INTRODUCERE IN STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE Notiunea de variabila

INTRODUCERE IN STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE

• Notiunea de variabila aleatoare – Este o functie definita pe un camp de evenimente si cu valori in multimea numerelor reale (sau intr-o submultime a ei). – Nu trebuie confundate evenimentele aleatoare (care pot fi elemente ale oricarei multimi) cu variabilele aleatoare care au valori reale. – Pot fi discrete sau continue dupa cum domeniul de valori este discret sau continuu

• Exemple – Variabile aleatoare discrete • • Numarul de copii din diverse familii din Romania; Suma numerelor fetelor a doua zaruri aruncate simultan; Numarul de apeluri telefonice zilnice; Numarul de fotoni emisi de o sursa radioactiva intr-un anumit interval de timp; • Numarul de electroni cu care este incarcata o picatura de ulei in experimentul lui Millikan – Variabile aleatoare continue • Durata de functionare a unui bec; • Diametrul unei particule de praf; • Viteza vantului intr-un anumit loc;

• Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare discreta! – Domeniul in care ia valori este o submultime (discreta) a multimii numerelor reale de forma: – N× 10 p unde N si p sunt numere intregi. Acestea reprezinta o submultime a numerelor rationale. • Modelul rezultatului unei masurari poate fi o variabila aleatoare continua.

• In cazul variabilelor aleatoare discrete, fiecarei valori ( a variabilei) i se asociaza o probalilitate: x 1 p 1; x 2 p 2; x 3 p 3; xi pi; … xn pn Multimea {pi} poate descrie complet proprietatile variabilei. Exemplu de variabila aleatoare discreta

• Repartitia unei variabile discrete – X variabila aleatoare discreta; x numar real; p probabilitare – Functia de repartitie: • F(x)=p(X<x) (definitie) cu x {xi} • p(a<X<b)=F(b)-F(a) (proprietate) Se introduce fortat si valoarea corespunzatoare lui i=0 (evenimentul imposibil) p 0=0. La i=n corespunde evenimentul cert.

• Repartitia unei variabile aleatoare – X variabila aleatoare continua; x numar real; p probabilitate – Functia de repartitie (definita prin generalizare): • F(x)=p(X<x) (definitie) • p(a<X<b)=F(b)-F(a) (proprietate)

• Densitatea repartitiei pentru variabila continua (definitie) • • (proprietate) • Densitatea repartitiei este echivalenta cu multimea {pi}

• Variabile aleatoare n-dimensionale • In cazul a doua dimensiuni:

• Exemple – Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare – O putem considera continua sau discreta dupa caz: • Daca scopul operatiunii este modelarea se opteaza pentru o variabila continua. • Daca scopul este prelucrarea datelor experimentale atunci se opteaza pentru o variabila discreta. – Rezultatul unei masurari poate fi o variabila aleatoare unidimensionala sau multidimensionala • Vectorul viteza (modului si unghiul) • Unghiul de faza si valoarea efectiva a unei tensiuni sinusoidale • Spectrul, in frecveta, al unui semnal (contine n perechi de elemente) • Profilul unei suprafete (contine n×m tripleti de elemente) • O imagine tomografica (contine n×m×p quadrupleti de elemente)

STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE • Notiunea de frecventa (de aparitie) – Este numarul de valori identice obtinute in urma unei serii de masurari in conditi de repetabilitate. – Tabel statistic • Multimea tuturor frecventelor ordonata dupa valori – Graficul statistic • Reprezentatea grafica a tabelului statistic • Postulatul probabilitatii – Cand numarul de masurari creste (nelimitat) frecventa de aparitie a unei valori tinde catre probabilititatea de aparitie a valorii cospunzatoare – Cand numarul de masurari creste, tabelul statistic tinde catre densitatea de repartitie a variabilei aleatoare

• Postulatul masurarii (N. Ernest Dorsley) – Media unei familii de masurari tinde catre o valoare limita, identificata cu valoarea adevarata. • Ea coincide cu media calculata cu ajutorul densitatii repartitiei asociate masurarii respective.

Variabile aleatoare: definitii, proprietati • Media pe ansamblu (speranţa) • f(x) este densitatea repartitiei si este normata la 1. (integrala pe intreg domeniul este 1); pi este probabilitate de aparitie a valorii individuale xi (si este normata la 1)

Varianţa (dispersia) Abaterea standard: σx

• Covarianta Cand doua variabile aleatorii sunt independente covarianta este 0

Repartitii • Repartitia uniforma (pe un interval)

Repartitii • Repartitia normala (Gauss)

Repartitii Repartitia 2 • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie:

Repartitii Repartitia Student • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie

Variabile aleatoare • Proprietatile mediei si dispersiei

TEOREMA LIMITA CENTRALA • Se considera ca datele experimentale sunt repartizate normal ca o consecinta a unei teoreme fundaminmtale in statistica matematica TEOREMA LIMITA CENTRALA: • Daca o variabila aleatoare x este suma unui numar mare de variabile aleatoare independente si fiecare variabila are o pondere mica in suma atunci repartitia variabilei aleatoare x este foarte apropiata de repartitia normala (la limita apare coincidenta)