Introduction la physique du son Un peu de

Introduction à la physique du son Un peu de physique pour les musiciens, un peu de musique pour les physiciens Jérôme Joubert CRR de Saint-Maur-des-Fossés - 2013

Organisation des exposés • De la nature des sons et de leur organisation 22 février 2013 – 17 h • Des instruments à vents 22 mars 2013 – 17 h • Des instruments à cordes et à membranes 19 avril 2013 – 17 h

Des instruments à vent

Rappel : nature physique du son - surpression • Vibration d’un matériau (fluide en général) • Oscillation de pression au sein de tranches de fluide Évolution spatiale : Évolution temporelle : exemple d’une onde sinusoïdale Source : http: //www. energieplus-lesite. be Patm ≈ 100000 Pa P ≈ 0, 01 Pa

Rappel : nature physique du son - vitesse • L’intensité dépend de la vitesse de déplacement des tranches de fluide v • I = p. v en Watt par m² (flux de puissance sonore à travers une surface d’un m²)

Rappel : nature physique du son - fréquence • La hauteur du son dépend de sa fréquence f = 1/T • • f en Hz, c’est le nombre de vibrations identiques en une seconde • Plus la vibration est rapide, plus le son est ressenti aigu La réalité n’est pas si simple : un son de basse fréquence et de très forte intensité est parfois ressenti plus aigu qu’un son de plus haute fréquence : c’est le domaine de la psychoacoustique

Propagation du son et longueur d’onde • La transmission n’est pas instantanée • Longueur d’onde et fréquence sont liés par la vitesse de propagation, notée c l = c/f

Sons complexes : notion de timbre • Un son est rarement constitué par une vibration à une seule fréquence • On peut décomposer un son en une série de partiels, i. e. d’ondes sinusoïdales chacune caractérisée par – une fréquence (éventuellement variable) – une intensité (éventuellement variable) – une phase (= décalage à l’origine de l’émission du son) Décomposition en somme de Fourier • Le timbre se définit par l’ensemble de ces paramètres et sans doute aussi par beaucoup de ressenti psychoacoustique… Joseph Fourier (1768 -1830), mathématicien et physicien français

Représentation du contenu fréquentiel • Représentation graphique de la décomposition en somme de Fourier • Gain de lisibilité + = Onde sonore Spectre

Harmoniques & partiels Pour des partiels harmoniques : fn = n. ffondamental n° du partiel Partiel trop haut par rapport à la note « juste » Partiel trop bas par rapport à la note « juste » La série harmonique sonne « faux »

Décomposition modèle d’un instrument à vent • On peut décomposer un instrument à vent en 3 parties principales : – Un système d’excitation (génération d’énergie et entretien de l’onde) : embouchure, anche(s) – Un système résonnant : le tube – Un système de rayonnement (pavillon ou trous latéraux) • On peut étudier séparément chaque partie et effectuer ensuite des raccordements en respectant des propriétés de continuité de certaines grandeurs (pression, débit, etc. )

Tube résonnant : un sélectionneur de fréquences • La longueur du tube L induit l’amplification d’ondes sonores dont la longueur d’onde (l) est reliée simplement à L • Le lien entre l et L dépend de la géométrie du tube • Pourquoi ? Les extrémités du tube impose des valeurs de pression et de vitesse d’air : tube ouvert ou fermé

Comportement d’une extrémité ouverte • Effet d’une ouverture terminale : continuité de la pression avec la pression atmosphérique (peu de rayonnement) • L’amplitude de la surpression acoustique diminue nécessairement à l’approche de l’extrémité ouverte

Tuyau cylindrique : comportement d’une extrémité A Propagation d’une surpression B C D Évolution temporelle aux différents points : Point A : Point B : Point C : Point D :

Tuyau cylindrique : comportement d’une extrémité A B C D extrémité ouverte Évolution temporelle de la surpression aux différents points : Point A : Point B : Point C : Point D : Évolution de l’amplitude de l’onde dans le tuyau à proximité de l’ouverture : A B C D extrémité ouverte

Tuyaux cylindriques ouverts • L’ouverture à chaque extrémité impose une surpression nulle aux deux extrémités du tube • L’onde fait des allers-retours dans le tube et la résultante est une onde stationnaire : l’onde se stabilise dans le tube et il n’y a plus de propagation d’un front d’onde • Plusieurs ondes stationnaires de différentes longueurs d’onde sont possibles

Modes stationnaires d’un tuyau ouvert • Modes de l’onde de pression : 2 L • Modes de l’onde de vitesse : n = 1 n = 2 n = 3 etc. ventre nœud Quand P est maximum, v est minimum : quadrature des deux ondes Source : http: //fr. wikipedia. org/wiki/Onde_stationnaire_dans_un_tuyau

Modes propres et série harmonique • Les fréquences de résonance du tube sont données par • Pour f(n=1) = 220 Hz – f(n=2) = 440 Hz – f(n=3) = 660 Hz, – f(n=4) = 880 Hz, etc. • On retrouve la série harmonique • Pour obtenir un son une octave plus haut, il faut diviser la longueur du tube par deux

Exemple de tuyau ouvert • La flûte traversière est presque cylindrique (rétrécissement au niveau de l’embouchure). Ses extrémités sont ouvertes. • Analyse du son d’une flûte traversière : z H 8 7 8 série quasi-harmonique z H 1 5 17 z H z 3 3 Hz 0 Hz 1 H 6 4 2 0 8 6 Hz z 35 43 52 133 3 H 6 0 70 Valeurs de la série harmonique pour ffondamental = 878 Hz, La 4 : 1756 Hz (n = 2), La 5 2634 Hz (n = 3), Mi 6 3512 Hz (n = 4), La 6 4390 Hz (n = 5), Do#7 5268 Hz (n = 6), Mi 7 6146 Hz (n = 7), Sol 7 7024 Hz (n = 8), La 7 fn = n. ffondamental Source sonore : http: //www. findsounds. com/ISAPI/search. dll bruit de fond

Effet d’une extrémité fermée • La vitesse d’air doit nécessairement s’annuler sur la paroi qui obstrue l’extrémité • La pression oscille avec la plus grande amplitude à cette extrémité fermée. • Les tubes présentent une quadrature entre pression et vitesse : les nœuds d’une grandeur correspondent aux ventres de l’autre.

Modes propres d’un tuyau semi-fermé • Modes de l’onde de pression n = 1 l = 4. L n = 2 l = 4. L/3 n = 3 l = 4. L/5 • Modes de l’onde de vitesse Source : http: //fr. wikipedia. org/wiki/Onde_stationnaire_dans_un_tuyau

Tuyaux semi-fermés et fréquences de résonance • La fréquence fondamentale d’un tuyau semi-fermé (f = 4. L) est deux fois plus basse que pour un tuyau ouvert (f = 2. L) de même longueur : l’onde doit parcourir une longueur de tuyau supplémentaire pour sortir • Pour un tuyau semi-fermé tel que f(n=1) = 220 Hz – f(n=2) = 660 Hz – f(n=3) = 1100 Hz – f(n=4) = 1540 Hz, etc. • Les harmoniques pairs (440 Hz, 880 Hz, 1320 Hz, etc. ) sont détruits complètement si le système est idéal • On ne peut pas créer de nœud de pression au milieu du tube : on ne peut pas faire sonner une octave Ceci explique en partie le comportement de la clarinette

Exemple de tuyau semi-fermé • La clarinette est quasi-cylindrique sur toute sa longueur et se comporte comme un tuyau semifermé (vide infra) • Analyse du son d’une clarinette : Valeurs de la série harmonique pour ffondamental = 440, 5 Hz, La 3 : 881 Hz (n = 2), La 4 1321 Hz (n = 3), Mi 5 1762 Hz (n = 4), La 5 2202 Hz (n = 5), Do#6 2643 Hz (n = 6), Mi 6 3083 Hz (n = 7), Sol 6 3524 Hz (n = 8), La 6 3987 Hz (n = 9), Si 6 fn = n. ffondamental Source sonore : http: //www. findsounds. com/ISAPI/search. dll z série quasi-harmonique H z z 3 45 81 H 30 H 8 13 z H z 7 6 17 11 H Hz z 22 2654 9 H Hz 4 0 31 355 7 Hz 8 39 Il y a d es har le 7 e p moniques ar p harmo tiel, l’attén airs et aprè uation s nique respe s d pa es ctée : le tub irs n’est plu e n’es t pas p s arfait ffondamental est trop haut par rapport à toute la série de partiels qui suit

Autres formes de tuyaux • Quand la section du tube est variable, les fronts d’ondes ne sont pas perpendiculaires à l’axe moyen du tube • Les effets aux extrémités suivent les mêmes principes que pour un tube semi-fermé • Les propriétés de l’onde ne sont pas les mêmes donc les fréquences des partiels sont affectées par rapport au tuyau cylindrique

Cas d’un tuyau conique Nœud de pression Ventre de vitesse 0 L Ventre de pression Nœud de vitesse A priori, le comportement est le même que pour un tuyau semi-fermé : il ne devrait pas y avoir de fréquence 2, 4 ou 6 fois plus grande que la fréquence fondamentale Et pourtant, un hautbois émet des partiels harmoniques pairs !

Cas d’un tuyau conique • L’ouverture progressive de la perce impose une diminution progressive de l’amplitude de la surpression acoustique pour aboutir à un nœud à l’extrémité ouverte • On peut montrer que le produit x. p d’un tuyau conique a les mêmes propriétés que p pour un tuyau cylindrique ouvert : on retrouve des harmoniques pairs même si le tuyau est semi-fermé Source : cours de Licence UPMC, E. Kierlik – Physique des instruments à vent L’amplitude de la variation de surpression n’est pas la même pour tous les ventres

Comparaison de deux tuyaux • Pour une longueur quasi identique, la clarinette descend presque une octave plus bas que le hautbois ou la flûte • Fréquence du fondamental : – Tuyau conique semi-fermé (hautbois) ou cylindrique ouvert (flûte) : f = c/(2. L) – Tuyau cylindrique semifermé (clarinette) : f = c/(4. L) Source : http: //www. phys. unsw. edu. au/jw/woodwind. html

Effet de longueur effective • La petite colonne d’air à l’extrémité un tube droit se comporte dans la continuité du tube avant de rayonner l’onde sonore dans le reste de l’espace Petite zone qui se comporte dans la continuité du tube • Les longueurs d’onde possibles pour les modes sont un peu plus grandes que celles données par la longueur réelle du tube

Largeur du tube • La viscosité de l’air crée des frottement au sein du fluide : il y a des pertes • Les frottements de l’air sur les parois créent aussi des pertes Vitesse nulle sur les parois (frottement) Allure du profil de vitesse dans une section de tube Vitesse homogène loin des parois • Si le tube est trop étroit, les pertes deviennent très importantes et le tube ne peut plus entrer en résonance

Largeur de tube • Dans un tube cylindrique, la quasi-planéité du front d’onde est maintenue par des réflexions de l’onde sur les parois • Si le tube est trop large, on observe une perte de cohérence des réflexions et une dispersion de l’onde : l’onde stationnaire ne peut plus exister • La largeur du tube est un compromis entre les pertes par frottement et les pertes par dispersions. • Les pertes dépendent de la fréquence et conditionnent la répartition énergétique des partiels qui sont émis, donc le timbre • Lorsqu’on double la longueur du tube, il faut environ doubler la surface de sa section

Les systèmes d’excitation • Il existe deux familles d’excitateurs – Les excitateurs soumis au tube résonnant : la fréquence de l’onde que l’excitateur peut envoyer dans le tube est conditionnée par le tube – Les excitateurs dont la vibration impose la fréquence de l’onde sonore ; celle-ci dépend de la géométrie et de la constitution matérielle de l’excitateur (ex : lames vibrante dans un harmonica, un accordéon ou un harmonium) Source : http: //fr. wikipedia. org/wiki/Instrument_%C 3%A 0_anche_libre

Anches doubles • Composées de 2 lames vibrantes (roseau) quasi -symétriques • Lorsqu’on souffle, la pression à l’intérieur de la bouche tend à fermer l’anche double : l’anche tend à se comporter comme une extrémité fermée pour le tube sur lequel on l’adapte

Anches doubles • Lorsqu’une surpression arrive sur l’anche à l’intérieur du tube, celle-ci tend à s’ouvrir • quand la pression s’équilibre entre la bouche du musicien et le tube, elle tend à se refermer. Source : Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset • La fréquence de vibration de l’anche est conditionnée par les modes de vibration du tube

Anches doubles • Le timbre n’est pas complètement déterminé par le tube résonnant, sinon les hautboïstes et les bassonistes n’auraient pas des collections d’anches Source : http: //annie. batalla. over-blog. com/article-mais-qu-est-ce-qu-un-hautbois-61390202. html • L’anche accepte plus ou moins bien de vibrer à la fréquence que veut lui imposer le tube : elle conditionne le timbre. • La courbure du roseau impose une contrainte mécanique forte, ce qui entraîne une détérioration rapide des propriétés vibratoires

Anches doubles • Les lèvres du musicien permette d’assurer une homogénéité de timbre sur une large plage de fréquence en jouant sur la raideur de l’anche : – Par un pincement plus ou moins fort Pincement faible : fréquences graves favorisées Pincement fort : fréquences aigües favorisées – Par un pincement plus ou moins loin de l’extrémité Pincement proche du bord : fréquences aigües favorisées Pincement loin du bord : fréquences grave favorisées

Anches simples • Lame vibrante fixée sur un support rigide (bec) : • Comme pour les anches doubles, lorsqu’on souffle, la pression à l’intérieur de la bouche tend à fermer l’anche double • L’anche tend à se comporter comme une extrémité fermée pour le tube sur lequel on l’adapte

Anches simples • Lorsqu’une surpression arrive sur l’anche à l’intérieur du tube, celle-ci tend à s’ouvrir • quand la pression s’équilibre entre la bouche du musicien et le tube, elle tend à se refermer. Source : Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset • La fréquence de vibration de l’anche est conditionnée par les modes de vibration du tube

Anches simples • Les anches simples sont • L’anche a une influence moins contraintes que les directe sur le timbre : elle anches doubles : elles ne supporte pas de la vieillissent un peu moins même façon toutes les vite fréquences que lui impose le tube résonnant • Elles sont souvent plus larges et épaisses que les anches doubles : elles peuvent imposer leur fonctionnement à l’instrument : c’est le canard Anche non contrainte par les lèvres Anche pincée Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne

Embouchures de cuivres • Les lèvres du musicien posées sur l’embouchure vibre à la manière d’une anche double Source : http: //www. medecine-des-arts. com/Classe-A-des-instruments-a-vent. html Source : http: //musique. nikkojazz. fr/2012/10/les-embouchures. html Source : http: //www. poperepair. com/ product/visualizer_horn • Différence fondamentale : plus la pression dans la bouche du musicien est grande, plus « l’anche » s’ouvre • Une embouchure de cuivre se comporte comme une extrémité ouverte

Embouchures de cuivres • Le tube résonnant n’impose pas forcément sa fréquence aux lèvres du musicien Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne Amplitude de vibration des lèvres d’un tromboniste autour des fréquences propres du tube • les notes qui ne correspondent pas à la fréquence propre du tube ne sonnent pas bien : l’onde stationnaire ne peut pas se mettre en place et le tube atténue le son au lieu de l’amplifier

Embouchures de flûtes • Formé par un jet d’air arrivant sur un biseau à l’entrée du tube résonnant : Source : http: //www. flute-a-bec. com Source : http: //fr. academic. ru/dic. nsf/frwiki/636276 • L’air peut entrer ou sortir : les embouchures de flûtes sont des extrémités ouvertes

Embouchure de flûtes • L’excitation se fait par l’installation d’une turbulence au voisinage du biseau pour un débit d’air suffisant Source : http: //www. flute-a-bec. com • Les entrées/sorties périodiques sont commandées par la résonnance du tube : l’embouchure elle-même n’a pas de fréquence propre contrairement aux anches

Embouchures de flûtes • Même en l’absence de fréquence propre, le son dépend évidemment de la façon de souffler : le débit d’air peut perturber les oscillations périodiques (il y a du souffle dans le son) • La forme du biseau affecte la forme de l’écoulement : il joue sur le timbre • La vitesse d’air permet de favoriser un partiel ou un autre

Embouchures de flûtes • La vitesse d’air influe sur la hauteur pour un partiel donné Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne

Rayonnement du son et pavillon • Le pavillon évite une discontinuité entre la fin du tube, de section bornée, et l’immensité de l’espace libre autour • Il permet d’assurer une transmission progressive de la surpression et donc un meilleur transfert énergétique entre l’onde stationnaire créée dans le tube et le milieu extérieur, surtout pour les hautes fréquences • Il est responsable d’inharmonicité dans les basses fréquences • Il n’est efficace que si l’onde qui s’établit dans le tube arrive jusqu’au pavillon – C’est toujours le cas pour les cuivres – Ça dépend des trous pour les bois

Effet des trous et longueur effective • Un trou ouvert le long d’un tube affecte l’onde qui peut s’y établir • Une partie de l’énergie peut être rayonnée par le trou : pour les bois, une grande partie du son provient des trous, parfois plus que du pavillon

Effet des trous et longueur effective Source : Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset

Effet des trous et longueur effective • Un petit trou affecte peu la longueur effective • Si un petit trou est placé à une distance telle qu’un nœud de pression peut s’établir, alors on favorise l’émission du mode dont le nœud est situé à cet endroit Mode favorisé par un petit trou placé au tiers de la longueur • Ceci explique le principe des petits trous d’octaviation (flûte, hautbois) ou de quintoiement (clarinette) ; combinaison entre placement et diamètre du trou

Effet des trous : timbre • Les trous ouverts affectent la forme et la longueur effective du tube : ils influencent le timbre • Les trous fermés affectent aussi la forme (interne) du tube : il modifient le timbre également ! fréquences atténuées par les trous latéraux fermés ayant des grands conduits Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne Sonogramme d’une gamme chromatique de basson

Instruments réels : influence des matériaux • Les matériaux influent sur la qualité des réflexions d’onde dans le tube • Ils agissent sur les pertes par frottement des couches d’air contre les parois • La qualité de la surface peut perturber les ondes qui s’établissent dans le tube et créer des inharmonicités

Effet de la température • Les instruments à vents montent quand ils chauffent f(T+1)/f(T) (cents) f = c/l • c proportionnel à la racine carrée de T donc f aussi T(°C) Effet de l’élévation d’un degré à partir d’une température donnée

Bibliographie • Le son musical, John Pierce, Pour le Science 1983 • Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset, Pour la Science 1995 • Intervalles, échelles, tempéraments et accordages musicaux, Jean Lattard, L’Harmattan 2003 • Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne, Belin 2008 • Acoustique, informatique et musique, Brigitte d’Andréa-Novel, Presses des Mines 2012 • Physique, Eugene Hecht, De Boeck 1999

Quelques logiciels • Audacity 2. 0 - logiciel libre http: //audacity. sourceforge. net • Goldwave - version d’essai complète http: //www. goldwave. com/