INTRODUCERE IN STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE Notiunea de variabila
![INTRODUCERE IN STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE INTRODUCERE IN STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE](https://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-1.jpg)
INTRODUCERE IN STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE
![• Notiunea de variabila aleatoare – Este o functie definita pe un camp • Notiunea de variabila aleatoare – Este o functie definita pe un camp](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-2.jpg)
• Notiunea de variabila aleatoare – Este o functie definita pe un camp de evenimente si cu valori in multimea numerelor reale (sau intr-o submultime a ei). – Nu trebuie confundate evenimentele aleatoare (care pot fi elemente ale oricarei multimi) cu variabilele aleatoare care au valori reale. – Pot fi discrete sau continue dupa cum domeniul de valori este discret sau continuu
![• Exemple – Variabile aleatoare discrete • • Numarul de copii din diverse • Exemple – Variabile aleatoare discrete • • Numarul de copii din diverse](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-3.jpg)
• Exemple – Variabile aleatoare discrete • • Numarul de copii din diverse familii din Romania; Suma numerelor fetelor a doua zaruri aruncate simultan; Numarul de apeluri telefonice zilnice; Numarul de fotoni emisi de o sursa radioactiva intr-un anumit interval de timp; • Numarul de electroni cu care este incarcata o picatura de ulei in experimentul lui Millikan – Variabile aleatoare continue • Durata de functionare a unui bec; • Diametrul unei particule de praf; • Viteza vantului intr-un anumit loc;
![• Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare discreta! – Domeniul in care • Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare discreta! – Domeniul in care](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-4.jpg)
• Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare discreta! – Domeniul in care ia valori este o submultime (discreta) a multimii numerelor reale de forma: – N× 10 p unde N si p sunt numere intregi. Acestea reprezinta o submultime a numerelor rationale. • Modelul rezultatului unei masurari poate fi o variabila aleatoare continua.
![• In cazul variabilelor aleatoare discrete, fiecarei valori ( a variabilei) i se • In cazul variabilelor aleatoare discrete, fiecarei valori ( a variabilei) i se](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-5.jpg)
• In cazul variabilelor aleatoare discrete, fiecarei valori ( a variabilei) i se asociaza o probalilitate: x 1 p 1; x 2 p 2; x 3 p 3; xi pi; … xn pn Multimea {pi} poate descrie complet proprietatile variabilei. Exemplu de variabila aleatoare discreta
![• Repartitia unei variabile discrete – X variabila aleatoare discreta; x numar real; • Repartitia unei variabile discrete – X variabila aleatoare discreta; x numar real;](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-6.jpg)
• Repartitia unei variabile discrete – X variabila aleatoare discreta; x numar real; p probabilitare – Functia de repartitie: • F(x)=p(X<x) (definitie) cu x {xi} • p(a<X<b)=F(b)-F(a) (proprietate) Se introduce fortat si valoarea corespunzatoare lui i=0 (evenimentul imposibil) p 0=0. La i=n corespunde evenimentul cert.
![• Repartitia unei variabile aleatoare – X variabila aleatoare continua; x numar real; • Repartitia unei variabile aleatoare – X variabila aleatoare continua; x numar real;](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-7.jpg)
• Repartitia unei variabile aleatoare – X variabila aleatoare continua; x numar real; p probabilitate – Functia de repartitie (definita prin generalizare): • F(x)=p(X<x) (definitie) • p(a<X<b)=F(b)-F(a) (proprietate)
![• Densitatea repartitiei pentru variabila continua (definitie) • • (proprietate) • Densitatea repartitiei • Densitatea repartitiei pentru variabila continua (definitie) • • (proprietate) • Densitatea repartitiei](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-8.jpg)
• Densitatea repartitiei pentru variabila continua (definitie) • • (proprietate) • Densitatea repartitiei este echivalenta cu multimea {pi}
![• Variabile aleatoare n-dimensionale • In cazul a doua dimensiuni: • Variabile aleatoare n-dimensionale • In cazul a doua dimensiuni:](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-9.jpg)
• Variabile aleatoare n-dimensionale • In cazul a doua dimensiuni:
![• Exemple – Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare – O putem • Exemple – Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare – O putem](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-10.jpg)
• Exemple – Rezultatul unei masurari este o variabila aleatoare – O putem considera continua sau discreta dupa caz: • Daca scopul operatiunii este modelarea se opteaza pentru o variabila continua. • Daca scopul este prelucrarea datelor experimentale atunci se opteaza pentru o variabila discreta. – Rezultatul unei masurari poate fi o variabila aleatoare unidimensionala sau multidimensionala • Vectorul viteza (modului si unghiul) • Unghiul de faza si valoarea efectiva a unei tensiuni sinusoidale • Spectrul, in frecveta, al unui semnal (contine n perechi de elemente) • Profilul unei suprafete (contine n×m tripleti de elemente) • O imagine tomografica (contine n×m×p quadrupleti de elemente)
![STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE • Notiunea de frecventa (de aparitie) – Este numarul de valori STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE • Notiunea de frecventa (de aparitie) – Este numarul de valori](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-11.jpg)
STATISTICA DATELOR EXPERIMENTALE • Notiunea de frecventa (de aparitie) – Este numarul de valori identice obtinute in urma unei serii de masurari in conditi de repetabilitate. – Tabel statistic • Multimea tuturor frecventelor ordonata dupa valori – Graficul statistic • Reprezentatea grafica a tabelului statistic • Postulatul probabilitatii – Cand numarul de masurari creste (nelimitat) frecventa de aparitie a unei valori tinde catre probabilititatea de aparitie a valorii cospunzatoare – Cand numarul de masurari creste, tabelul statistic tinde catre densitatea de repartitie a variabilei aleatoare
![• Postulatul masurarii (N. Ernest Dorsley) – Media unei familii de masurari tinde • Postulatul masurarii (N. Ernest Dorsley) – Media unei familii de masurari tinde](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-12.jpg)
• Postulatul masurarii (N. Ernest Dorsley) – Media unei familii de masurari tinde catre o valoare limita, identificata cu valoarea adevarata. • Ea coincide cu media calculata cu ajutorul densitatii repartitiei asociate masurarii respective.
![Variabile aleatoare: definitii, proprietati • Media pe ansamblu (speranţa) • f(x) este densitatea repartitiei Variabile aleatoare: definitii, proprietati • Media pe ansamblu (speranţa) • f(x) este densitatea repartitiei](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-13.jpg)
Variabile aleatoare: definitii, proprietati • Media pe ansamblu (speranţa) • f(x) este densitatea repartitiei si este normata la 1. (integrala pe intreg domeniul este 1); pi este probabilitate de aparitie a valorii individuale xi (si este normata la 1)
![Varianţa (dispersia) Abaterea standard: σx Varianţa (dispersia) Abaterea standard: σx](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-14.jpg)
Varianţa (dispersia) Abaterea standard: σx
![• Covarianta Cand doua variabile aleatorii sunt independente covarianta este 0 • Covarianta Cand doua variabile aleatorii sunt independente covarianta este 0](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-15.jpg)
• Covarianta Cand doua variabile aleatorii sunt independente covarianta este 0
![Repartitii • Repartitia uniforma (pe un interval) Repartitii • Repartitia uniforma (pe un interval)](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-16.jpg)
Repartitii • Repartitia uniforma (pe un interval)
![Repartitii • Repartitia normala (Gauss) Repartitii • Repartitia normala (Gauss)](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-17.jpg)
Repartitii • Repartitia normala (Gauss)
![Repartitii Repartitia 2 • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie: Repartitii Repartitia 2 • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie:](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-18.jpg)
Repartitii Repartitia 2 • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie:
![Repartitii Repartitia Student • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie Repartitii Repartitia Student • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-19.jpg)
Repartitii Repartitia Student • Constructia variabilei aleatoare: • Densitatea de repartitie
![Variabile aleatoare • Proprietatile mediei si dispersiei Variabile aleatoare • Proprietatile mediei si dispersiei](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-20.jpg)
Variabile aleatoare • Proprietatile mediei si dispersiei
![TEOREMA LIMITA CENTRALA • Se considera ca datele experimentale sunt repartizate normal ca o TEOREMA LIMITA CENTRALA • Se considera ca datele experimentale sunt repartizate normal ca o](http://slidetodoc.com/presentation_image_h/18092143d65a249e66fc71f4c4f8d08a/image-21.jpg)
TEOREMA LIMITA CENTRALA • Se considera ca datele experimentale sunt repartizate normal ca o consecinta a unei teoreme fundaminmtale in statistica matematica TEOREMA LIMITA CENTRALA: • Daca o variabila aleatoare x este suma unui numar mare de variabile aleatoare independente si fiecare variabila are o pondere mica in suma atunci repartitia variabilei aleatoare x este foarte apropiata de repartitia normala (la limita apare coincidenta)
- Slides: 21