Introduccin a la Probabilidad Tema 3 Ignacio Cascos

Introducción a la Probabilidad Tema 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1

Descripción breve del tema 1. 2. Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios n 3. Concepto de probabilidad y propiedades n n 4. Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Probabilidad condicionada n n 6. Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración Asignación de probabilidades en la práctica n 5. Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada Teorema de Bayes n Ignacio Cascos Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2

Objetivos o o o Entender el concepto de experimento aleatorio Valorar la probabilidad y sus aplicaciones. Calcular probabilidades de sucesos simples. Manejar con soltura el concepto de independencia de sucesos. Entender el concepto de probabilidad condicionada y aplicar con soltura los teoremas de la probabilidad total y Bayes. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3

Descripción breve del tema 1. 2. Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios n 3. Concepto de probabilidad y propiedades n n 4. Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Probabilidad condicionada n n 6. Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración Asignación de probabilidades en la práctica n 5. Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada Teorema de Bayes n Ignacio Cascos Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4

Introducción o El Cálculo de Probabilidades nos permite calcular el grado de fiabilidad o error de las conclusiones obtenidas mediante inferencia estadística. o La probabilidad mide o cuantifica la incertidumbre que tenemos sobre el resultado de un experimento aleatorio. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5

Descripción breve del tema 1. 2. Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios n 3. Concepto de probabilidad y propiedades n n 4. Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Probabilidad condicionada n n 6. Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración Asignación de probabilidades en la práctica n 5. Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada Teorema de Bayes n Ignacio Cascos Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6

Fenómenos y experimentos aleatorios o o Un experimento es determinista cuando existe un conjunto de circunstancias que, antes de su ejecución, determinan completamente su resultado. Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado de antemano: n n n Ignacio Cascos Se conocen previamente y con exactitud los posibles resultados del experimento. Es imposible saber su resultado antes de su realización. Se puede repetir indefinidamente, en las mismas condiciones iniciales, obteniendo resultados distintos. Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7

Sucesos o El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio, lo denotamos por E. n o Ejemplo: Experimento, lanzar dado, E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. n Un suceso elemental es un elemento del espacio muestral. o n Un suceso compuesto es un conjunto de sucesos elementales. o Ignacio Cascos Ejemplo: (lanzar dado), sale un seis, A={6} Ejemplo: (lanzar dado), sale un número par B={2, 4, 6} Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8

Sucesos o El suceso seguro es el que siempre ocurre al realizar el experimento, E. n o Ejemplo: (lanzar dado) E={1, 2, 3, 4, 5, 6} El suceso imposible es el que nunca ocurre como resultado del experimento Æ. n Ignacio Cascos Ejemplo: (lanzar dado) sale un número negativo Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9

Operaciones con sucesos (conjuntos) o Operación unión. Dados sucesos A y B, el suceso AÈB ocurre cuando ocurre A u ocurre B u ocurren ambos. A={ , , , } ; B={ , , , } AÈB={ , , , } Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 10

Operaciones con sucesos (conjuntos) o Operación intersección. Dados sucesos A y B, el suceso AÇB ó (AB) ocurre cuando ocurren simultáneamente A y B. A={ , , , } ; B={ , , , } AÇB={ , } Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 11

Operaciones con sucesos (conjuntos) o Suceso contrario (o complementario). Dado un suceso A, su contrario Ac ocurre cuando A no ocurre. E={ , , } ; A={ } Ac={ , } Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 12

Operaciones con sucesos (conjuntos) o Diferencia de sucesos. Dados sucesos A y B, la diferencia AB (ó A-B) es el suceso que ocurre cuando ocurre A y B no ocurre. A={ , , } ; B={ , } AB={ , }. o Sucesos incompatibles. Dos dos sucesos A y B, son incompatibles (disjuntos) si AÇB=Æ Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 13

Propiedades de las operaciones con sucesos o Conmutativa. A ÈB = B ÈA A ÇB = B ÇA o Asociativa. AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 14

Propiedades de las operaciones con sucesos o o Elemento neutro. n Unión, suceso imposible: AÈÆ = A n Intersección, suceso seguro: AÇE = A Distributiva. n n Ignacio Cascos Unión respecto de la intersección AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) Intersección respecto de la unión AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC) Depto. Estadística, Universidad Carlos III 15

Propiedades de las operaciones con sucesos o o Complementación. A ÈA c = E ; A ÇA c = Æ Idempotencia. A ÈA = A ; A ÇA = A Absorción. A ÈE = E ; A ÇÆ = Æ Simplificación. AÈ(AÇB) = AÇ (AÈB) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 16

Propiedades de las operaciones con sucesos o o Propiedades del contrario. (Ac)c = A ; Ec = Æ ; Æc = E Leyes de De Morgan. (AÈB)c = AcÇBc (AÇB)c = AcÈBc (Èi=1, ¥Ai)c = Çi=1, ¥(Ai)c (Çi=1, ¥Ai)c = Èi=1, ¥(Ai)c Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 17

Descripción breve del tema 1. 2. Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios n 3. Concepto de probabilidad y propiedades n n 4. Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Probabilidad condicionada n n 6. Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración Asignación de probabilidades en la práctica n 5. Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada Teorema de Bayes n Ignacio Cascos Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes Depto. Estadística, Universidad Carlos III 18

Definición de probabilidad Una probabilidad es una función P que asigna a cada suceso A asociado al experimento un valor real tal que 1. P(A) ³ 0 ; 2. P(E) = 1 ; 3. si A 1, A 2, … son tales que AiÇAj=Æ si i ¹ j, entonces P(Èi=1, ¥ Ai)=Si=1, ¥ P(Ai). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 19

Primeras propiedades de la probabilidad o Propiedad 1. P(Ac) = 1 -P(A) o Propiedad 2. P(Æ) = 0 o Propiedad 3. si A Ì B, entonces P(A) £ P(B) o Propiedad 4. P(AB)=P(A)-P(AÇB) o Propiedad 5. P(AÈB) = P(A)+P(B)-P(AÇB) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 20

Consideración final o Leyes de los Grandes Números. Si repetimos muchas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso A cualquiera tiende a estabilizarse en torno a un valor (PROBABILIDAD DEL SUCESO). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 21

Descripción breve del tema 1. 2. Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios n 3. Concepto de probabilidad y propiedades n n 4. Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Probabilidad condicionada n n 6. Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración Asignación de probabilidades en la práctica n 5. Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada Teorema de Bayes n Ignacio Cascos Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes Depto. Estadística, Universidad Carlos III 22

Equiprobabilidad, regla de Laplace Si un experimento tiene un número finito de resultados posibles y no hay razón que privilegie un resultado frente a otro, para cualquier A Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 23

Métodos combinatorios o o Variaciones de n elementos tomados de k en k. Número de secuencias ordenadas de k elementos a partir de n elementos sin que se repitan. n!/(n-k)! Combinaciones de n elementos tomados de k en k. Número de conjuntos de k elementos a partir de n elementos sin que se repitan. n!/(k!(n-k)!) Variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k. Número de secuencias ordenadas de k elementos a partir de n elementos (pueden repetirse). nk Combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k. Número de conjuntos de k elementos a partir de n elementos (pueden repetirse). (n+k-1)!/(k!(n-1)!) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 24

Descripción breve del tema 1. 2. Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios n 3. Concepto de probabilidad y propiedades n n 4. Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Probabilidad condicionada n n 6. Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración Asignación de probabilidades en la práctica n 5. Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Independencia entre sucesos Concepto de probabilidad condicionada Teorema de Bayes n Ignacio Cascos Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes Depto. Estadística, Universidad Carlos III 25

Independencia entre sucesos Dos sucesos A y B son independientes si P(AÇB)=P(A)P(B) P(AÇBc) P(AcÇBc) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 26

La probabilidad condicionada Dados sucesos A y B con P(B)>0, definimos la probabilidad de A condicionada a B como la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B, Si A y B son independientes, P(A|B)=P(A). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 27

La probabilidad condicionada Tenemos: o P(A|B) ³ 0 ; o P(E|B) = 1 ; o si A 1, A 2, … son tales que AiÇAj=Æ si i ¹ j, entonces P(Èi=1, ¥ Ai|B)=Si=1, ¥ P(Ai|B). En consecuencia, todas las propiedades de una probabilidad. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 28

Descripción breve del tema 1. 2. Introducción Fenómenos y experimentos aleatorios n 3. Concepto de probabilidad y propiedades n n 4. Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios Probabilidad condicionada n n 6. Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración Asignación de probabilidades en la práctica n 5. Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades Independencia de sucesos Concepto de probabilidad condicionada Teorema de Bayes n Ignacio Cascos Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes Depto. Estadística, Universidad Carlos III 29

Teorema de la probabilidad compuesta Dados n sucesos A 1, A 2, …, An con P(Ai)>0 para i=1, …, n. Se cumple P(A 1ÇA 2Ç…ÇAn)=P(A 1)P(A 2|A 1)…P(An|A 1ÇA 2Ç…ÇAn-1) Si los sucesos son independientes P(A 1ÇA 2Ç…ÇAn) = P(A 1)P(A 2)…P(An) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 30

Teorema de la probabilidad total Dados A 1, A 2, …, An tales que AiÇAj=Æ si i ¹ j y Èi=1, n Ai=E, entonces la probabilidad de un suceso B cualquiera viene dada por Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 31

Teorema de Bayes Dados A 1, A 2, …, An tales que AiÇAj=Æ si i ¹ j y Èi=1, n Ai=E y dado un suceso B cualquiera con P(B)>0, entonces se cumple Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 32