique L’organisation didactique d’une théorie mathématique : - des axiomes aux théorèmes - des théorèmes aux problèmes -des problèmes aux situations ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 2

1. L’organisation didactique d’une théorie mathématique ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 3

Théories et Théorèmes • Une Théorie Mathématique (Logique) est une collection amorphe, finie ou non, d’énoncés (propositions et prédicats) qui sont vrais ensemble. Pour une utilisation ésotérique, la Théorie peut n’être qu’une collection amorphe de résultats vrais (les démonstrations sont ignorées ou oubliées). • Mais la vérification publique et l’utilisation coopérative (exotérique) imposent que les énoncés soient exposés en théories (collections ordonnées), de façon que chacun puisse être, soit accepté (axiome), soit prouvé par une chaîne de déductions à partir des axiomes ou des énoncés déjà démontrés. • L’organisation d’un corpus de savoirs en une théorie est une réponse à une contrainte didactique liée à la communication et au contrôle. Suivant le choix des axiomes et l’organisation des chaînes de démonstrations, l’exposé d’une théorie est plus ou moins facile à admettre, à comprendre et à apprendre. • Le travail qui consiste à réorganiser les résultats pour en faciliter la transmission, la fécondité et l’utilisation est, par nature, didactique. Il a été sa principale forme pendant des siècles. L’importance de ce travail pour le développement des mathématiques elles-mêmes s’est révélée à partir du L’organisation didactique d’une théorie et des savoirs 19 ième siècle. Il fait désormais partie de l’activité ULYSSE mathématique 4 mathématiques.

Le choix des axiomes est déjà essentiel • En géométrie élémentaire, dans l’axiomatique d’Euclide-Hilbert « il fallait ériger tout un échafaudage complexe et artificiel de constructions de triangles auxiliaires afin de se ramener vaille que vaille aux sacro-saints cas d’égalité ou cas de similitude des triangles, points d’appui de toute la technique traditionnelles. » (Dieudonné) • Après les travaux de Grassmann et Cayley elle devient un espace affine muni d’un espace vectoriel, que Choquet introduit avec quelques axiomes synthétiques (d’incidence, d’ordre, de structure affine, d’espace vectoriel et d’espace métrique) pour arriver immédiatement aux méthodes les plus puissantes et les plus simples. • Dieudonné au contraire détaille ce qui est apporté par chacun des nombreux axiomes les plus faibles – les plus simples à introduire - de façon à fonder la géométrie sur une base commune à toutes les mathématiques. • Mais les axiomatiques (équivalentes) d’une même théorie mathématique peuvent avoir des propriétés didactiques très différentes. • Et… suffit-il de « connaître » les références pour résoudre les problèmes ? ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 5

L’organisation des textes, aussi • Dans le cadre d’une même axiomatique, les définitions et les théorèmes peuvent s’articuler en chaînes et en réseaux de façons assez diverses par des relations comme « T 1 figure dans la démonstration de T 2 » • Les définitions et les théorèmes d’un exposé sont accompagnés d’identifications (numéro ou hommage à un mathématicien), de justifications (références, méthode de démonstration…) et de commentaires. Le tout constitue un texte de mathématiques de style standard. • Le choix plus ou moins habile des « théorèmes fondamentaux » détermine des exposés plus ou moins faciles à enseigner et à comprendre. Ce choix est donc d’ordre « didactique » • Un des objets de la didactique consisterait donc à distinguer a priori les propriétés de ces exposés pour l’enseignement et pour l’apprentissage afin de les comparer : prévoir les temps d’exploration, les difficultés, les possibilités d’erreurs, en les rapportant à la longueur des démonstrations où à leur fréquence d’utilisation… Nous en donnerons des exemples dans ce cours. • Ce genre d’études est actuellement utilisé pour caractériser certains programmes informatiques. ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 6

2. Des théories mathématiques aux problèmes ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 7

Propriétés didactiques des théories mathématiques • 1. Initier les élèves aux mathématiques pourrait consister à seulement leur faire apprendre le texte des énoncés vrais, en fonction de leur utilité pratique par exemple. Chacun fonctionne alors comme un axiome. • 2. Les présenter dans un ordre axiomatique permet de les exposer comme des théorèmes, avec le texte de leur démonstration et ainsi de faire l’élève juge de leur validité. Les théorèmes sont alors organisés en théories • Les théories mathématiques issues d’un même ensemble consistant d’énoncés ont déjà des propriétés didactiques propres, intrinsèques, indépendantes des conditions d’enseignement: le choix des théorèmes de référence, la longueur des démonstrations, la densité locale en théorèmes etc. (comparer la géométrie et la statistique par exemple). ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 8

Théorèmes et problèmes • 3. Cependant l’activité mathématique ne se réduit pas à la récitation des théorèmes avec leur démonstration et à leur utilisation opportune. Être mathématicien consiste aussi à établir la démonstration de textes nouveaux. Pour provoquer les élèves à une activité mathématique similaire, une tradition ancienne a transformé certains théorèmes en problèmes ou en exercices, et certains autres en théorèmes de référence enseignés comme tels. • Un exposé didactique d’une théorie mathématique crée donc dans cette théorie quatre catégories d’énoncés vrais (assertions) : – les Axiomes, propositions acceptées textes – les théorèmes, propositions démontrées de références – les problèmes, propositions étudiés, mais qui ne seront pas des références – Les propositions ignorées par cet exposé • Les problèmes sont théorèmes qui ne serviront pas de référence et qui par divers procédés formels seront dissociés en une « demande » et en une « réponse » ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 9

L’activité mathématique • Remarque : ce procédé ne représente pas bien l’activité mathématique réelle • - Il ne prépare pas les élèves à poser eux-mêmes ces questions. • - Il ne demande aux élèves que de produire des textes empruntés à une théorie de référence : les savoirs. • - Il ignore de ce fait le rôle des connaissances encore ni vraies ni fausses nécessaires à la réflexion • - Il induit ainsi une conception de l’activité mathématique réduite à la production mécanique d’un texte • Conclusion Ce procédés donne de l’activité mathématique une image stéréotypée et déformée, réduite à des textes et à des mécanismes mathématiques et mentaux généraux (universels) ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 10

La transformation de théorèmes en problèmes • Tout problème est un ensemble d’énoncés de mathématiques dont l’élève a la charge d’établir la consistance avec ce qui lui a été enseigné. • Tout théorème peut être transformé en un couple ‘questionréponse attendue’. La question détermine est à la charge du professeur, la réponse est à la charge de l’élève. • La question est elle-même est formée de données et de conclusions qui forment ensemble l’énoncé d’un théorème dont la réponse attendue constitue la démonstration. • Un problème est donc constitué de trois parties : une question, une réponse et un moyen d’établir la seconde à partir de la première. ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 11

Exemples • • L’élève doit rétablir un texte, qu’il connaît de mémoire (la « clôsure » ) ou grâce à un algorithme mathématique appris et convenu (exercices) ou par une démonstration avec les théorèmes de son répertoire (problèmes) et des relations logiques • A partir d’un énoncé A B dans une théorie T on peut obtenir par exemple: a) Étant donné A et B, établir A B; (les éléments de ont été enseignés) b) Étant donné A C et B C, montrer que A C (dans ce cas précis) c) trouver une condition nécessaire de A; d) trouver une condition suffisante de B Etc. • Mais l’élève, comme le professeur, peut aussi le faire aussi parfois par des procédés non mathématiques (par analogie par exemple). ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 12

Problèmes et Raisonnements • « Savoir » une théorie c’est : {pouvoir réciter les théorèmes, les démontrer et les utiliser pour résoudre des problèmes} • Résoudre un problème c’est : – identifier le théorème correspondant (données et demande), – le prouver en choisissant et en organisant les théorèmes convenus, • Un raisonnement est formé de tout ce qui n’était pas convenu : le choix et l’organisation des théorèmes intermédiaires, les raisons de leur choix (vraies ou fausses) etc. • Après coup, la démonstration exprime le moyen de preuve standard. • Elle n’est donc que le résultat de raisonnements effectifs, plus complexes, qui ont permis de l’établir et dont elle est l’explication. Elle en est le résumé, pour préparer son emploi à l’avenir. Elle n’en est pas la description. • Puisque les textes de mathématiques ne décrivent que le résultat réorganisé de raisonnements et de réflexion différents et non écrit, comment susciter cette activité chez les élèves qui ne la produisent pas bien spontanément? Comment modéliser et susciter une véritable activité mathématique? ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 13

3. Des Problèmes aux Situations ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 14

Problèmes et définitions • Considérons une forme habituelle de « problème » : Le professeur propose des données: « voici A et B » , et une question: « démontrez que A B » • Généralement « A B » est un théorème qui n’a pas été démontré dans le cours, et la solution demandée consiste à en donner la démonstration. Celle -ci combine des théorèmes de référence (qui ont été « enseignés » par le professeur) en une chaîne déductive. • La responsabilité de l’élève consiste à choisir et à organiser les éléments de cette démonstration. • Remarque. L’énoncé A B pourrait s’exprimer sans faire apparaître de déduction : « non(A et non(B)) » est équivalent à A B. Un des moyens de construire des questions consiste à utiliser les différentes expressions équivalentes d’un même énoncé. Mais inversement tout énoncé bien formé peut se mettre sous la forme d’une implication. • Mais pour pouvoir effectivement manipuler les énoncés d’une théorie, il est nécessaire de les raccourcir en remplaçant certains gros assemblages de signes fréquemment utilisés par des plus petits à l’aide de définitions ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 15

Des définitions explicites aux implicites • Une définition explicite est constituée par une équivalence telle que : déf: A assemblage de signes déjà définis • Mais dans le cas ou l’explicitation de A pose un problème, une définition implicite permet une forme de définition plus générale (opération de Hilbert): A est l’objet qui rend valide un énoncé. • • A : = (X) où (X) est une expression comprenant plusieurs occurrence d’un signe (X) L’objet est alors défini par sa place et son rôle dans une expression au lieu d’être défini par sa constitution elle-même. La méthode mathématique consiste ainsi à définir un objet par une liste de conditions qu’il doit satisfaire. Exemple : la définition des nombres naturels par les axiomes de Peano. • Mais cette méthode est elle utilisable à l’école primaire? Celle-ci utilise plus volontiers des définitions ostensives (des sortes de descriptions). ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 16

Des définitions implicites aux situations • La définition des objets et des propriétés mathématiques par une situation est un moyen comparable à celui de l’opération de Hilbert pour définir un objet mathématique. • Une situation met en scène des personnages fictifs (mathématiciens ou élèves en théorie des situations mathématiques) que nous appelons actants ou joueurs. • Ils agissent dans un milieu (objets, actants, textes), avec l’intention de réaliser un certain projet, en respectant des règles qui leur sont données ou de nécessités qu’ils découvrent. Les décisions qu’ils prennent sont commandées par des connaissances. (comme nous l’avons vu dans qui dira 20? ) • Seules certaines décisions permettent de parvenir au but recherché. • Les connaissances qui – seules - permettent d’obtenir le résultat sont dites « déterminées » par la situation. • Les connaissances sont déterminées pour l’observateur, mais le résultat n’est pas certain pour l’actant. Cette définition élargit la notion de « problème » . • Note : En Intelligence Artificielle, les situations sont appelées « modèles à agents » L’organisation didactique d’une théorie ULYSSE mathématique 17

Situation : consigne et milieu • Il s’agit donc de déterminer des conditions qui susciteront chez les élèves une activité aboutissant à l’établissement d’une connaissance mathématique. • Si cette activité pouvait se limiter à la production d’un texte de mathématique, elle serait la solution classique d’un problème classique, … et une assez mauvaise représentation de l’activité mathématique effective. • La résolution d’un problème requiert certainement de l’élève l’agitation d’un flot de connaissances, mais celles qui ne participent pas au texte final, en particulier celles qui sont fausses, sont considérées comme des erreurs. Elles sont imputables à l’élève et à ce titre, elles ne doivent pas laisser de trace. • Toutes les raisons recevables doivent être internes aux mathématiques. De sorte qu’à travers les problèmes, les mathématiques ne rencontrent jamais officiellement ni question ni difficulté autre que l’insuffisance humaine. • Une situation au contraire peut déléguer officiellement à un milieu le rôle de porter certaines conditions non dévoilées dans les règles. Il se révèle alors comme une sorte de « réalité » qui laisse un espace propice aux aventures, aux expériences, à un questionnement, à une histoire légitime et honorable des actes du sujet. Il reste à déterminer les plus fructueuses et les plus signifiantes. • « Ouvrir » les problèmes n’est pas une nouveauté. Mais contrôler cette ouverture et lui donner un statut change beaucoup le rapport des activités et L’organisation didactique d’une théorie des textes, les rôles de connaissances et des savoirs. ULYSSE mathématique 18

Modèles mathématiques, situations et jeux • Une situation et un actant constituent un « automate » dont le type reste à déterminer: S-R model, automate fini, automate à pile de mémoire (machine de Türing) etc. (réf. ) • La situation et l’actant peuvent rester invariants et produire un résultat de façon déterministe ou probabiliste. • Mais ils peuvent aussi évoluer, l’un et l’autre. Les actants étant alors « instruits » par leurs actions sur le milieu : ils s’adaptent comme nous l’avons vu avec la C 20. • Dans ce cas la situation est dite « d’apprentissage » . • L’apprentissage peut concerner des savoirs, des langages ou des réactions des habitudes inconscientes des connaissances non explicitables. • Si le milieu est une société humaine l’adaptation à sa culture sera dite « acculturation » . • Encouragés par les travaux du logicien Paul Lorenzen, nous avons étudié des situations interprétables comme des situations de jeu. (réf. ) ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 19

Ouverture des problèmes à des paramètres nouveaux • Cette définition permet de représenter l’activité mathématique en référence avec des personnages qui l’exercent, dans des conditions, et avec des intentions qu’il est possible de représenter. • Elle permet donc d’introduire et étudier formellement et expérimentalement, comme nous l’avons vu, des caractères de cette activité qui n’apparaissent pas dans les textes de mathématiques : • - Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités, • - Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation des stratégies et des tactiques (longueur des solutions, incertitude, fatigue, effets, …) • - Caractères des actants et de leurs enjeux : répertoires linguistiques ou mathématiques, et leur taille, fatigue, possibilités d’erreur etc. • L’objet de la modélisation n’est pas de décrire finement les élèves… Au contraire ce sont les cohortes d’élèves qui révèlent les propriétés didactiques d’une situations, et des savoirs qui s’y rapportent. ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 20

Situations effectives et métaphores • Les situations peuvent être utilisées réellement: les sujets sont des actants qui cherchent effectivement à atteindre les objectifs donnés dans les conditions données. • Comme nous l’avons montré dans l’expérience C 20, les connaissances esquissées dans ces situations – dites d’action- doivent être suivies assez rapidement d’une formulation et elles doivent voir explicitée et établie leur valeur de vérité. Des situations de formulation et des situations de « validation » peuvent conduire les élèves à franchir eux-mêmes ces étapes. • Mais les situations peuvent évidemment aussi servir comme métaphores pour la définition d’une connaissance. Elles ne sont alors que décrites ou même seulement qu’évoquées. Par exemple elles permettent de vérifier ou de doubler l’interprétation d’une autre forme de définition. • L’utilisation des situations effectives est soumise à une règle d’économie. • Elle est souvent très coûteuses en temps de mise en scène, elles doivent être réservées aux connaissances fondamentales et complexes, difficiles à comprendre ou souvent appliquées de façon erronée. La rapport entre le temps de la mise en scène et le temps passés par les élèves à une réflexion mathématique utile est un indicateur essentiel. ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 21

Conclusions • Nous avons utilisé l’analyse de situations • a. Pour déterminer les conditions typiques des principaux concepts mathématiques de l’enseignement commun (TSM) • b. Pour déterminer les conditions dans lesquelles des observateurs pouvaient construire des connaissances objectives relatives à l’enseignement, en particulier pour construire notre dispositif d’observation le COREM • c. Pour décrire et analyser les situations d’enseignement spécifiques des questions de mathématiques (TSDM) ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 22

Exercice de recherche en TSM • Sujet 1. • Dans tout quadrilatère convexe inscriptible dans un cercle, les produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. ( « théorème de Ptolémée » ) • Question de mathématiques : Trouver 10 démonstrations « différentes » de cette assertion de Géométrie Euclidienne. • Question de didactique : En quoi sont elles différentes ? Quelles conséquences didactiques • (sujet d’étude de didactique présenté par Lucienne Félix (1901 - 1994) • Sujet 2 : Construire une typologie des procédés de transformation d’énoncés en questions-réponses et en exercices ou en problèmes. ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 23

Références • Textes d’appui du cours • Ouvrages cités • Bibliographie ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 24

Pour continuer … àExemple : Construction d’une situation pour définir un objet mathématique : désignation, égalité à Exemple : Construction d’une situation pour mettre en jeu un théorème : la linéarité à Généralités sur les situations mathématiques ULYSSE L’organisation didactique d’une théorie mathématique 25